第三章多项式插值方法

4
g(x)
x0
x1
x2
x
x3
x4
5
g(x) f(x)
y= f(x)
x0
x1
x2
x
x3
x4
有时f(x)过于复杂而难以运算, 要用近似函数g(x)来逼近f(x)。
6
插值方法的目的是寻求简单的连续函数 g x ,使它在 n 1个
点 x0 , x1,, xn 处取给定值 g xi yi f xi ( i 0,1, , n),
而： l0 x0 A x0 x1 x0 x2 1
所以：
A


x0

x1
1

x0

x2

l0

x

x x0

x1 x1


x x2 x0 x2
.
23
同理可得
l1

x


x x1

x0 x0


x x2 x1 x2
分段线性插值的构造分段线性插值的余项定理设fx在ab上有二阶连续导数fx64选取跟节点x最近的三个节点xi1i1进行二次插值即在区间这种分段的低次插值叫分段二次插值在几何上就是用分段抛物线代替yfx故分段二次插值又称分段抛物插值
第3章 多项式插值
1
插值方法是数学分析中很古老的一个分支。等距 结点内插公式是由我国隋朝数学家刘焯(公元544-610 年)首先提出的;而不等距结点内插公式是由唐朝数学 家张遂(公元683—727年)提出的。这比西欧学者相应 结果早一千年。
x0
x1
17
y p1 x 其几何意义是已知平面上两点 x0, y0 , x1, y1 的一
条直线，由直线的两点式公式可知：
P 1( x)

y0

y1 y0 x1 x0
( x x0 ) 。
P1(x)
x x1 x0 x1
y0

x x0 x1 x0
y1
称此形式的公式为拉格朗日型插值多项式。
注：插值基函数与 y0 、 y1 无关，仅由插值结点 x0 、 x1 决定。
一次插值多项式是插值基函数的线性组合,相应的组合系数是
函数值 y0、 y1 。
20
1.3 二次插值(抛物线插值)问题
已 知 函 数 y f x 在 三 点 x0 , x1, x2 处 的 函 数 值
lk

x


x

wx xk w

xk

.
因此插值表达式为
pn x

n
lk
k 0
x
yk

n k 0
x

wx xk w xk

yk
(3.7)
29
pn
x

n
lk
k 0
x
yk

n k 0
x

wx xk w xk

yk
定理 满足插值条件 pn x k yk (k 0, , n)
而在别处希望它也能近似地代表函数 f x 。Fra Baidu bibliotek因为 g x 已是有解
析表达式的简单函数,所以它在 x x 处的值可以按表达式精
确地计算出来。这样我们就可以将 g x 看成 y f x 的近似
值了。
7
本章只研究多项式插值，亦即g(x)是x的多项式的 情形。这不仅仅因为多项式是最简单的函数，而且因 为在许多场合，函数容易用多项式近似地表示出来。 此外，用多项式作插值函数可满意地解决一系列有应 用价值的重要问题。特别是数值积分与数值微分的问 题。
于是有二次插值多项式：
l2

x

x x2

x0 x0


x x1 x2 x1
P2 (x) y0l0 (x) y1l1(x) y2l2 (x) ,
它是三个二次插值基函数多项式的线性组合,因而其是次数不超 过二次的多项式。
24
例 1 设 f 1 2, f 1 1, f 2 1 ，求 f x 的二次插值多项式。
y0 f (x0 ) ， y1 f (x1) ， y2 f (x2 ) 。求一个次数不超过二次的
多项式 p2 x ,使其满足：
P2(xi ) yi , i 0,1, 2.
21
几何上 y p2 x 为过平面上已知三点 xi , yi ,i 0,1, 2 的
l2 x
x x2

x0 x0
x x1 x2 x1


1 3
x2
1.
从而：
p2
(x)

1 6
2
x2 3x 2
3
x2 x 2
2
x2
1


1 6
x2 3x 8
.
25
26
2. Lagrange插值多项式
31
例 2 设 f x ex ,则 f (1) 0.367 87, f 1 2.718 28, f (2) 7.389 06 ,求 f x 的 2 次近似多项式。
解 依 Lagrange 插值公式，有
e x p2 x 1.165 19 x2 1.175 20 x 0.377 88 。
利用插值基函数想法，只要求有如下性质的 n 次多项式 lk x ，
lk

xi


0, 1,
k i , k,i 0, , n
（3.5）
k i
多项式：
n
p x lk x yk k 0
（3.6）
为满足 pn xi yi , i 0, n 的插值多项式。

a0 a0
a1x0 a1x1

a2 x02 a2 x12


a0 a1xn a2xn2
am x0m y0 , am x1m y1,
am xnm yn ,
(3.2)
线性方程组的系数矩阵为
1
A


1
x0 x1
x02 x12
的
n次插值多项式唯一。
的如上式
30
pn
x

n
lk
k 0
x
yk

n k 0
x

wx xk w xk

yk
定义 (3.7)称作为 Lagrange 插值多项式,并记为
n
Ln x lk x yk k 0
(3.8)。
特点 Lagrange插值公式（3.8）具有结构清晰、紧凑的特点， 因而适合于作理论分析和应用.也非常适合于利用计算机 编程计算。
的解不唯一。 (2)当m<n时,矩阵A的行数大于列数。按照(3.3)式,线性
方程组(3.2)是无解的，除非右端全为零。 (3)取m=n是最为适宜的。
13
1.1 多项式插值问题
给定 n 1个互异点 x0 , x1,, xn ,对任意一组数 y0 , y1,, yn ，求
次数不大于 n 的多项式 pn x Pn ，使其满足如下插值条件
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1. 多项式插值问题
设 y f x是实变量 x 的单值函数，且已知 f x 在给定
的 n 1个互异点 x0 , x1,, xn 处的值 y0 , y1,, yn ,即
yi f xi , i 0,1, , n.
插值的基本问题是:寻求多项式 px ,使得
p xi yi , i 0,1, n
1 x0 x02
1
V x0 , .xn1, xn
x1
x12
1 xn xn2
x0m
x1m
xj xi 0
j i
xnm
(3.3)
12
根据(3.3)，线性方程组(3.2)的系数矩阵的秩数为n+1。 所以， (1)当m>n时, (3.2)的解是不唯一的，即插值问题(3.1)
Rn x f (x) pn (x)
为插值余项（插值误差）。
33
定理 3.1 若 f (x) 于包含着插值结点 x0 , x1,, xn 的区间[a,b]
上 n 1次可微，则对任意 x [a,b] ，有与 x 有关的 a,b 存
在,使得
Rn
x

f
(x)
pn (x)
(3.1)
9
设 px是一个 m 次多项式
p x a0 a1x a2x2 amxm
则插值问题是：
如何确定 p x中的系数 a0 , a1, , am ,使得多项式满足:
p xi yi , i 0,1, n
(3.1)
10
该问题等价于求解下列的线性方程组:
插值方法在数值分析的许多分支(例如, 数值积 分, 数值微分, 微分方程数值解,曲线曲面拟合,函数 值近似计算等等)均有应用.
3
下面仅以近似计算函数值为例来说明 :
设已知某个函数关系 y f x的列表函数值
x
x0
x1

xn
y
y0
y1

yn
而 x xi i 0,1,n，问应该如何估值 y f x ？
xk xn .
lk

x



x x0 xk x0
x xk1 x xk1 xk xk1 xk xk1
x xn xk xn
28
记 wn1 x w x x x0 x xn ，则
27
基函数的条件(3.5)表明 x0 ,, xn 中除 xk 外,均为 lk x 的零点:
lk x c x x0 x xk1x xk1 x xn
其中 c 为常数， 而
c xk x0
所以:
lk xk 1，即:
1
xk xk1 xk xk1
32
3. 插值余项
设 pn (x) 是在点 x0 , x1,, xn 处关于 f (x) 的插值多项式。我们 希望知道 x xk (k 0,1,, n) 时，f (x) 与 pn (x) 的偏差，意指此方 法所固有的误差，而忽略在计算 pn (x) 时造成的舍入误差。通 常，舍入误差与在逼近中的固有误差相比是小的。称：
18
记：
l 0(x)

x x1 x0 x1
,
称为一次插值基函数。
l1 ( x)

x x0 x1 x0
，
该基函数的特点如下：基函数的思想使得插值多项式形式
简洁和易于推广
lj xi ij
1 0
j i ji
i, j 0,1.
19
从而有：
P1( x) y0l0 (x) y1l1(x) ,
二次曲线（抛物线）。
我们利用线性插值基函数思想，利用三个插值结点
x0 , x1, x2 构造二次插值基函数，使得：
lj xi
1 0
ji ji
i, j 0,1, 2 .
22
因为 l0 (x1) 0, l0 (x2 ) 0 ,故可设：
l0 x A x x1 x x2
解 依公式有 x0 1, x1 1, x2 2
l0 x
x x0

x1 x1
x x2 x0 x2


1 6
x2
3x 2 ,
l1x
x x1

x0 x0
x x2 x1 x2


1 2
x2
x2,
pn xi yi , i 0,1, , n
(3.4)
称 x0 , x1,, xn 为插值节点， pn x 为插值多项式，（3.4）称为
插值条件。
14
y= pn(x)
x0
x1
x2
x
x3
x4
15
严格的说,插值方法一词只用于 x 落在给定点 x0 , x1,
, xn 之间的情形,所以也称它为内插法。

n1 ( x)
(n 1)!
f
(n1) (ξ
)
（3.9）
其中 n1(x) (x x0 )(x x1) (x xn ) 。
34
证明 取一点 x [a,b] ，显然当 x x0 , x1,, xn 时，(3.9)式成立。
如果 x 落在给定点 x0 , x1,, xn 之外,并且仍以插值
函数 pn x 在 x 处近似地代替 f x ,则一般称这种近似
计算函数的方法为外插法。
16
1.2 线性插值（一次插值）问题
已知函数 f x 在区间 x0, x1 的端点上的函数值或给定数据
点 y0 f x0 , y1 f x1 ，求一个一次多项式 y p1 x ，使得 y0 p1 x0 , y1 p1 x1 。

1
xn
x
2 n

x0m x1m


x
m n

11
上述矩阵是一个 n 1m 1 矩阵.当 m n 时， A 的列数大
于行数.不难证明，点 x0 , x1,, xn 互异时矩阵 A 的秩数为 n 1.
因为 A 的前 n 1列所组成的行列式为(称为 Vandermonde 行列式)