26.1配方法及顶点式
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b 它的对称轴是直线: x . 2a
b 4ac b2 它的顶点是 2a , 4a .
?
根据公式确定下列二次函数图象的对称轴和顶点坐标： 1.y 2x2 12x 13; 2.y 5x2 80x 319;
1 3.y 2 x x 2;4.y 32x 12 x. 2
独立 作业
2 1 a , b 6, c 21. 2 -(-6) -b 6 x 1 2 2a 2 1 2 2 4 21 (-6) 4ac - b y 2 4a 1 4 2
1.确定下列二次函数的开口方向、对称轴和 顶点坐标. 3 .y 1 x 2 6x 21;
2 2 2 2
y ax bx c 例.求次函数 c y=ax² +bx+c的对 2 b 称轴和顶点坐标． a x a x a
2
一般地,对于二次函数y=ax² +bx+c,我们可以利用配方法 推导出它的对称轴和顶点坐标.
提取二次项系数
2
1.配方:
老师提示:
这个结果通常 称为求顶点坐 标公式.
y 3x2 6x 5 怎样直接作出 2 3 x 2x 5 函数y=3x2-6x+5
的图象? 1.配方:
老师提示:
2 3 x 1 3 5
配方后的表达 式通常称为配 方式或顶点式
3x 1 2
2
化简:去掉中括 号,后两项合并 同类项
b 4ac b a x . 2a 4a
化简:去掉中括 号
2
配方:加上再 减去一次项系 数绝对值一半 的平方
顶点坐标公式
b 4ac b2 y a x . 2a 4a
2
因此,二次函数y=ax² +bx+c的图象是一条抛物线.
口答题
• 说出下列抛物线的开口方向、对称轴及顶 点； （1）y=2(x+3）2 +5； （2）y=-3(x-1)2 -2; (3) y=4(x-3)2 +7; (4) y=-5(x+2)2 -6.
2 二次函数y=ax +bx+c
的图象和性质
y
x
函数y=ax²+bx+c的图象
我们知道,作出二次函数y=3x2的图象,通过平移抛物 线 y=3x2可以得到二次函数y=3x2-6x+5的图象. 提取二次项系数 配方:加上再减去一 次项系数绝对值一半 3 x2 2x 12 12 5的平方 整理:前三项化为 2 3 x 1 1 5 平方形式
b 4ac b 2 2a , 4a b 直线 x 2a
y=ax2+bx+c(a<0)
b 4ac b 2 2a , 4a b 直线 x 2a
顶点坐标
对称轴 位置 开口方向
由a,b和c的符号确定
由a,b和c的符号确定
x …
2
y 3x 1 2
2
-2 29
-1 14
0 5
1 2
2 5
3 14
4 29
… …
y 3x 1 2
…
4.画对称轴,描点,连线:作出二次函数y=3(x-1)2+2 的图象．
2 b 4ac b y a x . 2a 4a
2
函数y=ax²+bx+c的顶点式
向上
在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大.
向下
在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小.
增减性 最值
b 4ac b 2 当x 时, 最小值为 2a 4a
b 4ac b 2 当x 时, 最大值为 2a 4a
2 b b b c a x x a 2a 2a a 2 b 4ac b2 整理:前三项化为平方形 a x 2 式,后两项合并同类项 2a 4a 2 2
3
请你总结函数 函数y=ax2+bx+c(a≠0) 的图象和性质
想一想,函数y=ax2+？
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象和性质
１.顶点坐标与对称轴
２.位置与开口方向
３.增减性与最值 根据图形填表： 抛物线
y=ax2+bx+c(a>0)
独立 作业
1.确定下列二次函数的开口方向、对称轴和 顶点坐标.
2.y 2x2 4x 1; 1 2 3 .y x 6x 21;
2
直接画函数y=ax²+bx+c的图象
y 3x 6x 5
2
2.根据配方式(顶点式)确定开口方向,对称轴,顶点坐标. ∵a=3>0,∴开口向上;对称轴:直线x=1;顶点坐标:(1,2). 3.列表:根据对称性,选取适当值列表计算.
小结
拓展
回味无穷
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)与=ax² 的关系
驶向胜利 的彼岸
1.相同点: (1)形状相同(图像都是抛物线,开口方向相同). (2)都是轴对称图形. (3)都有最(大或小)值. (4)a>0时, 开口向上,在对称轴左侧,y都随x的增大而减小,在对称 轴右侧,y都随 x的增大而增大. a<0时,开口向下,在对称轴左侧,y 都随x的增大而增大,在对称轴右侧,y都随 x的增大而减小 . 2 b 4ac b , 2.不同点: (1)位置不同(2)顶点不同:分别是 和(0,0). b 2a 4a (3)对称轴不同:分别是 直线x 和y轴. 2a 4ac b (4)最值不同:分别是 4a 和0. 3.联系: y=a(x-h)²+k(a≠0) 的图象可以看成y=ax² 的图象先沿x轴整 b b b <0时,向 体左(右)平移| 2|a 个单位(当 2>0 时 , 向右平移 ; 当 a 2a 4ac b 4ac b 左平移),再沿对称轴整体上(下)平移| |个单位 (当 >0时 4a 4a 4ac b 向上平移;当 4a<0时,向下平移)得到的.
b 4ac b2 它的顶点是 2a , 4a .
?
根据公式确定下列二次函数图象的对称轴和顶点坐标： 1.y 2x2 12x 13; 2.y 5x2 80x 319;
1 3.y 2 x x 2;4.y 32x 12 x. 2
独立 作业
2 1 a , b 6, c 21. 2 -(-6) -b 6 x 1 2 2a 2 1 2 2 4 21 (-6) 4ac - b y 2 4a 1 4 2
1.确定下列二次函数的开口方向、对称轴和 顶点坐标. 3 .y 1 x 2 6x 21;
2 2 2 2
y ax bx c 例.求次函数 c y=ax² +bx+c的对 2 b 称轴和顶点坐标． a x a x a
2
一般地,对于二次函数y=ax² +bx+c,我们可以利用配方法 推导出它的对称轴和顶点坐标.
提取二次项系数
2
1.配方:
老师提示:
这个结果通常 称为求顶点坐 标公式.
y 3x2 6x 5 怎样直接作出 2 3 x 2x 5 函数y=3x2-6x+5
的图象? 1.配方:
老师提示:
2 3 x 1 3 5
配方后的表达 式通常称为配 方式或顶点式
3x 1 2
2
化简:去掉中括 号,后两项合并 同类项
b 4ac b a x . 2a 4a
化简:去掉中括 号
2
配方:加上再 减去一次项系 数绝对值一半 的平方
顶点坐标公式
b 4ac b2 y a x . 2a 4a
2
因此,二次函数y=ax² +bx+c的图象是一条抛物线.
口答题
• 说出下列抛物线的开口方向、对称轴及顶 点； （1）y=2(x+3）2 +5； （2）y=-3(x-1)2 -2; (3) y=4(x-3)2 +7; (4) y=-5(x+2)2 -6.
2 二次函数y=ax +bx+c
的图象和性质
y
x
函数y=ax²+bx+c的图象
我们知道,作出二次函数y=3x2的图象,通过平移抛物 线 y=3x2可以得到二次函数y=3x2-6x+5的图象. 提取二次项系数 配方:加上再减去一 次项系数绝对值一半 3 x2 2x 12 12 5的平方 整理:前三项化为 2 3 x 1 1 5 平方形式
b 4ac b 2 2a , 4a b 直线 x 2a
y=ax2+bx+c(a<0)
b 4ac b 2 2a , 4a b 直线 x 2a
顶点坐标
对称轴 位置 开口方向
由a,b和c的符号确定
由a,b和c的符号确定
x …
2
y 3x 1 2
2
-2 29
-1 14
0 5
1 2
2 5
3 14
4 29
… …
y 3x 1 2
…
4.画对称轴,描点,连线:作出二次函数y=3(x-1)2+2 的图象．
2 b 4ac b y a x . 2a 4a
2
函数y=ax²+bx+c的顶点式
向上
在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大.
向下
在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小.
增减性 最值
b 4ac b 2 当x 时, 最小值为 2a 4a
b 4ac b 2 当x 时, 最大值为 2a 4a
2 b b b c a x x a 2a 2a a 2 b 4ac b2 整理:前三项化为平方形 a x 2 式,后两项合并同类项 2a 4a 2 2
3
请你总结函数 函数y=ax2+bx+c(a≠0) 的图象和性质
想一想,函数y=ax2+？
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象和性质
１.顶点坐标与对称轴
２.位置与开口方向
３.增减性与最值 根据图形填表： 抛物线
y=ax2+bx+c(a>0)
独立 作业
1.确定下列二次函数的开口方向、对称轴和 顶点坐标.
2.y 2x2 4x 1; 1 2 3 .y x 6x 21;
2
直接画函数y=ax²+bx+c的图象
y 3x 6x 5
2
2.根据配方式(顶点式)确定开口方向,对称轴,顶点坐标. ∵a=3>0,∴开口向上;对称轴:直线x=1;顶点坐标:(1,2). 3.列表:根据对称性,选取适当值列表计算.
小结
拓展
回味无穷
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)与=ax² 的关系
驶向胜利 的彼岸
1.相同点: (1)形状相同(图像都是抛物线,开口方向相同). (2)都是轴对称图形. (3)都有最(大或小)值. (4)a>0时, 开口向上,在对称轴左侧,y都随x的增大而减小,在对称 轴右侧,y都随 x的增大而增大. a<0时,开口向下,在对称轴左侧,y 都随x的增大而增大,在对称轴右侧,y都随 x的增大而减小 . 2 b 4ac b , 2.不同点: (1)位置不同(2)顶点不同:分别是 和(0,0). b 2a 4a (3)对称轴不同:分别是 直线x 和y轴. 2a 4ac b (4)最值不同:分别是 4a 和0. 3.联系: y=a(x-h)²+k(a≠0) 的图象可以看成y=ax² 的图象先沿x轴整 b b b <0时,向 体左(右)平移| 2|a 个单位(当 2>0 时 , 向右平移 ; 当 a 2a 4ac b 4ac b 左平移),再沿对称轴整体上(下)平移| |个单位 (当 >0时 4a 4a 4ac b 向上平移;当 4a<0时,向下平移)得到的.