高中数学解三角形知识点及历年各地高考真题汇总

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无忧数学
——解三角形
（复习二）
解三角形
一.正弦定理：
1.正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，并且都等于外接圆的直径，
即
R C
c
B b A a 2sin sin sin ===（其中R 是三角形外接圆的半径） 2.变形：1）sin sin sin sin sin sin a b c a b c
C C
++===A +B +A B ．
2）化边为角：C B A c b a sin :sin :sin ::=；
;sin sin B A b a = ;sin sin C B c b = ;sin sin C
A c a = 3）化边为角：C R c
B R b A R a sin 2,sin 2,sin 2===
4）化角为边：
;sin sin b a B A = ;sin sin c b C B =;sin sin c
a
C A = 5）化角为边： R
c C R b B R a A 2sin ,2sin ,2sin ===
3. 利用正弦定理可以解决下列两类三角形的问题： ①已知两个角及任意—边，求其他两边和另一角； 例：已知角B,C,a ，
解法：由A+B+C=180o ，求角A,由正弦定理;sin sin B A b a = ;sin sin C B c b = ;sin sin C
A c a =求出b 与c
②已知两边和其中—边的对角，求其他两个角及另一边。

例：已知边a,b,A, 解法：由正弦定理
B
A b a sin sin =求出角B,由A+B+C=180o 求出角C ，再使用正弦定理C
A
c a sin sin =求出c 边
4.△ABC 中，已知锐角A ，边b ，则 ①A b a sin <时，B 无解；
②A b a sin =或b a ≥时，B 有一个解；
③b a A b <<sin 时，B 有两个解。

如：①已知32,2,60===O b a A ,求B (有一个解)
②已知32,2,60===O a b A ,求B (有两个解) 注意：由正弦定理求角时，注意解的个数。

二.三角形面积 1.B ac A bc C ab S ABC sin 21
sin 21sin 21===∆ 2. r c b a S ABC )(2
1
++=∆,其中r 是三角形内切圆半径. 3. ))()((c p b p a p p S ABC ---=∆, 其中)(2
1
c b a p ++=,
4. R
abc S ABC
4=∆,R 为外接圆半径 5.C B A R S ABC sin sin sin 22=∆,R 为外接圆半径
三.余弦定理
1.余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的2倍，即
A bc c b a cos 2222-+=
B ac c a b cos 2222-+=
C ab b a c cos 2222-+=
2.变形：bc a c b A 2cos 2
22-+=
ac
b c a B 2cos 2
22-+=
ab
c b a C 2cos 2
22-+=
注意整体代入，如：2
1cos 222=⇒=-+B ac b c a 3．利用余弦定理判断三角形形状：
设a 、b 、c 是C ∆AB 的角A 、B 、C 的对边，则：
①若，
，所以为锐角
②若为直角A a b c ⇔=+222
③若， 所以为钝角，则是钝角三角形
3
1）已知三边，求三个角
2
四、应用题
1.已知两角和一边（如A 、B 、C ）a 、b ．
2.已知两边和夹角（如a 、b 、c ），应用余弦定理求c 边；再应用正弦定理先求较短边所对的角，然后利用A +B +C = π，求另一角．
3.已知两边和其中一边的对角（如a 、b 、A ），应用正弦定理求B ，由A +B +C = π求C ，再由正弦定理或余弦定理求c 边，要注意解可能有多种情况．
4.已知三边a 、b 、c ，应用余弦定理求A 、B ，再由A +B +C = π，求角C ．
5.方向角一般是指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向旋转到目 标的方向线所成的角（一般指锐角），通常表达成.正北或正南，北偏东××度， 北偏西××度，南偏东××度，南偏西××度.
6.俯角和仰角的概念：在视线与水平线所成的角中,视线在水平线上 方的角叫仰角,视线在水平线下方的角叫俯角.
铅直
线
水平线
视线
五、三角形中常见的结论
1）三角形三角关系：A+B+C=180°；C=180°—(A+B)； 2）三角形三边关系： 两边之和大于第三边：，，； 两边之差小于第三边：
，
，
；
3）在同一个三角形中大边对大角：B A b a B A sin sin >⇔>⇔> 4) 三角形内的诱导公式：
sin()sin ,A B C +=cos()cos ,A B C +=-tan()tan ,A B C +=-
)2
sin()
2cos()22cos()22sin()22tan(2tan C C C C C B A =--=
-=+πππ
5) 两角和与差的正弦、余弦、正切公式
(1)sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β.
(2)cos(α±β)＝cos αcos β∓sin αsin β.
(3)tan(α±β)＝tan α±tan β
1∓tan αtan β
.
6) 二倍角的正弦、余弦、正切公式
(1)sin 2α＝2sin αcos α.
(2)cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α. (3)2
2cos 1cos ;22cos 1sin 22α
ααα+=-=
(4)tan 2α＝2tan α
1－tan 2α
.
7) 三角形的五心：
垂心——三角形的三边上的高相交于一点 重心——三角形三条中线的相交于一点 外心——三角形三边垂直平分线相交于一点 内心——三角形三内角的平分线相交于一点
旁心——三角形的一条内角平分线与其他两个角的外角平分线交于一点
解三角形高考真题及答案解析
1.（15北京理科）在ABC △中，4a =，5b =，6c =，则
sin 2sin A
C
= ．
【答案】1 【解析】
试题分析：
222sin 22sin cos 2sin sin 2A A A a b c a C C c bc
+-==⋅2425361616256⨯+-=⋅=⨯⨯ 考点：正弦定理、余弦定理
2.（15北京文科）在C ∆AB 中，3a =，b =23
π
∠A =
，则∠B = ． 【答案】
4
π
【解析】
试题分析：由正弦定理，得
sin sin a b A B =
=sin B =4B π∠=. 考点：正弦定理.
3.（15年广东理科）设ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a = 1sin 2B =，6
C =π，则b = 【答案】1．
【考点定位】本题考查正弦定理解三角形，属于容易题．
4.（15年广东文科）设C ∆AB 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若2a =，c =，cos A =
且b c <，则b =（ ）
A B ．2 C ． D ．3 【答案】B 【解析】
试题分析：由余弦定理得：2222cos a b c bc =+-A ，所以(2
2222b b =+-⨯⨯2680b b -+=，解得：2b =或4b =，因为b c <，所以2b =，故选B ．
考点：余弦定理．
5.(15年安徽理科) 在ABC ∆中，,6,4
A A
B A
C π
=
==,点D 在BC 边上，AD BD =，求AD 的长。

6.（15年安徽文科）在ABC ∆中，6=AB ， 75=∠A ， 45=∠B ，则=AC 。

【答案】2 【解析】
试题分析：由正弦定理可知： 45sin )]4575(180sin[AC AB =+-245sin 60sin 6=⇒=⇒AC AC
考点：正弦定理.
7.（15年福建理科）若锐角ABC ∆的面积为，且5,8AB AC == ，则BC 等于________． 【答案】7 【解析】
试题分析：由已知得ABC ∆的面积为1sin 20sin 2AB AC A A ⋅==所以sin A =，(0,)2A π∈，所以3
A π
=
．由余弦定理得222
2cos BC AB AC AB AC A =+-⋅=49，7BC =．
考点：1、三角形面积公式；2、余弦定理．
8.（15年福建文科）若ABC ∆中，AC ，045A =，0
75C =，则BC =_______．
【解析】
试题分析：由题意得0018060B A C =--=．由正弦定理得
sin sin AC BC B A =，则sin sin AC A
BC B
=，
所以BC =
=
考点：正弦定理．
10.（15年新课标2理科）∆ABC 中，D 是BC 上的点，AD 平分∠BAC ，∆ABD 是∆ADC 面积的2倍。

(Ⅰ)求
C
B
∠∠sin sin ;
(Ⅱ) 若AD =1，DC =
2
2
求BD 和AC 的长.
11.（15年新课标2文科）△ABC 中D 是BC 上的点,AD 平分∠BAC ,BD =2DC . （I ）求
sin sin B
C
∠∠ ；
（II ）若60BAC ∠=,求B ∠. 【答案】（I ）
1
2
；30.
考点：解三角形
12.(15年陕西理科) C ∆AB 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．向量()
,3m a b = 与()cos ,sin n =A B 平行． （I ）求A ；
（II ）若a =2b =求C ∆AB 的面积．
【答案】（I ）
3π；（II
试题解析：（I ）
因为//m n ，所以sin cos 0a B A -
=，
由正弦定理，得sinAsinB 0-=
又sin 0B ≠，从而tan A
由于0A π<<，所以3A π
=
(II)解法一：由余弦定理，得2222cos a b c bc A =+-
而2,a =3π
A =
得2742c c =+-，即2230c c --=
因为0c >，所以3c =.
故∆ABC 的面积为1bcsinA 22
=.
考点：1、平行向量的坐标运算；2、正弦定理；3、余弦定理；4、三角形的面积公式.
13.（15年陕西文科）ABC ∆的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，向量()m a =与(cos ,sin )
n A B =
平行.
(I)求A ；
(II)若2a b ==求ABC ∆的面积.
【答案】(I) 3A π
=；(II) 2.
试题解析：(I)
因为//m n ，所以sin cos 0a B A =
由正弦定理，得sin sin cos 0A B B A =，
又sin 0B ≠，从而tan A =
由于0A π<< 所以3A π
=
(II)解法一：由余弦定理，得
2222cos a b c bc A =+-，而2a b ==，3A π=
，
得2742c c =+-，即2230c c --= 因为0c >，所以3c =，
故ABC ∆面积为1sin 2bc A =.
2sin sin 3
B =
从而sin 7
B =
又由a b >知A B >，所以cos B =
故sin sin()sin()3C A B B π
=+=+
sin cos cos sin 3314
B B π
π
=+=，
所以ABC ∆面积为1sin 2ab C =考点：1.正弦定理和余弦定理；2.三角形的面积.
14.（15年天津理科）在ABC ∆ 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知ABC ∆的面积为，
12,cos ,4
b c A -==- 则a 的值为 . 【答案】8
【解析】
试题分析：因为0A π<<，所以sin A ==
又1sin 242ABC S bc A bc ∆====，解方程组224b c bc -=⎧⎨=⎩
得6,4b c ==，由余弦定理得 2222212cos 64264644a b c bc A ⎛⎫=+-=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭
，所以8a =. 考点：1.同角三角函数关系；2.三角形面积公式；3.余弦定理.
15．（15年天津文科）△ABC 中,内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,已知△ABC 的面积为
12,cos ,4
b c A -==- （I ）求a 和sin C 的值；
（II ）求cos 26A π⎛
⎫+ ⎪⎝⎭
的值.
【答案】（I ）a =8,sin 8C =
；（II ）16
. 【解析】
考点：1.正弦定理、余弦定理及面积公式；2三角变换.。