基于广义柯西分布的最大后验准则频谱估计方法

基于广义柯西分布的最大后验准则频谱估计方法
作者：宋俊才张曙
来源：《现代电子技术》2010年第07期
摘要:经典的频谱估计方法和现代的频谱估计方法在低信噪比及小数据量的情况下,谱估计的分辨率和方差性能不能满足实际应用需要。

因此,提出一种高分辨率、高精度DFT变换的新方法,此方法特别适用于线性频谱的估计。

该方法基于最大后验概率准则,建立广义柯西-高斯分布模型,克服了短数据情况下的DFT变换分辨率低的缺点,具有收敛快、频率分辨率高、频率精度高的优点。

计算机仿真结果证实了新方法的有效性。

关键词:最大后验概率; 离散傅里叶变换; 频谱估计; 广义柯西分布
中图分类号:TN911.6 文献标识码:A
文章编号:1004-373X(2010)07-0017-04
New Method for Spectrum Estimation Based on Generalized Cauchy Distribution and MAP
SONG Jun-cai, ZHANG Shu
(College of Information and Communication Engineering, Harbin Engineering University, Harbin 150001, China)
Abstract: In the low SNR and small amount of data, the resolution and variance performance of spectral estimation can not meet the actual requirement by using classical or modern spectrum estimation methods. Therefore, a new high-resolution and high-precision method of DFT transform is proposed. It is suitable for estimation of linear spectra. Based on maximum a posteriori probability criterion, a generalized Cauchy-Gaussian distribution model to overcome the low resolution of DFT in the case of short data is established. The proposed method has advantages of fast convergence, high efficiency and high accuracy.The results of computer simulation show that the novel method is effective.
Key words: maximum a posterior probability; discrete Fourier transform; spectrum estimation; generalized Cauchy distribution
0 引言
信号的频谱分析是研究信号特征的重要手段之一,该技术在雷达、通信、震动、地震信号处理及电子监测领域有着广泛的应用。

理论上的傅里叶变换是对整个时域信号的变换,但现实中却只能对有限长度的信号进行变换。

经典的谱估计方法主要是周期图法及改进的周期图估计方法,但这些方法都存在着频率分辨率低、频谱泄露和方差性能不好等缺点。

原因是周期图频谱估计是对数据加窗截断,用有限数据样本或自相关函数来估计无限个数据的频谱。

现代的频谱估计技术有基于ARMA模型的估计技术,基于预测外推的最大熵法(MEM),最大似然Capon估计等,这些技术较经典频谱估计有更高的频谱分辨率。

但带来的问题是对模型的参数的估计,或者要求较高的信号噪声比(SNR)等[1,2]。

同时这些方法除了计算量大之外,也可能出现数值不稳定现象。

Sacchi和Ulrych等人提出的基于最大后验概率柯西-高斯模型的频谱估计方法[3]已解决经典频率估计和现代频率估计技术中存在的缺点,该估计方法在小数据量的前提下有效地提高了频谱估计的精度。

本文推广了柯西-高斯模型,提出基于广义柯西分布的频谱估计方法,仿真结果显示本方法较基于柯西分布的算法性能更好。

1 基于最大后验准则的DFT
考虑一个包含点的采样时间序列,则该离散序列-的DFT变换可表示为:
Xk=∑N-1n=0xne-i2πnk/N,k=0,1,…,N-1
(1)
同样,该离散序列的IDFT可表示为:
xn=1N∑N-1k=0Xkei2πnk/N, n=0,1,…,N-1
(2)
以下为了叙述方便,分别将称为数据样本称为频域样本。

现在希望由个数据样本得到M>N点的频域样本值。

求解该问题的最直接方法为在N 个数据样本后补M-N个零,然后进行DFT变换。

该方法虽然获得了M个频率点值,但这种基于原有个样本的插值算法,由于没有增加原始数据信息,所以没有减小时域窗而导致的频谱旁瓣过大、频谱稀疏性差的缺点。

当时,将数据补M-N个零,进行DFT变换得到X。

而对进行IDFT时,以矩阵形式表示式(2)时,要改写成:
x=FX
(3)
其中∈RN和X∈CM分别表示已知数据向量和其相应的DFT,F为N×M矩
阵,Fn,k=1Mei2πnk/M。

已知当时,由式(3)确定的线性方程组求解问题为非确定性病态问题,为了使式(3)有惟一解,必须增加相应的约束条件。

根据文献[5],通过最小化下列表达式,可以获得在某种条件限制下的惟一解:
-FX‖22
(4)
式中表示Frobenius范数,‖X‖22=XHX=∑kX*kXk。

约束项Φ(X)代表了增加的限制条件。

从而在M>N时,惟一解的问题转化为如何寻找到相应的Φ(X)。

假设数据包含噪声,噪声服从分布,数据样本x的条件分布概率表示为p(xX,σn)。

设频域样本X的先验分布概率为则根据贝叶斯原理得到后验分布概率:
p(Xx,σX,σn)=p(XσX)p(xX,σn)p(xX,σX,σn)
(5)
即式(5)是已知和σn的最大后验概率估计器。

由于式(5)的分母可以认为是常数,从而最大后验等价于使式(5)的分子最大,因此不仅与数据中的噪声分布有关,同时和X的先验分布有
关。

下面将看到不同的先验概率分布对X估计的影响。

(1) 当X的先验概率分布为复高斯分布时,即:
p(XσX)=12πσ2XM-1e-(1/2σ2x)‖X‖22
(6)
式中为信号功率。

使式(5)最大,即等价于使下式最小:
Jgg=12σ2X‖X‖2+12σ2n‖x-FX‖2
(7)
其中:下角标gg表示数据样本中的噪声及频域样本都服从高斯分布。

这种模型简称为GG 模型。

将式(7)和式(4)相比,可以知道两者具有相同的形式,即当假设的先验概率为高斯分布时,Φ(X)=‖X‖22。

微分式(7)并使其为零,可得到:
=1M+λ-1FHx
(8)
其中因子为噪声信号比。

对比式(3)和式(8),可知此时的DFT即为带常数加权因子的补零DFT变换。

当时,式(8)则退化为补零的DFT变换。

(2) 当的先验概率分布为柯西分布时,即:
p(XkσX)∝11+XkX*k2σ2X
(9)
可得到-从而:
Jcg=∑M-1k=0ln1+XkX*k2σ2X+12σ2n‖x-FX‖2
(10)
其中:下角标cg表示频域样本及数据样本噪声分别服从柯西分布和高斯分布。

同样这种模型简记为CG模型。

经过如前的推导,得到的DFT变换为:
=[λQ-1+FHF]-1FHx
(11)
其中是对角矩阵:
Qii=1+XiX*i2σ2X, i=0,1,…,M-1
(12)
对比式(8)和(11),可知此时的DFT仍为加权的补零DFT变换,但与式(8)不同的是式(11)中的被Q-1加权。

当时,式(11)同样退化为补零的DFT变换。

后面的仿真结果证明由式(11)得到的DFT优于式(8)的结果。

2 基于广义柯西分布的MAP的DFT
分析上面的GG及CG模型所得到的结果可知,当的先验概率分布很窄时,如GG模型采用的高斯分布,由于不能充分利用数据样本的统计特性,导致GG模型得到的结果与数据样本补零后DFT的结果相同。

而的先验概率展宽后,如CG模型采用的柯西分布,数据样本的统计特性得到充分的利用,从而得到的结果要明显优于GG模型的结果。

因此为了得到性能优良的频谱估计就要寻找具有良好拖尾特性的先验分布[1],以进一步改进基于MAP的频谱估计特性。

2.1 广义柯西分布
对于实随机变量如果其概率密度函数为:
pm(XkσX)=am1+X2k2σ2Xm,
m>0.5(13)
则定义服从参数为m的广义柯西分布。

参数m是大于0.5的实数是归一化常数。

可以证明广义柯西分布具有以下性质:
(1) 当
(2) 当时,广义柯西分布即是常规定义下的柯西分布。

(3) 广义柯西分布不同于下列分布
fm(X kσX)=bm1+Xk2σX2m, m>0.5
(14)
但当为整数时两者相等。

(4) 在所有的分布中,广义柯西分布具有最大的散布特性,即广义柯西分布具有最大的拖尾概率。

在图1中给出了高斯、柯西及广义柯西分布(m=0.6,m=0.9)的四条分布曲线。

为了便于比较它们的展布特性,对密度函数的原点值作了归一化处理。

由图1可以清楚地看到在这些曲线中,高斯分布具有最差的拖尾特性。

柯西分布拖尾特性比高斯分布要有明显展宽。

而对广义柯西分布,随着m值的减少,曲线的拖尾概率比柯西分布进一步增大。

图1 三种分布的归一化概率密度
2.2 基于广义柯西分布的MAP的DFT
假设的先验概率服从广义柯西分布:
pm(XkσX)∝11+‖Xk‖222σ2Xm, m>0.5
(15)
对于广义柯西分布先验概率,要使后验概率最大等价于最小化
Jgcg=S(X)+12σ2n(x-FX)H(x-FX)
(16)
其中:下角标gcg表示广义柯西-高斯分布模型(记为GCG模型)。

同样可以求得约束项为:
S(X)=∑M-1k=0ln1+‖Xk‖222σ2Xm
(17)
对式(16)求导并令导数为零,得到GCG模型下的DFT。

=[mλ(G1-m+G)-1+FHF]-1FHx
(18)
其中为M×M为对角矩阵,Gkk=‖Xk‖222σ2X。

对比式(11)和(18),可知GCG模型的DFT仍为加权的补零DFT变换。

与式(11)不同的是加权形式更加复杂,但当时,式(18)也退化为补零的DFT变换。

显然当时,式(18)转化为式(11),即柯西-高斯模型的解,只是广义柯西-高斯分布模型解的一个特例。

这个解的性能将在下一部分通过仿真来说明。

式(18)给出了基于广义柯西分布的最大后验概率准则下的频域样本估计值的表达式。

表达式(18)具有简洁的表达形式,但是在实际计算时并不方便,因为该等式的右边含有与有关的G。

为此将式(18)变换为递推迭代形式:
b(μ-1)=[λIN+FHG1-m+Gμ-1F]-1FHx
X(μ)=(G1-m+G)μ-1FHbμ-1
(19)
其中表示迭代的次数,一般经过小于10次迭代后,即能得到满意的结果。

3 仿真结果
下列仿真中,数据为幅度为1的0.2 Hz和0.21 Hz的正弦波及噪声之和,数据样本点数。

噪声为σn=0.2的高斯白噪声。

用下式计算信噪比得到SNR=14 dB。

选用1 024点DFT,迭代次数μ=9。

图2表示GG,CG和GCG三种模型下的频谱图。

图标中即为CG模型,GCG模型中选择m=0.9,m=0.6两种不同数值作为比较。

图2 不同m值下GCG模型下频谱图对比
从图2可以看出,GG模型给出的频谱估计完全不能区分0.2 Hz和0.21 Hz两个频率分量,而CG模型和GCG模型均具有很好的频率分辨力,可清晰地区分出0.2 Hz和0.21 Hz两个频率分量。

但是GCG模型具有较CG模型要低50 dB以上的旁瓣抑制特性和更好的频谱稀疏性。

图3和图4是取不同信噪比及不同值时,GCG模型的DFT变换得到的0.2 Hz及0.21 Hz的频率估计的相对误差。

图3和图4显示CG和GCG两种算法在高信噪比的情况下均具有良好的频率估计精度。

而在信噪比较低的情况(SNR
图3 0.2 Hz处的估计偏差
图4 0.21 Hz处的估计偏差
4 结语
提出了一种高分辨DFT变换的新方法。

根据最大后验概率准则,在信号频谱幅度的先验概率为广义的柯西分布,噪声为高斯分布的假设下,通过最小化代价函数求解出GCG模型下的DFT变换的迭代公式。

该方法是CG模型下DFT变换的推广, 具有频率分辨率高的优点,适用于短数据样本下的频率估计。

理论分析和仿真实验证明了新方法的正确性和有效性。

参考文献
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