安徽省淮北师范大学附属实验中学2022-2023学年高一下学期第一次月考数学试题(含答案解析)

安徽省淮北师范大学附属实验中学2022-2023学年高一下学
期第一次月考数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．有下列命题：①两个相等向量，若它们的起点相同，则终点也相同；②若||a b
|=|，
则a b = ；③若AB DC = ，则四边形ABCD 是平行四边形；④若m n = ，n k = ，则m k = ；
⑤若//a b ，//b c
，则//a c ；⑥有向线段就是向量，向量就是有向线段．其中，假命题
的个数是A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
2．在三角形ABC ∆中，若点P 满足1231,3344
AP AB AC AQ AB AC =+=+
，则APQ ∆与
ABC ∆的面积之比为（）
A ．1:3
B ．5:12
C ．3:4
D ．9:16
3．已知向量a ，b 满足1a = ，b = ，且a 与b
的夹角为6
π，则()()
2a b a b +⋅-= （
）
A ．1
2B ．32
-C ．12
-
D ．
32
4．若向量i ，j 为互相垂直的单位向量，2a j i =- ，m b j i =+ ，且a 与b
的夹角为锐角，
则实数m 的取值范围是
A ．1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
B ．(－∞，－2)∪12,2⎛⎫- ⎪
⎝⎭C ．222,,33⎛⎫⎛⎫
-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
D ．1,2⎛⎫-∞ ⎪
⎝⎭5．设,a b
均为单位向量,则“a 与b 的夹角为23
π
”是“||a b += 的
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不
必要条件
6．已知向量()1,1a = ，()1,b m = ，其中m 为实数，O 为坐标原点，当两向量夹角在0,12π⎛⎫
⎪
⎝⎭
变动时，m 的取值范围是
A ．()
0,1B ．3⎛ ⎝C ．(3⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭
U D ．(
A ．M ，N ，P 三点共线
B ．M ，N ，Q 三点共线
C ．M ，P ，Q 三点共线
D ．N ，P ，Q 三点共线
8．下面是如皋定慧寺观音塔的示意图，游客（视为质点）从地面D 点看楼顶点A 的仰角为30°，沿直线DB 前进51米达到E 点，此时看点C 点的仰角为45°，若23BC AC =，
则该观音塔的高AB 约为（
） 1.73≈）
A ．8米
B ．9米
C ．40米
D ．45米
二、多选题
9．下列运算正确的是（
）
A ．()326a a
-⋅=-
B ．()()
223a b b a a
+--=
C ．
()()
220a b b a +-+= D ．
(
)
2362a b a b -=-
10．生于瑞士的数学巨星欧拉在1765年发表的《三角形的几何学》一书中有这样一个定理：“三角形的外心、垂心和重心都在同一直线上．”这就是著名的欧拉线定理．在
ABC 中，O ，H ，G 分别是外心、垂心和重心，D 为BC 边的中点，下列四个选项中正
确的是（
）
A ．2GH OG =
B ．0GA GB G
C ++=
C ．2AH OD
=D ．ABG BCG ACG
S S S == 11．下列说法正确的有（
）
A ．若//a b r r ，//b c
，则//a c
B ．若a b =
，b c = ，则a c
= C ．若//a b r r
，则a 与b 的方向相同或相反
D ．若AB 、BC
共线，则A 、B 、C 三点
共线
12．已知ABC 是正三角形，则在下列结论中，正确的为（）
A ．
AB BC BC CA +=+ B ．
AC CB BA BC +=+
C ．AB AC CA CB +=+
D ．
AB BC AC CB BA CA ++=++
三、双空题
13．已知平面上不共线的四点O ，A ，B ，C ，若320OA OB OC -+= ，则AB =
______BC ，AB BC
= ______．四、填空题
14．已知向量a ，b 是两个不共线的向量，且向量m a －3b 与a
＋(2－m ) b 共线，则实
数m 的值为___．
15．如图，在四边形ABCD 中，DA DB DC ==，且DA DC DB +=
，则ABC ∠=______
．
16．如图，在菱形ABCD 中，120ABC ∠=︒，2AB =
，则BC DC += ______
．
五、解答题
17．已知11
1,,()()42
a a
b a b a b =⋅=+⋅-= ．
(1)求||b
的值；
(2)求向量a b - 与a b +
夹角的余弦值．
18．在直角梯形ABCD 中，90A ∠=︒，30B ∠=︒
，AB =2BC =，点E 在线段CD
上.若AE AD AB λ=+
，求实数λ的取值范围.
19．如图所示，A ，B ，C 为山脚两侧共线的三点，在山顶P 处测得三点的俯角分别为α，β，γ.计划沿直线AC 开通穿山隧道，请根据表格中的数据，计算隧道DE 的长度.
20．已知OAB 中，点B 是点C 关于点A 的对称点，点D 是线段OB 的一个靠近B 的三等分点，设,AB a AO b ==
．
(1)用向量a 与b 表示向量OC ，CD
；
(2)若45
OE OA =
，求证：C ，D ，E 三点共线．
21．如图，ABC 中，点D 是AC 的中点，点E 是BD 的中点，设,BA a BC c ==
.
（1）用a ，c 表示向量AE
；
（2）若点F 在AC 上，且
1455
BF a c =+ ，求:AF CF .22．设1e ，2e 是不共线的非零向量，且122a e e =- ，123b e e =+ ．若1243e e a ub λ-=+
，
求λ，u 的值．
参考答案：
1．C
【详解】对于①，两个相等向量时，它们的起点相同，则终点也相同，①正确；对于②，若
a b = ，方向不确定，则a 、b
不一定相同，∴②错误；对于③，若AB DC = ，AB 、DC
不一定相等，∴四边形ABCD 不一定是平行四边形，③错误；对于④，若m n = ，n k =
，则
m k = ，④正确；对于⑤，若//a b ，//b c
，当0b = 时，//a c 不一定成立，∴⑤错误；对
于⑥，有向线段不是向量，向量可以用有向线段表示，∴⑥错误；综上，假命题是②③⑤⑥，共4个，故选C.2．B
【分析】由题目条件所给的向量等式，结合向量的线性运算推断P 、Q 两点所在位置，比较两个三角形的面积关系
【详解】因为1233AP AB AC =+ ，所以12()()33
AP AB AC AP
-=-，即2BP PC = ，得点P 为
线段BC 上靠近C 点的三等分点，又因为3144AQ AB AC =+ ，所以31()()44
AQ AB AC AQ -=-
，
即3BQ QC = ，得点Q 为线段BC 上靠近B 点的四等分点，所以5
12
PQ BC =，所以APQ ∆与
ABC ∆的面积之比为
5
12
APQ ABC
S PQ S BC =
= ，选择B 【点睛】平面向量的线性运算要注意判断向量是同起点还是收尾相连的关系再使用三角形法则和平行四边形法则进行加减运算，借助向量的数乘运算可以判断向量共线，及向量模长的关系3．A
【分析】根据向量的数量积运算以及运算法则，直接计算，即可得出结果.
【详解】因为1a =
，b = ，且a 与b
的夹角为6
π，
所以c 362
os b b a a π=⋅=
，
因此()()
2
223122322
b b a b a a b a +⋅-=+-=⋅+-= .
故选：A.4．B
【分析】由a 与b
夹角为锐角，可得0a b ⋅ ＞且b a ，不共线，再代入向量解不等式即可得到答
案．
【详解】由题意可得：∵a 与b
夹角为锐角，
∴⋅=
a b （2i j - ）()
m i j ⋅+= 1-2m ＞0，且b a ，不共线
∴1
2
m ＜
当a b
时，可得m ＝﹣2
所以实数λ的取值范围是（﹣∞，﹣2）∪（﹣2，1
2）．故选B ．
【点睛】本题主要考查利用向量的数量积表示解决两个向量的夹角问题，当a 与b
的夹角为
锐角可得，0a b ⋅
＞且b a ，不共线，但是学生容易忽略两个向量共线并且同向的情况.
5．D
【解析】按照向量的定义、充分条件和必要条件的定义，分别从充分性和必要性入手去判断即可.
【详解】因为,a b 均为单位向量,且a 与b 的夹角为23
π，
所以||1a b +=== ,
所以由“a 与b 的夹角为23
π
”不能推出“||a b +=
若||a b +=
则||a b += ==
解得1cos ,2
a b 〈〉= ,即a 与b 的夹角为23π,所以由“||a b += 不能推出“a 与b 的夹角为23π
”.
因此,“a 与b 的夹角为23
π
”是“||a b += 的既不充分也不必要条件.
故选：D.
【点睛】本题主要考查数量积的应用，考查充分条件和必要条件的应用，考查逻辑思维能力和运算能力，属于常考题.6．C
【分析】设向量a 、b
的起点均为O ，终点分别为A 、B ，可得出OA 与x 轴正方向的夹角为4
π，设向量OB 与x 轴正方向的夹角为θ，由题意可得出63ππ
θ<<且4πθ≠，由tan m θ=可
得出实数m 的取值范围.
【详解】设向量a 、b
的起点均为O ，终点分别为A 、B ，可得出OA 与x 轴正方向的夹角为
4
π，设向量OB 与x 轴正方向的夹角为θ，由于0,12AOB π⎛⎫
∠∈ ⎪⎝⎭
，
则,464AOB πππθ⎛⎫⎛⎫=-∠∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭或,443AOB πππθ⎛⎫⎛⎫=+∠∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
.
即B 在1B 与2B （不与A 重合）之间，
(tan ,1
3m θ⎫∴=∈⎪⎪⎝⎭U ，因此，实数m 的取值范围是(3⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭
U ，故选：C.
【点睛】本题考查利用向量夹角的取值范围求参数，解题时充分利用数形结合法，找到临界位置进行分析，可简化运算，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.7．B
【分析】利用平面向量共线定理进行判断即可．
【详解】28NP a b =-+
，3()PQ a b =- ，283()5NQ NP PQ a b a b a b ∴=+=-++-=+ ，
5MN a b =+ ，
MN NQ ∴= ，
由平面向量共线定理可知，MN 与NQ
为共线向量，
又MN 与NQ
有公共点N ，
M ∴，N ，Q 三点共线，
故选：B ．8．D
【分析】设AC x =，根据已知条件得3
2BC BE x ==
，52
AB x =，根据ADB ∠的正切表示出BD ，再表示出DE ，由51DE =列出方程，解出x 即可得出AB 的长．
【详解】解：设AC x =，根据条件可得32BC BE x ==
，52
AB AC BC x =+=
，tan AB ADB BD ∠==
，BD ∴=
，3
(
)5122
DE BD BE x ∴=-=-=
，18.05
22
x ∴=
，
5
452
AB x ∴=
≈米，故选：D ．9．ABD
【分析】根据向量的加减和数乘运算，即可得出结论.【详解】由题意，
A 项，()326a a -⋅=- ，A 正确.
B 项，()()
222223a b b a a b b a a +--=+-+=
，B 正确.
C 项，()()
22220a b b a a b b a +-+=+--=
，C 错误.
D 项，
(
)
2362a b a b -=- ，D 正确.故选：ABD.10．ABCD
【分析】由重心的性质以及向量的加法运算法则判断选项A ；结合三角形相似及重心性质判断选项A 与C ；利用重心性质及高的比例判断选项D.
【详解】在ABC 中，O ，H ，G
分别是外心、垂心和重心，画出图形，如图所示．
对于B 选项，根据三角形的重心性质由重心的性质可得G 为AD 的三等分点，且2GA GD =-
，
又D 为BC 的中点，所以2GB GC GD +=
，所以20GA GB GC GD GD ++=-+= ，故选项B 正确；
对于A 与C 选项，因为O 为ABC 的外心，D 为BC 的中点，所以OD BC ⊥，所以AH OD ∥，∴AHG DOG ∽，∴2GH AH AG
OG OD DG
===，∴2GH OG =，2AH OD =，故选项A ，C 正确；
对于D ，过点G 作GE BC ⊥，垂足为E ，∴DEG DNA △∽△，则1
3
GE DG AN DA ==，∴BGC 的面积为1111
2233
BGC ABC S BC GE BC AN S =
⨯⨯=⨯⨯⨯=△△；同理，1
3
AGC AGB ABC S S S ==△△△，选项D 正确.
故选：ABCD 11．BD
【分析】取0b =
可判断AC 选项的正误；利用向量相等的定义可判断B 选项的正误；利用
共线向量的定义可判断D 选项的正误.
【详解】对于A 选项，若0b = ，a 、c 均为非零向量，则//a b r r ，//b c
成立，但//a c 不一定成
立，A 错；
对于B 选项，若a b =
，b c = ，则a c = ，B 对；
对于C 选项，若0b = ，0a ≠r r
，则b 的方向任意，C 错；
对于D 选项，若AB 、BC
共线且AB 、BC 共点B ，则A 、B 、C 三点共线，D 对.
故选：BD.12．ACD
【分析】利用向量的数量积的运算律求解即可.
【详解】AB BC AC += ，BC CA BA +=
，而AC BA = ，故A 正确；
设正三角形的边长为2a ，
所以2BA BC += ，
2AC CB AB a +==
，
所以AC CB BA BC +≠+
，故B 不正确；
2
A B AC=
+
，
2
C A CB=
+
,
所以AB AC CA CB
+=+
，故C正确；
24
AB BC AC AC a
++==
，24
CB BA CA CA a
++==
，
所以AB BC AC CB BA CA
++=++
，故D正确．
故选:ACD.
13．22
【分析】先化简为()
2
OA OB OB OC
-=-
，再利用向量的减法法则化简即得解.
【详解】∵320
OA OB OC
-+=
，∴()
2
OA OB OB OC
-=-
，
∴2
BA CB
=
，∴2
AB BC
=
，∴2
AB
BC
=
．
故答案为：2，2.
14．－1或3
【分析】利用向量共线定理即可得出．
【详解】由题意知m a
－3b
＝λ[a
＋(2－m) b
]，
∴()
32
m
m
λ
λ
=
⎧
⎨-=-
⎩
解得m＝－1或m＝3.
故答案为－1或3.
【点睛】本题考查了向量共线定理，属于基础题．
15．120︒
【分析】根据向量加法的平行四边形法则求得正确答案.
【详解】因为DA DC DB
+=
，所以由向量的加法的几何意义可知四边形ABCD是平行四边形，
又因为DA DB DC
==，所以四边形ABCD是菱形，
且60
DAB
∠=︒，所以120
ABC
∠=︒．
故答案为：120︒
16
．
【分析】根据向量加法运算结合菱形的性质及角度，求出模长即可
【详解】如图所示，设菱形对角线交点为O ,BC DC AD AB AC +=+=
．
因为120ABC ∠=︒，所以60BAD ∠=︒，
所以ABD △为等边三角形．
又AC BD ⊥，2AB =，
所以1OB =．
在Rt AOB △
中，AO = ，
所以2BC DC AC AO +=== ．
故答案为
:17．
(1)
2
；
4.【分析】（1）根据11,()()2
a a
b a b =+⋅-= 即可求b ；（2）设向量a b + 与a b - 大角为θ,()()
cos a b a b a b a b θ+⋅-=+⨯- .【详解】（1）()()
2212
a b a b a b +⋅-=-= ，1a = ，21||2b ∴=
，b ∴= （2）22211212242a b a a b b +=+⋅+=+⨯+=
,a b ∴+= 22211212142
a b a a b b -=-⋅+=-⨯+= ,1a b ∴-= ，
设向量a b + 与a b - 大角为θ,()(
)
12cos a b a b a b a b θ+⋅-∴=+⨯- 18．10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】根据梯形的几何性质和向量的线性运算可得DE AB
λ= ，可求得实数
λ的取值范围.【详解】由图分析知cos30
DC AB BC =-︒∵AE AD AB λ=+ ,∴AE AD AB λ-= ，即DE AB λ= ，∴DE AB
λ=
.又0DE ≤
≤，AB =uu u r 102
λ≤≤.综上，实数λ的取值范围是10,2⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
.【点睛】本题考查向量的线性运算，关键在于运用梯形的几何性质得出向量间的线性关系，属于基础题.
19．隧道DE 的长度为9【解析】首先利用同角三角函数的关系求出3sin 5
γ=，再利用两角差的公式求出()sin 60γ︒-，在△PBC 中，利用正弦定理求出PB ，在△PAB 中，求出AB ，由DE =AB -AD -EB 即可求解.
【详解】解：由4cos 5γ=，γ为锐角，可得3sin 5
γ=
，则()
sin 60sin 60cos cos60sin γγγ︒︒︒-=-=.在△PBC 中，60BPC γ︒∠=-，
PCB γ∠=，12BC =-
由正弦定理可得，(
)3(12sin 5sin 60BC PB γγ︒-⨯==-在△PAB 中，∠PAB =45°
，∠APB =75°，PB =
由正弦定理可得，
sin759
sin45
2
PB
AB︒
︒
⋅
==+
所以DE=AB-AD-EB=9，所以隧道DE的长度为9.
【点睛】本题考查了正弦定理求不可直接测量的两点间的距离，属于基础题.
20．(1)OC a b
=--
uuu r r r
，
51
33
CD a b
=+
；
(2)证明见解析.
【分析】(1)根据向量的加法，减法，数乘运算的几何意义求解；(2)求证CE
，CD
共线即可.【详解】（1）因为点B是点C关于点A的对称点，所以AC AB
=-
，又AB a=
，所以AC a
=-
，因为OC OA AC
=+
，O
O A b
A=-=-
，
所以OC a b
=--
uuu r r r
，
因为点D是线段OB的一个靠近B的三等分点，所以
1
3
BD BO
=
，
由已知22
CB AB a
==
，BA AB a
=-=-
，
所以
11151
()2()
33333 CD CB BD CB BO CB BA AO a a b a b
=+=+=++=+-+=+
.；
（2）∵
413
()
555
CE OE OC b a b a b CD
=-=-++=+=
∴CE
与CD
平行，又∵CE
与CD
有公共点C，∴C，D，E三点共线.
21．（1）
13
44
AE c a
=-
；（2）:4:1
AF CF=.
【分析】（1）由于点D是AC的中点，点E是BD的中点，所以
1
2
AD AC
=
，
1()
2
AE AB AD
=+
，而AC BC BA c a
=-=-
，从而可求得结果，
（2）设AF AC
λ=
，从而可得BF BA AF BA AC
λ
=+=+
，再用a
，c
表示，然后结合14
55
BF a c
=+
，可求得λ的值，从而可求得:
AF CF的值
【详解】（1）因为AC BC BA c a
=-=-
，点D是AC的中点，
所以
11()
22
AD AC c a
==-
，
因为点E是BD的中点，
所以
1111113
()()
2222444
AE AB AD AB AD a c a c a
=+=+=-+-=-
.
（2）设AF AC λ= ，所以()(1)BF BA AF BA AC a c a a c λλλλ=+=+=+-=-+ .又1455BF a c =+ ，所以4=5λ，所以45
AF AC = ，所以:4:1AF CF =.22．31
u λ=⎧⎨=⎩【分析】根据向量线性运算化简已知条件，由此列方程组来求得λ，u 的值.
【详解】由1243e e a ub λ-=+ ，
得()()
()()12121212432323e e e e u e e u e u e λλλ-=-++=++-+ ，得4233u u λλ+=⎧⎨-+=-⎩，解得31
u λ=⎧⎨=⎩．。