2018全国三卷及答案
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2018年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
21．答案：
（1）见解答；
（2） .
解答：
（1）若 时， ，
∴ .
令 ，
∴ .
∴当 时， ， 在 上单调递增，
当 时， ， 在 上单调递减.
∴ ，
∴ 恒成立，
∴ 在 上单调递增，
又 ，
∴当 时， ；当 时， .
（2） ，
，
，
，
.
设 ，
∴ ，ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ， ，
∴在 邻域内， 时， ， 时， .
时， ，由洛必达法则得 ，
三、解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17~31题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答．）
（一）必考题：共60分。
17．（12分）
等比数列 中， ．
⑴求 的通项公式；
⑵记 为 的前 项和．若 ，求 ．
18．（12分）
某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式．为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人，第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式．根据工人完成生产任务的工作时间（单位：min）绘制了如下茎叶图：
（1）第一种生产方式的平均数为 ，第二种生产方式平均数为 ，∴
，所以第一种生产方式完成任务的平均时间大于第二种，∴第二种生产方式的效率更高.
（2）由茎叶图数据得到 ，∴列联表为
（3） ，∴有
的把握认为两种生产方式的效率有差异.
19．答案：见解答
解答：
（1）∵正方形 半圆面 ，
∴ 半圆面 ，∴ 平面 .
∵ 在平面 内，∴ ，又∵ 是半圆弧 上异于 的点，∴ .又∵ ，∴ 平面 ，∵ 在平面 内，∴平面 平面 .
（2）如图建立坐标系：
∵ 面积恒定，
∴ ， 最大.
， ， ， ， ,
设面 的法向量为 ，设面 的法向量为 ，
， ，
， ，
，
同理 ，，
∴ ，∴ .
20．答案：见解答：
解答：
（1）设直线 方程为 ，设 , ,
解答：
.故选B.
5.答案：C
解答：
，当 时， ，此时系数 .故选C.
6.答案：A
解答：
由直线 得 ，∴ ，圆 的圆心为 ，∴圆心到直线 的距离为 ，∴点 到直线 的距离的取值范围为 ，即 ，∴ .
7．答案：D
解答：
当 时， ，可以排除A、B选项；
又因为 ，则 的解集为 ， 单调递增区间为 ， ； 的解集为 ， 单调递减区间为 ， .结合图象，可知D选项正确.
A． B．2C． D．
12．设 ， ，则（）
A． B．
C． D．
二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13．已知向量 ， ， ．若 ，则 ________．
14．曲线 在点 处的切线的斜率为 ，则 ________．
15．函数 在 的零点个数为________．
16．已知点 和抛物线 ，过 的焦点且斜率为 的直线与 交于 ， 两点．若 ，则 ________．
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给的四个选项中，只有一项符合）
1．已知集合 ， ，则 （）
A． B． C． D．
2． （）
A． B． C． D．
3．中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫棒头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是棒头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是（）
A．0.7B．0.6C．0.4D．0.3
9． 的内角 的对边分别为 ， ， ，若 的面积为 ，则 （）
A． B． C． D．
10．设 是同一个半径为4的球的球面上四点， 为等边三角形且其面积为 ，则三棱锥 体积的最大值为（）
A． B． C． D．
11．设 是双曲线 （ ）的左，右焦点， 是坐标原点．过 作 的一条渐近线的垂线，垂足为 ．若 ，则 的离心率为（）
⑴证明：平面 平面 ；
⑵当三棱锥 体积最大时，求面 与面 所成二面角的正弦值．
20．（12分）
已知斜率为 的直线 与椭圆 交于 ， 两点．线段 的中点为 ．
⑴证明： ；
⑵设 为 的右焦点， 为 上一点,且 ．证明： ， ， 成等差数列，并求该数列的公差．
21．（12分）
已知函数 ．
⑴若 ，证明：当 时， ；当 时， ；
联立消 得 ，
则 ，
得 …①，
且 ， ，
∵ ，∴ 且 .
且 …②.
由①②得 ，
∴ 或 .
∵ ，∴ .
（2） ， ,
∵ ， ，∴ 的坐标为 .
由于 在椭圆上，∴ ，∴ ， ，
又 ， ，
两式相减可得 ，
又 ， ，∴ ，
直线 方程为 ，
即 ，
∴ ，
消去 得 ， ，
，
,
∴ .
∴ ， ， 成等差数列，
.∴ .
∵ ， ，∴ ；
又因为 ，所以 ；
在 中， ；
∵在 中， ，
∴
.
12．答案：B
解答：
∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ，∴ 即 ，
又∵ ， ，∴ ，故选B.
二、填空题
13．答案：
解答：
，∵ ，∴ ，解得 .
14．答案：
解答：
，则 ，
所以 .
15．答案：
解答：
由 ，有 ，解得 ，由 得 可取 ，∴ 在 上有 个零点.
8．答案：B
解答：
由 ，∴ ，∴ ，解之得 ，由 ，有 .
9．答案：C
解答：
，又 ，故 ，∴ .故选C.
10．答案：B
解答：
如图， 为等边三角形，点 为 ， ， ， 外接球的球心， 为 的重心，由 ，得 ，取 的中点 ，∴ ，∴ ，∴球心 到面 的距离为 ，∴三棱锥 体积最大值 .
11．答案：C
解答：
23．答案：见解答
解答：
（1） ，如下图：
（2）由（1）中可得： ， ，
当 ， 时， 取最小值，
∴ 的最小值为 .
23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）
设函数 ．
⑴画出 的图像；
⑵当 ， ，求 的最小值．
2018年普通高等学校招生全国统一考试
（新课标 III 卷）
理科数学答案
一、选择题
1.答案：C
解答：
∵ ， ，∴ .故选C.
2.答案：D
解答：
，选D.
3.答案：A
解答：
根据题意，A选项符号题意.
4.答案：B
⑴根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由；
⑵求40名工人完成生产任务所需时间的中位数 ，并将完成生产任务所需时间超过 和不超过 的工人数填入下面的列联表：
超过
不超过
第一种生产方式
第二种生产方式
⑶根据⑵中的列表，能否有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异？
附： ， ．
19．（12分）
如图，边长为2的正方形 所在平面与半圆弧 所在平面垂直， 是 上异于 ， 的点．
时， ，由洛必达法则得 ，
综上所述， .
22．答案：见解析
解答：
（1） 的参数方程为 ，∴ 的普通方程为 ，当 时，直线： 与 有两个交点，当 时，设直线 的方程为 ，由直线 与 有两个交点有 ，得 ，∴ 或 ，∴ 或 ，综上 .
（2）点 坐标为 ，当 时，点 坐标为 ，当 时，设直线 的方程为 ， ，∴ 有 ，整理得 ，∴ ， ，∴ 得 代入④得 .当点 时满足方程 ，∴ 中点的 的轨迹方程是 ，即 ，由图可知， ， ，则 ，故点 的参数方程为 （ 为参数， ）.
16．答案：
解答：
依题意得，抛物线 的焦点为 ，故可设直线 ，联立 消去 得 ，设 ， ，则 ， ，∴ ， .又 ， ，∴
，∴ .
三、解答题
17．答案：
（1） 或 ；
（2） .
解答：
（1）设数列 的公比为 ，∴ ，∴ .
∴ 或 .
（2）由（1）知， 或 ，
∴ 或 （舍），
∴ .
18．答案：见解析
解答：
⑵若 是 的极大值点，求 ．
（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分．
22．[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）
在平面直角坐标系 中， 的参数方程为 （ 为参数），过点 且倾斜角为 的直线 与 交于 两点．
⑴求 的取值范围；
⑵求 中点 的轨迹的参数方程．
4．若 ，则 （）
A． B． C． D．
5． 的展开式中 的系数为（）
A．10B．20C．40D．80
6．直线 分别与 轴， 轴交于 ， 两点，点 在圆 上，则 面积的取值范围是（）
A． B． C． D．
7．函数 的图像大致为（）
8．某群体中的每位成品使用移动支付的概率都为 ，各成员的支付方式相互独立，设 为该群体的10位成员中使用移动支付的人数， ， ，则 （）
理科数学
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
21．答案：
（1）见解答；
（2） .
解答：
（1）若 时， ，
∴ .
令 ，
∴ .
∴当 时， ， 在 上单调递增，
当 时， ， 在 上单调递减.
∴ ，
∴ 恒成立，
∴ 在 上单调递增，
又 ，
∴当 时， ；当 时， .
（2） ，
，
，
，
.
设 ，
∴ ，ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ， ，
∴在 邻域内， 时， ， 时， .
时， ，由洛必达法则得 ，
三、解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17~31题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答．）
（一）必考题：共60分。
17．（12分）
等比数列 中， ．
⑴求 的通项公式；
⑵记 为 的前 项和．若 ，求 ．
18．（12分）
某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式．为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人，第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式．根据工人完成生产任务的工作时间（单位：min）绘制了如下茎叶图：
（1）第一种生产方式的平均数为 ，第二种生产方式平均数为 ，∴
，所以第一种生产方式完成任务的平均时间大于第二种，∴第二种生产方式的效率更高.
（2）由茎叶图数据得到 ，∴列联表为
（3） ，∴有
的把握认为两种生产方式的效率有差异.
19．答案：见解答
解答：
（1）∵正方形 半圆面 ，
∴ 半圆面 ，∴ 平面 .
∵ 在平面 内，∴ ，又∵ 是半圆弧 上异于 的点，∴ .又∵ ，∴ 平面 ，∵ 在平面 内，∴平面 平面 .
（2）如图建立坐标系：
∵ 面积恒定，
∴ ， 最大.
， ， ， ， ,
设面 的法向量为 ，设面 的法向量为 ，
， ，
， ，
，
同理 ，，
∴ ，∴ .
20．答案：见解答：
解答：
（1）设直线 方程为 ，设 , ,
解答：
.故选B.
5.答案：C
解答：
，当 时， ，此时系数 .故选C.
6.答案：A
解答：
由直线 得 ，∴ ，圆 的圆心为 ，∴圆心到直线 的距离为 ，∴点 到直线 的距离的取值范围为 ，即 ，∴ .
7．答案：D
解答：
当 时， ，可以排除A、B选项；
又因为 ，则 的解集为 ， 单调递增区间为 ， ； 的解集为 ， 单调递减区间为 ， .结合图象，可知D选项正确.
A． B．2C． D．
12．设 ， ，则（）
A． B．
C． D．
二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13．已知向量 ， ， ．若 ，则 ________．
14．曲线 在点 处的切线的斜率为 ，则 ________．
15．函数 在 的零点个数为________．
16．已知点 和抛物线 ，过 的焦点且斜率为 的直线与 交于 ， 两点．若 ，则 ________．
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给的四个选项中，只有一项符合）
1．已知集合 ， ，则 （）
A． B． C． D．
2． （）
A． B． C． D．
3．中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫棒头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是棒头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是（）
A．0.7B．0.6C．0.4D．0.3
9． 的内角 的对边分别为 ， ， ，若 的面积为 ，则 （）
A． B． C． D．
10．设 是同一个半径为4的球的球面上四点， 为等边三角形且其面积为 ，则三棱锥 体积的最大值为（）
A． B． C． D．
11．设 是双曲线 （ ）的左，右焦点， 是坐标原点．过 作 的一条渐近线的垂线，垂足为 ．若 ，则 的离心率为（）
⑴证明：平面 平面 ；
⑵当三棱锥 体积最大时，求面 与面 所成二面角的正弦值．
20．（12分）
已知斜率为 的直线 与椭圆 交于 ， 两点．线段 的中点为 ．
⑴证明： ；
⑵设 为 的右焦点， 为 上一点,且 ．证明： ， ， 成等差数列，并求该数列的公差．
21．（12分）
已知函数 ．
⑴若 ，证明：当 时， ；当 时， ；
联立消 得 ，
则 ，
得 …①，
且 ， ，
∵ ，∴ 且 .
且 …②.
由①②得 ，
∴ 或 .
∵ ，∴ .
（2） ， ,
∵ ， ，∴ 的坐标为 .
由于 在椭圆上，∴ ，∴ ， ，
又 ， ，
两式相减可得 ，
又 ， ，∴ ，
直线 方程为 ，
即 ，
∴ ，
消去 得 ， ，
，
,
∴ .
∴ ， ， 成等差数列，
.∴ .
∵ ， ，∴ ；
又因为 ，所以 ；
在 中， ；
∵在 中， ，
∴
.
12．答案：B
解答：
∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ，∴ 即 ，
又∵ ， ，∴ ，故选B.
二、填空题
13．答案：
解答：
，∵ ，∴ ，解得 .
14．答案：
解答：
，则 ，
所以 .
15．答案：
解答：
由 ，有 ，解得 ，由 得 可取 ，∴ 在 上有 个零点.
8．答案：B
解答：
由 ，∴ ，∴ ，解之得 ，由 ，有 .
9．答案：C
解答：
，又 ，故 ，∴ .故选C.
10．答案：B
解答：
如图， 为等边三角形，点 为 ， ， ， 外接球的球心， 为 的重心，由 ，得 ，取 的中点 ，∴ ，∴ ，∴球心 到面 的距离为 ，∴三棱锥 体积最大值 .
11．答案：C
解答：
23．答案：见解答
解答：
（1） ，如下图：
（2）由（1）中可得： ， ，
当 ， 时， 取最小值，
∴ 的最小值为 .
23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）
设函数 ．
⑴画出 的图像；
⑵当 ， ，求 的最小值．
2018年普通高等学校招生全国统一考试
（新课标 III 卷）
理科数学答案
一、选择题
1.答案：C
解答：
∵ ， ，∴ .故选C.
2.答案：D
解答：
，选D.
3.答案：A
解答：
根据题意，A选项符号题意.
4.答案：B
⑴根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由；
⑵求40名工人完成生产任务所需时间的中位数 ，并将完成生产任务所需时间超过 和不超过 的工人数填入下面的列联表：
超过
不超过
第一种生产方式
第二种生产方式
⑶根据⑵中的列表，能否有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异？
附： ， ．
19．（12分）
如图，边长为2的正方形 所在平面与半圆弧 所在平面垂直， 是 上异于 ， 的点．
时， ，由洛必达法则得 ，
综上所述， .
22．答案：见解析
解答：
（1） 的参数方程为 ，∴ 的普通方程为 ，当 时，直线： 与 有两个交点，当 时，设直线 的方程为 ，由直线 与 有两个交点有 ，得 ，∴ 或 ，∴ 或 ，综上 .
（2）点 坐标为 ，当 时，点 坐标为 ，当 时，设直线 的方程为 ， ，∴ 有 ，整理得 ，∴ ， ，∴ 得 代入④得 .当点 时满足方程 ，∴ 中点的 的轨迹方程是 ，即 ，由图可知， ， ，则 ，故点 的参数方程为 （ 为参数， ）.
16．答案：
解答：
依题意得，抛物线 的焦点为 ，故可设直线 ，联立 消去 得 ，设 ， ，则 ， ，∴ ， .又 ， ，∴
，∴ .
三、解答题
17．答案：
（1） 或 ；
（2） .
解答：
（1）设数列 的公比为 ，∴ ，∴ .
∴ 或 .
（2）由（1）知， 或 ，
∴ 或 （舍），
∴ .
18．答案：见解析
解答：
⑵若 是 的极大值点，求 ．
（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分．
22．[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）
在平面直角坐标系 中， 的参数方程为 （ 为参数），过点 且倾斜角为 的直线 与 交于 两点．
⑴求 的取值范围；
⑵求 中点 的轨迹的参数方程．
4．若 ，则 （）
A． B． C． D．
5． 的展开式中 的系数为（）
A．10B．20C．40D．80
6．直线 分别与 轴， 轴交于 ， 两点，点 在圆 上，则 面积的取值范围是（）
A． B． C． D．
7．函数 的图像大致为（）
8．某群体中的每位成品使用移动支付的概率都为 ，各成员的支付方式相互独立，设 为该群体的10位成员中使用移动支付的人数， ， ，则 （）