常微分方程作业

常微分⽅程作业
安顺市镇宁县六马中学
教师：韦应俭
第⼀部分
⼀、常微分⽅程的概念
含有⾃变量、函数及其导数的关系式. ⼆、⼀阶微分⽅程的初等解法（1）变量分离⽅程形如：)()(y x f dy
dx
ρ=的⽅程，称为变量分离⽅程，这⾥)(),(y x f ρ分别是y x ,的连续函数.
（2）可化为分离变量⽅程的⽅程的三种形式①)(xy f dy dx y
x =?
；②)(x y g dy dx =；③)(222111x
c x b x a x c x b x a f dy dx
++++= （3）贝努⼒⽅程
n y x g y x dy
dx
)()(+=ρ（4）⼀阶线性⽅程
)()(x g y x dx
dy
+=ρ（5）Riccaiti ⽅程
)()()(2x r y x g y x dx
dy
++=ρ（6）形如0),(),(=+dy y x N dx y x M 的⽅程①若
0=??-??x
N
y M ，则⽅程式恰当的
通解是0)(.0)1
(12
=-+==+-
+dy x y ydx dc dy y y
x dx y ②若M
x N
y M -??-??只含有y ，则原⽅程有积分因⼦.
=-??-??dx M
x
n y m e y )(µ，即0),()(),()(=+dy y x N y dx y x M y µµ是恰当的
③若N
x
N y M ??-??只含y ，则?=??-??dy n x
n
y m e y )(µ，即
0),()(),()(=+dy y x N x dx y x M x µµ是恰当的
④若M
N x
N y M -??-??,只含)(y x +，则?=++-??-??)()(y x d M N x
n
y m e y x µ
⑤若xM
yN x N y M -??-??，只含有)(xy ，则?==??-
)
()(xy d xM yN x n y m e xy µ
三、⼀阶微分⽅程的解的存在定理（1）研究的⽬的
（2）解存在但不唯⼀的例⼦
10,100)(22<
≤<≤≤=-=?-=?=c x c x c x y c x y y dx dy
其中
（3）解的存在性定理⼀阶显⽰⽅程：
),(y x f dx
dy
=……)1.3( 初值问题：
==0
0)(),(y x y y x f dx dy ……)2.3(
定理)1.1.3(存在唯⼀性定理
如果)1.3(的),(y x f 在R ：b y y a x x ≤-≤-||,||00上满⾜：（1）在R 上连续（2）在R 上关于y 满⾜lipshit 条件，则初值问题)2.3(在区间h x x ≤-||0上
上存在唯⼀解.其中),(y x f 对y 满⾜lipshit 条件是指，0>?L 常数,对R 中?两点),(),,.(1210y x y x 均有不等式成⽴：|||),(),(|2121y y L y x f y x f -≤-
.20k y x y x f M m
b
a h ∈=),(|),(|max ),,
min( ⼏何解释：线段场定义)1.3(中的),(y x f 在2R k ∈内有定义，对R 中?点
),(y x ，以),(y x 为中⼼，作⼀单位线段),(y x f k =，称为在点),(y x 的浅
素。

)(Re mark 的⼏点说明
1
)!
1(|)()(|1++≤-n n n h n ML x x ρρ是⼏次近似解)(x n ρ对精确解
)(x ρ的误差估计
02检验lipshit 条件可⽤较强的但易于计算的条件来代替，即若
y
f
在R 存在并有界)(||常数lipshit L y
f
≤，则),(y x f 在R 上关于y 满⾜lipshit 条件或
y
f
在R 上连续，则),(y x f 在R 上满⾜lipshit 条件（反之不成⽴） |||||)
,(|
|),(),(|212121y y L y y y
y x f y x f y x f -≤-??=- （4）解的延拓
01解的右⾏延拓
设)(x ρ使⽅程)1.3(的解，],[),(0],,[h x x h x +∈>?∈βαρβα及在],[βα上，称)(x ρ是过β的右延拓解.
02饱和解
若)(x ρ是],[βα上的解且过βα,不能左右延拓，则)(x ρ为],[βα上的饱和解.
03在什么条件下解可延拓
若果⽅程)1.3(的函数),(y x f 在区域G 内连续，关于y 满⾜局部的lipshit 条件，则⽅程)1.3(通过G 中?内),(00y x ?的解)(x ρ可以左右延拓.
04解的延拓定理
如果⽅程)1.3(右端函数),(y x f 在有界区域G 中连续，在G 内关于y 满⾜局部lipshit 条件，那么⽅程)1.3(的解通过G 内),(00y x ?的解)(x y ρ=可以延拓，直到点?))(,(x x ρ接近G 的边界，以向x 增⼤的⼀⽅的延拓来说，如果)(x y ρ=只能延拓到区间m x x ≤≤0上，当m x →时，))(,(x x ρ趋近于G 的边界.
推论：如果G 是⽆界的区域，在上⾯解的延拓定理条件下，⽅程)1.3(通过点),(00y x 的解)(x y ρ=可以延拓，以向x 增加的⼀⽅延拓来说有以下2种情况
（1）解)(x y ρ=可以延拓到区间],[0+∞x
（2）解)(x y ρ=只可以延拓到),[0m x ，其中m 为有限数，则当m x →时，或)(x y ρ=⽆界，或点))(,(x x ρ趋于G 的边界. （5）奇解
01包络与奇解
对于某些微分⽅程，存在⼀条特殊的积分曲线并不属于这个⽅程的积分曲线族，但是在这条特殊的积分曲线上的每⼀点处，都有积分曲线族中的⼀条曲线与之相切.
02求解⽅法
由微分⼏何学知：曲线族的包络包含在由下列两个⽅程：
==0),,(0
),,(c y x c y x c
φφ消去c ⽽得到的曲线. 03奇解的定义微分⽅程的某⼀个解称为奇解是指如果在这个解的每
⼀个点上⾄少还有⽅程的另⼀个解存在，也就是说奇解是这样⼀个解，在它上⾯的每⼀个点唯⼀性不成⽴，或者说对应曲线上每⼀点⾄少还有⽅程的两条积分曲线通过。

四、⾼阶微分⽅程
定义：⼆阶及⼆阶以上的微分⽅程（1）线性微分⽅程的⼀般理论
+=--1
11
)(n n n n dt x
d t a dt x d ……)()()(1t f c t a dt dx t a n n =++-……)1.4( ,2,1)((=i t ai ……)n ，)(t f 都是b t a ≤≤的连续函数 ++--1
11)(n n n n dt
x
d t a dt x d ……0)()(1=++-x t a dt dx t a n n ……)2.4( 称)1.4(为n 阶⾮奇次线性微分⽅程，简称⾮奇次线性⽅程. 称)2.4(为n 阶奇次线性微分⽅程，简称奇次线性⽅程. 给出⽅程)1.4(的解的存在唯⼀性定理
定理1：如果,2,1)((=i t ai ……)n 及)(t f 都是b t a ≤≤的连续函数，则对于
],[0b a t ∈?及,,)1(00x x ?……)
1(0
-n x ⽅程)1.4(有唯⼀解，)(t x ρ=定义在b t a ≤≤. 满⾜初始条件
+==)1(0000)(,)(x dt t d x t ρρ……)
1(01
01)(---=+n n n x dt
t d ρ……)3.4(
（2）奇次线性⽅程的解的性质及结构
///)(v u v u +=+ dx dx x d 42)2(22==
定理2（叠加原理）：如果),(),(21t x t x ……)(t x n 是⽅程)2.4(的k 个解，则它们的线性组合++)()(2211t x c t x c ……)(1t x c k 也是)2.4(的解，其中
21,c c ，……k c 为?常数.
定理3：若函数)(),(21t x t x ，……)(t x n 在区间b t a ≤≤上线性相关，则在
],[b a 上，0)(≡t W
定理4：如果⽅程)2.4(的解)(),(21t x t x ，……)(t x n 在区间b t a ≤≤上线性⽆关，则++)()([21t x t x W ……)](t x n +在这个区间的任何点上不等于0，即0)(≠t W .
定理5：n 阶奇次线性⽅程)2.4(⼀定存在n 个线性⽆关的解. 定理6（通解结构原理）：如果),(),(21t x t x ……)(t x n 是⽅
程)2.4(的n 个线性⽆关的解，则)2.4(的通解表⽰为：
++=)()(21t x c t x c x ……)(n n t x c +……)6.4(
其中：,,21c c ……n c ,为任意常数)6.4(包含了)2.4(所有解（3）常系数线性微分⽅程
01复值函数与复值解
复值函数??
函数值是复数
⾃变量是实数
实变函数：⾃变量是实数，函数值也是实数。

复变函数：⾃变量是复数，函数值也是复数.
02复值指数函数
bi a z += β?ρi k t i t t z +?=+=令)()()(
)sin (cos )(t i t e e e e e t t i t t i kt ββββ+=?==??+?称为复值指数函数
03复值解的定义
定义在区间b t a ≤≤上的实变量变值数)(t z x =称为⽅程)1.4(的变值解.
++--1
11)
()()(n n n n dt
t z d t a dt t z d ……)()()()()(1x f t z t a dt t dz t a n n ≡++- 04定理8如果⽅程)2.4(中所有系数2,1)((=i t ai ……)n 都是实值函数，⽽
)()()(t i t t z x ?ρ+==是⽅程的变值解，则实部)(t ρ，虚部)(t ?及共轭变值函数)(t z 也是)2.4(的解.
5若⽅程++--111)(n n n n dt
x
d t a dt x d ……)()()()(1t v t u x t a dt dx t a n n +=++-有变值解
)()(t iv t u x +=这⾥2,1)((=i t ai ……)n 及)(),(t v t u 都是实函数，那么
)()(t v t u 及分别是⽅程:
=+++==++++------)()()(......)()()()()(......)(111
1111t v x t a dt dx t a dt x d t a dt
x d t u x t a dt dx
t a dt x d t a dt x d n n n n n n n n n n n n n 的解.
第⼆部分
⼀、解的延拓定理
01如果⽅程)1.3(右端函数),(y x f 在有界区域G 中连续，在G 内关
于y 满⾜局部lipshit 条件，那么⽅程)1.3(的解通过G 内),(00y x ?的解
)(x y ρ=可以延拓，直到点?))(,(x x ρ接近G 的边界，以向x 增⼤的⼀⽅
的延拓来说，如果)(x y ρ=只能延拓到区间m x x ≤≤0上，当m x →时，
))(,(x x ρ趋近于G 的边界.
02证明：),(|//rt t m d -≤，这样，定理的后半部分证明是错误的，下
⾯给出⼀个新的证明。

证明记图为]})[(,{({∈=r y r Gr ，设)(1t f 的解I 和
是的延拓，当)(()z Gr Gr <，定义1≤显然，当≤1肘时，是肘延拓，记)(I s =是肘延拓了，则),(≤s 是⼀个偏序集，如果}1{A ∈是s 的⼀个⾮空有序⼦集，则}]11[{A Gr ∈-是某个延拓的图，显然是}1{A ∈的上界，由zrrn 引理，存在延拓。

⼆、定理在数学分析上的应⽤
01.延拓下列函数，使其在R 上连续.
（1）2
8
)(3--=x x x f ；（2）2
cos 1)(x x x f -=；（3）x x x f 1cos )(=. 解前提⽰如果函数)(x f 在R 上⽆定义的点皆为可去间断点，那
么只需在每个⽆定义的点0x 处补出定义)(lim )(0
0x f x f x
x →=，就可以使)
(x f 的定义域扩⼤到R 上且处处连续.
解：（1）)(x f 在2=x 处⽆定义，⽽12)42(lim 28
lim )(lim 22322=++=--=→→→x x x x x f x x x . 故2=x 为)(x f 的可去间断点，令
=≠--=,2,12,2,28
)(3x x x x x F 即42)(2++=x x x F ，
)(R x ∈就是)(x f 的延拓，且在),(+∞-∞上连续.
（2）)(x f 在0=x 处⽆定义，⽽.21
cos 1lim )(lim
2
0=-=→→x x x f x x 令=≠-=,0,2
1,
0,cos 1)(2x x x x
x F 则)(x F 就是)(x f 的延拓，且在R 上连续.
（3）函数)(x f 仅在0=x 处⽆定义，⽽01
cos lim )(lim 0
0==→→x
x x f x x 故
令
=≠=,
0,0,
0,1cos )(x x x
x x F 则)(x F 就是)(x f 的延拓，且)(x F 在R 上连续.
贵州省2010年农村义务教育阶段学校教师特设岗位招聘考试数学模拟试卷
专业知识篇（共70分）
⼀、填空题（共6⼩题，每⼩题2分，共12分） 1.函数322++-=x x y 的定义域是
2.=-∞
→x x x x )1(
lim ； =∞→x
x x 1sin lim
3.
=--223500702
22204
03 ； =--+---+---1
11111111
1111111x x x x
4.交换⼆次积分次序，则=?
x
x
dy y x f dx 24
),(
计算⼆次积分
=?
dx x
x
dy y 1
1
cos 5.已知空间三点),5,2,3(),5,1,2(),3,2,1(--C B A 试求△ABC 的⾯积= ⼆、计算下列各题题（共四个⼩题，每⼩题4分，共16分） 1.求极限=-→x
x x 2sin )
31ln(lim 0
2.设,)3(2sin 2
x
x x y +=求导数
dx
dy
3. ①求定积分dx x
x ?
-2
1
2
1；②求不定积分?xdx x arctan
4.在等差数列}{n a 中，n n S a a a 与求,15,742==
三、解答题（共4个⼩题，每⼩题6分，共24分）
1. ①已知两点)1,0,3(),3,2,1(21--M M ，求线段21M M 的垂直平分⾯β的⽅程.
②过两点)7,2,5(),1,2,1(--作⼀平⾯，使该平⾯与平⾯02=-+z y x 垂直.
2. ①设矩阵-=200012021A , ,300020001??
=B 求1
)(-BA
②已知B AX X +=，其中??
---=101111010A ，
--=350211B .求矩阵X
3.求常微分⽅程0/=+y xy 的通解及在2)1(=f 的特解.
4.求幂级数+?+?+?43322132x x x …+++)
1(n n x n
……的收敛域.
四、应⽤题（共2⼩题，每⼩题6分，共12分）
1.⼀实习⽣⽤同⼀台机器接连独⽴地制造3个同种零件，第i 个零件时不合格品德概率
)3,2,1(11
=+=
i i
p i ，以X 表⽰3个零件中合格品的个数，求}2{=X P .
2.要造⼀个长⽅形⽆盖蓄⽔池，其容积为3
500m ，底⾯为正⽅形，设底⾯与四壁所使⽤的材料的单位造价相同，问底边和⾼各为多少时，才能使所⽤材料费最省？
五、证明题.（共6分）
设)(x f 是以T 为周期的周期函数，且)(x f 在任意有限区间上连续，证明：对任意的a ，等式?
a a
T
dx x f dx x f )()(0成⽴.。