《探索三角形全等的条件(第1课时)》示范公开课教学设计【北师大版七年级数学下册】

第四章三角形
4.3探索三角形全等的条件
第1课时
一、教学目标
1.探索判定三角形全等所需条件的个数；
2.掌握三角形全等的边边边条件，会应用它解决问题；
3.了角三角形的稳定性．
二、教学重点及难点
重点：三角形全等条件（sss）的探索过程．
难点：利用sss进行简单的推理和判断．
三、教学准备
多媒体课件
四、教学资源
相关图片
五、教学过程
【复习回顾】
回忆前面研究过的全等三角形．如图，
已知△ABC≌△DEF，找出其中相等的边与角．
图中相等的边是：AB＝DE，BC＝EF，AC＝DF．相等的角是：∠A＝∠D，∠B＝∠E，∠C＝∠F．
【问题情境】
这里有一个三角形纸片，你能画一个三角形与它全等吗？怎样画？
根据定义，先量出三角形纸片的各边长和各个角的度数，再作出一个三角形使它的边、角分别和已知的三角形纸片的对应边、对应角相等．这样作出的三角形一定与已知的三角形纸片全等．请问，是否一定需要六个条件呢？条件能否尽可能少呢？现在我们就来探究这个
问题．
设计意图：提出“全等判定”问题，明确探究方向，激发探究欲望．
【探究新知】
探究一：判定三角形全等所需条件的个数
先任意画一个△ABC，按要求再画一个△DEF，你画出的△DEF与△ABC一定全等吗？让学生按照下面给出的条件作出三角形．
活动1.如果只满足一个条件
（1）只给一条边时如3cm；
（2）只给一个角时如45°．
结论：只有一条边或一个角对应相等的两个三角形不一定全等．
活动2．如果满足两个条件
（1）三角形的两条边分别是3cm，4cm；
结论：两条边对应相等的两个三角形不一定全等．
（2）三角形的—条边为4cm，一个角为30°；
结论：一条边一个角对应相等的两个三角形不一定全等．
（3）三角形的两个角分别是30°，45°．
结论：两个角对应相等的两个三角形不一定全等．
根据三角形的内角和为180°，则第三个角一定对应相等，所以当三个内角对应相等时，两个三角形不一定全等．
通过画一画，剪一剪，比一比的方式，得出结论：
只给出一个或两个条件时，都不能保证所画出的两个三角形一定全等．
活动3．如果满足三个条件
（1）三个角；（2）三条边；（3）两边一角；（4）两角一边．
（1）已知两个三角形的三个内角分别为30°，60°，90°，它们一定全等吗？
这说明有三个角对应相等的两个三角形不一定全等．
（2）已知两个三角形的三条边都分别为3cm，4cm，6cm，它们一定全等吗？
通过平移、旋转、翻折，得到它们能够完全重合，也就是说它们是全等的． 设计意图：探索
探究二：全等三角形的判定方法
先任意画出一个△ABC ，再画一个△A ′B ′C ′，使A ′B ′＝AB ，B ′C ′＝BC ，C ′A ′＝CA ，把画好的△A ′B ′C ′剪下，放到△ABC 上，它们全等吗？
活动1.让学生充分交流后，在教师的引导下作出△A ′B ′C ′，并通过比较得出结论：三边对应相等的两个三角形全等．
画法：（1）画射线B ′M ，在射线B ′M 截取线段B ′C ′＝BC ；
（2）分别以B ′，C ′为圆心，AB ，AC 为半径画弧，两弧相交于点A ′． （3）连接A ′B ′，A ′C ′得△A ′B ′C ′．
剪下△A ′B ′C ′放在△ABC 上，可以看到△A ′B ′C ′≌△ABC ．
通过观察，我们得到一个规律：
三边分别相等的两个三角形全等（可以简写成“边边边”或“SSS ”）．
这个定理说明，只要三角形的三边的长度确定了，这个三角形的形状和大小就完全确定了，这也是三角形具有稳定性的原理．
符号语言：如图：
在△ABC 与△DEF 中， AB DE BC EF AC DF =⎧⎪
=⎨⎪=⎩
，，
， ∴△ABC ≌△DEF （SSS ）．
C
B
A
活动2.判断或证明的书写步骤：
（1）准备条件：证全等时要用的条件要先证好．
（2）三角形全等书写三步骤：
①写出在哪两个三角形中；
②摆出三个条件用大括号括起来；
③写出全等结论．
设计意图：学生通过动手操作、自主探究、交流、获得新知，增强了动手能力，同时也渗透了分类的思想．
探究三：三角形的稳定性
用长度适当的木条，把它们分别做成三角形和四边形框架，并拉动它们，你发现了什么？
三角形的大小和形状是固定不变的，而四边形的形状会改变.
只要三角形三边的长度确定了，这个三形的形状和大小就确定，三角形的这个性质叫三角形的稳定性.
设计意图：明确三角形的性质及其应用，感受数学与生活的密切联系.
【典型例题】
例1．已知：如图，AB＝AD，BC＝DC，
求证：△ABC≌△ADC．
证明：在△ABC和△ADC中，
AB AD BC DC AC AC =⎧⎪
=⎨⎪=⎩
，，
， ∴△ABC ≌△ADC （SSS ）．
设计意图：运用“边边边”判定方法证明简单的几何问题，体会证明过程的规范性； 例2．如图所示，△ABC 是一个风筝架，AB ＝AC ，AD 是连接点A 与BC 中点D 的支架．试说明：AD ⊥BC ．
分析：要使AD ⊥BC ，根据垂直的定义，需使∠1＝∠2，而∠1＝∠2可由△ABD ≌△ACD 求得．
解：∵D 是BC 的中点，∴BD ＝CD ．在△ABD 和△ACD 中，∵⎩⎪⎨⎪
⎧AB ＝AC ，BD ＝CD ，AD ＝AD ，∴△ABD
≌△ACD (SSS )，∴∠1＝∠2(全等三角形的对应角相等)．∵∠1＋∠2＝180°，∴∠1＝∠2＝90°，∴AD ⊥BC (垂直定义)．
设计意图：将垂直关系转化为证两角相等，利用全等三角形证明两角相等是全等三角形的间接应用．
例3.用圆规和直尺画一个角等于已知角的方法： 已知：∠AOB ．
求作：∠A ′O ′B ′，使∠A ′O ′B ′＝∠AOB ．
作法：（1）以点O 为圆心、任意长为半径画弧，分别交OA ，OB 于点C ，D ； （2）画一条射线O ′A ′，以点O ′为圆心、OC 长为半径画弧，交O ′A ′于点C ′； （3）以点C ′为圆心、CD 长为半径画弧，与第2步中所画的弧相交于点D ′； （4）过点D ′画射线O ′B ′，则∠A ′O ′B ′＝∠AOB ．
为什么这样作出的∠A ′O ′B ′和∠AOB 是相等的？ 学生独立思考后，教师点名学生叙述理由．
由作法可知OC ＝O ′C ′，OD ＝O ′D ′，CD ＝C ′D ′，根据“边边边”可知△COD ≌△C ′O ′D ′，所以∠A ′O ′B ′＝∠AOB ．
设计意图：让学生运用“边边边”条件进行尺规作图，同时体会作图的合理性，增强作图技能．
例4．如图，AD ＝CB ，E 、F 是AC 上两动点，且有DE ＝BF ．
(1)若E 、F 运动至图①所示的位置，且有AF ＝CE ．试说明：△ADE ≌△CBF ． (2)若E 、F 运动至图②所示的位置，仍有AF ＝CE ，那么△ADE ≌△CBF 还成立吗？为什么？
(3)若E 、F 不重合，AD 和CB 平行吗？说明理由．
分析：(1)由AF ＝CE ，可推出AE ＝CF ．再利用“SSS ”来证明三角形全等；(2)同样利用“SSS ”来说明三角形全等；(3)由三角形全等，故对应角相等，可推出AD ∥CB ．
解：(1)∵AF ＝CE ，∴AF ＋EF ＝CE ＋EF ，∴AE ＝CF ．在△ADE 和△CBF 中，∵⎩⎪⎨⎪
⎧AD ＝CB ，DE ＝BF ，AE ＝CF ，
∴△ADE ≌△CBF (SSS )；
(2)成立．∵AF ＝CE ，∴AF －EF ＝CE －EF ，∴AE ＝CF ．在△ADE 和△CBF 中， ∵⎩⎪⎨⎪
⎧AD ＝CB ，DE ＝BF ，AE ＝CF ，
∴△ADE ≌△CBF (SSS )； (3)平行．理由如下：∵△ADE ≌△CBF ，∴∠A ＝∠C ，∴AD ∥BC ．
设计意图：解决本题要明确无论E 、F 如何运动，总有两个三角形全等． 例5．已知：如图，AB ＝DC ，AD ＝BC ． 求证：∠A ＝∠C ．
提示：要证明∠A ＝∠C ，可设法使它们分别在两个三角形中，为此，只要连接BD 即可．
证明：连接BD ． 在△BAD 和△DCB 中， AB CD BD DB AD CB =⎧⎪
=⎨⎪=⎩
，，
， ∴△BAD ≌△DCB （SSS ）．
∴∠A ＝∠C （全等三角形的对应角相等）．
设计意图：根据条件构造全等三角形，提高辨析图形的能力. 【随堂练习】
1．（1）如图，已知AB ＝AC ，BD ＝DC ，那么下列结论中不正确的是（ ）．C A ．△ABD ≌△ACD B ．∠ADB ＝90° C ．∠BAD 是∠B 的一半 D ．AD 平分∠BAC
D
C
B
A
设计意图：考查运用“边边边”判定方法进行简单推理论证的能力．
（2）如图，AC ＝DF ，BC ＝EF ，AD ＝BE ，∠BAC ＝72°，∠F ＝32°，则∠ABC ＝ ．76°
设计意图：考查运用“边边边”判定方法进行简单推理计算的能力． 2．已知：如图，AD ＝AC ，BD ＝BC ，∠D ＝55°，求∠C 的度数．
解：在△ABD 和△ABC 中， ∵AD AC BD BC AB AB =⎧⎪
=⎨⎪=⎩
，，，
∴△ABD ≌△ABC （SSS ）．
∴∠C ＝∠D ＝55°（全等三角形的对应角相等）． 3．已知：如图，AB ＝DC ，AC ＝DB ，求证：∠A ＝∠D ．
证明：在△ABC 和△DCB 中，
C
F B
E A D C
A
B
∵AB DC AC BD BC CB =⎧⎪
=⎨⎪=⎩
，，， ∴△ABC ≌△DCB （SSS ）．
∴∠A ＝∠D （全等三角形的对应角相等）．
4．已知：如图AB ＝CD ，AD ＝BC ，E ，F 是BD 上两点，且AE ＝CF ， DE ＝BF ， 那么图中共有几对全等的三角形？把它们分别写出来并加以证明．
解：图中共有三对全等三角形，分别是：①△ABD ≌△CDB ；②△AED ≌△CFB ； ③△ABE ≌△CDF ．
证明：①在△ABD 和△CDB 中， ∵AB DC AD BC BD CB =⎧⎪
=⎨⎪=⎩
，，， ∴△ABD ≌△CDB （SSS ）． ②在△AED 和△CFB 中， ∵AE CF AD BC DE BF =⎧⎪
=⎨⎪=⎩
，，， ∴△AED ≌△CFB （SSS ）． ③∵DE ＝BF ， ∴DF ＋EF ＝BE ＋EF ． ∴DF ＝BE ．
在△ABE 和△CDF 中， ∵AE CF AB CD DF BE =⎧⎪
=⎨⎪=⎩
，，， ∴△ABE ≌△CDF （SSS ）．
B D
设计意图：通过练习，熟悉全等三角形判定的证明格式，通过解题实践，锻炼学生探索与发现问题的能力．
5.如图，已知线段AB ，CD 相交于点O ，AD ，CB 的延长线交于点E ，OA ＝OC ，EA ＝EC ，请说明∠A ＝∠C ．
提示：根据条件OA ＝OC ，EA ＝EC ，OA ，EA 和OC ，EC 恰好分别是△EAO 和△ECO 的两条边，故可以构造两个三角形，利用全等三角形解决．
解：连接OE ．
在△EAO 和△ECO 中，
OA OC EA EC OE OE =⎧⎪=⎨⎪=⎩
，，
， ∴△EAO ≌△ECO （SSS ）．
∴∠A ＝∠C （全等三角形的对应角相等）．
设计意图：考查运用“边边边”判定方法进行简单推理论证的能力．
【课堂小结】
1．探索三角形全等条件的个数．
2．三边对应相等的两个三角形全等（边边边或SSS ）；
3．书写格式：
（1）准备条件；
（2）三角形全等书写的三步骤．
设计意图：通过小结，使学生梳理本节所学内容，理解和掌握构建三角形全等条件的探索思路，以及“边边边”判定方法．
【板书设计】。