15.3.2独立事件的概率-年苏教版(2019)高中数学必修第二册同步教案(学生版+教师版)

编号：039 课题:§15.3.2 独立事件的概率
目标要求
1、理解并掌握独立事件的概念．
2、理解并掌握事件独立性的判断．
3、会求相互独立事件的概率．
4、理解并掌握独立事件概率的应用.
学科素养目标
通过本章学习，使学生充分感受大千世界中的随机现象，并了解到不仅确定性现象有规律、可以预知结果，可以用数学方法去研究，而且不确定性现象也是有规律可循，能够用数学方法进行研究的．从而使学生对客观世界、自然科学和社会科学的看法和认识更深入、全面，初步形成用科学的态度、辩证的思想，用随机的观念去观察、分析和研究客观世界的态度，寻求并获得认识世界的初步知识和科学方法．
重点难点
重点：求相互独立事件的概率；
难点：独立事件概率的应用．
教学过程
基础知识点
独立事件
(1)定义:
一般地,如果事件A 是否发生不影响事件B 发生的概率,那么称A ,B 为相互独立事件.
(2)独立事件的概率计算公式: A ,B 相互独立⇔P (AB )=P (A )P (B ).
说明:若A ,B 相互独立,则A 与B ,A 与B 也相互独立.
【课前基础演练】
题1.（多选．．）下列命题正确．．
的是 ( ) A . 不可能事件与任何一个事件相互独立.
B . 必然事件与任何一个事件相互独立.
C . “P (AB )=P (A )·P (B )”是“事件A ,B 相互独立”的充要条件.
D . 若事件A 和B 为独立事件,则()()()P AB P A P B =+.
题2.一件产品要经过2道独立的加工程序,第一道工序的次品率为a,第二道工序的次品率为b,则产品的正品率为 ( )
A.1-a-b
B.1-ab
C.(1-a)(1-b)
D.1-(1-a)(1-b)
题3.甲、乙两人独立地破译某个密码,甲译出密码的概率为0.35,乙译出密码的概率为0.25,则恰有1人译出密码的概率为________.
关键能力·合作学习
类型一事件独立性的判断(逻辑推理)
【题组训练】
题4.一袋中装有5只白球,3只黄球,在有放回地摸球中,用A1表示第一次摸得白球,A2表示
第二次摸得白球,则事件A1与
2
A是 ( )
A.相互独立事件
B.不相互独立事件
C.互斥事件
D.对立事件
题5.抛掷3枚质地均匀的硬币,若A={既有正面向上又有反面向上},B={至多有1枚
反面向上},则A与B ( )
A.是互斥事件
B.是对立事件
C.是相互独立事件
D.不是相互独立事件
题6.若
121
(),(),()
933
P AB P A P B
===,则事件A与B的关系是 ( )
A.事件A与B互斥
B.事件A与B对立
C.事件A与B相互独立
D.事件A与B既互斥又独立
【解题策略】
两事件是否相互独立的判断
(1)直接法:由事件本身的性质直接判定两个事件发生是否相互影响;
(2)定义法:如果事件A,B同时发生的概率等于事件A发生的概率与事件B发生的概率的积,则事件A,B相互独立.
类型二求相互独立事件的概率(逻辑推理、数学运算)
【典例】题7.甲、乙二人独立破译同一密码,甲破译密码的概率为0.8,乙破译密码的概率为
0.7.记事件A:甲破译密码,事件B:乙破译密码.
(1)求甲、乙二人都破译密码的概率;
(2)求恰有一人破译密码的概率;
(3)小明同学解答“求密码被破译的概率”的过程如下: 【跟踪训练】
题8.甲、乙2个人独立地破译一个密码,他们能译出密码的概率分别为1
3
和
1
4
,求:
(1)2个人都译出密码的概率;
(2)2个人都译不出密码的概率;
(3)至多1个人译出密码的概率.
类型三独立事件概率的应用(逻辑推理、数学建模)
【典例】题9.随着共享单车的成功运营,更多的共享产品逐步走入大家的世界,共享汽车、共享篮球、共享充电宝等各种共享产品层出不穷.广元某景点设有共享电动车租车点,共享电动车的收费标准是每小时2元(不足1小时的部分按1小时计算).甲、乙两人各租一辆电动
车,若甲、乙不超过一小时还车的概率分别为11
,
42
;一小时以上且不超过两小时还车的概率
分别为11
,
24
;两人租车时间都不会超过三小时.
(1)求甲、乙两人所付租车费用相同的概率;
(2)求甲、乙两人所付的租车费用之和大于或等于8的概率.
【解题策略】
求解概率综合应用问题的思路
(1)“大化小”,即将问题化为若干个彼此互斥或相互独立的事件.
(2)运用概率的加法公式和乘法公式求解,在运用乘法公式时一定要注意是否满足相互独立,只有相互独立才能运用乘法公式.
(3)正难则反,间接处理.在求事件的概率时,若遇到“至少…”或“至多…”等概率问题,可从求对立事件的概率计算.
【跟踪训练】
题10.A,B,C三人将参加某项测试,三人能否达标互不影响,已知他们能达标的概率分别是
431
,,
552
,则三人都能达标的概率是________,三人中至少有一人能达标的概率是________. 题11.某田径队有三名短跑运动员,根据平时训练情况统计甲、乙、丙三人100 m跑(互不影
响)的成绩在13 s内(称为合格)的概率分别为231
,,
543
,若对这三名短跑运动员的100 m跑
的成绩进行一次检测,则
(1)三人都合格的概率;
(2)三人都不合格的概率;
(3)出现几人合格的概率最大.
课堂检测·素养达标
题12.在某次考试中,甲、乙通过的概率分别为0.7,0.4,若两人考试相互独立,则甲未通过而乙通过的概率为 ( )
A.0.28
B.0.12
C.0.42
D.0.16
题13.袋内有3个白球和2个黑球,从中不放回地摸球,用A表示“第一次摸得白球”,用B 表示“第二次摸得白球”,则A与B是 ( )
A.互斥事件
B.相互独立事件
C.对立事件
D.不相互独立事件
题14.打靶时,甲每打10次可中靶8次,乙每打10次可中靶7次,若两人同时射击一个目标,则他们同时中靶的概率是 ( )
A.14
25
B.
12
25
C.
3
4
D.
3
5
题15.某光学仪器厂生产的透镜,第一次落地打破的概率为0.3;第一次落地没有打破,第二次落地打破的概率为0.4;前两次落地均没打破,第三次落地打破的概率为0.9.则透镜落地3次以内(含3次)被打破的概率是________.
题16.已知电路中有4个开关,每个开关独立工作,且闭合的概率为1
2
,求灯亮的概率.
编号：039 课题:§15.3.2 独立事件的概率
目标要求
1、理解并掌握独立事件的概念．
2、理解并掌握事件独立性的判断．
3、会求相互独立事件的概率．
4、理解并掌握独立事件概率的应用.
学科素养目标
通过本章学习，使学生充分感受大千世界中的随机现象，并了解到不仅确定性现象有规律、可以预知结果，可以用数学方法去研究，而且不确定性现象也是有规律可循，能够用数学方法进行研究的．从而使学生对客观世界、自然科学和社会科学的看法和认识更深入、全面，初步形成用科学的态度、辩证的思想，用随机的观念去观察、分析和研究客观世界的态度，寻求并获得认识世界的初步知识和科学方法．
重点难点
重点：求相互独立事件的概率；
难点：独立事件概率的应用．
教学过程
基础知识点
独立事件
(1)定义:
一般地,如果事件A是否发生不影响事件B发生的概率,那么称A,B为相互独立事件. (2)独立事件的概率计算公式: A,B相互独立⇔P(AB)=P(A)P(B).
说明:若A,B相互独立,则A与B,A与B也相互独立.
【课前基础演练】
题1.（多选
．．的是 ( )
．．）下列命题正确
A. 不可能事件与任何一个事件相互独立.
B. 必然事件与任何一个事件相互独立.
C. “P(AB)=P(A)·P(B)”是“事件A,B相互独立”的充要条件.
D . 若事件A 和B 为独立事件,则()()()P AB P A P B =+.
【答案】选ABC
提示:A √.不可能事件的发生对任何一个事件的发生没有影响.
B √.必然事件的发生对任何一个事件的发生没有影响.
C √.根据相互独立的定义可知正确.
D ×.若事件A 和B 为独立事件,则()()()P AB P A P B =⋅.
题2.一件产品要经过2道独立的加工程序,第一道工序的次品率为a ,第二道工序的次品率为b ,则产品的正品率为 ( )
A .1-a -b
B .1-ab
C .(1-a )(1-b )
D .1-(1-a )(1-b )
【解析】选C .设A 表示“第一道工序的产品为正品”,B 表示“第二道工序的产品为正品”,则P (AB )=P (A )P (B )=(1-a )(1-b ).
题3.甲、乙两人独立地破译某个密码,甲译出密码的概率为0.35,乙译出密码的概率为0.25,则恰有1人译出密码的概率为________.
【解析】记甲,乙两人译出密码分别为事件A ,B ,则P (A )=0.35,P (B )=0.25,恰有一人译出密码为事件AB AB +,所以
()()()()()P AB AB P A P B P A P B +=+=0.35×(1-0.25)+0.25×(1-0.35)=0.425. 答案:0.425
关键能力·合作学习
类型一 事件独立性的判断(逻辑推理)
【题组训练】
题4.一袋中装有5只白球,3只黄球,在有放回地摸球中,用A 1表示第一次摸得白球,A 2表示第二次摸得白球,则事件A 1与2A 是 ( )
A .相互独立事件
B .不相互独立事件
C .互斥事件
D .对立事件 【解析】选A .由题意可得2A 表示第二次摸到的不是白球,即2A 表示第二次摸到的是黄球,由于采用有放回地摸球,故每次是否摸到黄球互不影响,故事件1A 与2A 是相互独立事件. 题5.抛掷3枚质地均匀的硬币,若A ={既有正面向上又有反面向上},B ={至多有1枚 反面向上},则A 与B ( )
A.是互斥事件
B.是对立事件
C.是相互独立事件
D.不是相互独立事件【解析】选C.抛掷3枚质地均匀的硬币的样本空间Ω={(正,正,正),(正,正,反),
(正,反,正),(反,正,正),(正,反,反),(反,正,反),(反,反,正),(反,反,反)},事件A中所含的样本点为(正,正,反),(正,反,正),(反,正,正),(正,反,反),(反,正,反),(反,反,正),因
此
3
()
4
P A=,事件B中所含的样本点为(正,正,正),(正,正,反),(正,反,正),(反,正,正),
因此
1
()
2
P B=,事件AB中所含的样本点为(正,正,反),(正,反,正),(反,正,正),
因此
3
()
8
P AB=,因此P(AB)=P(A)P(B),即事件A、B相互独立.
题6.若
121
(),(),()
933
P AB P A P B
===,则事件A与B的关系是 ( )
A.事件A与B互斥
B.事件A与B对立
C.事件A与B相互独立
D.事件A与B既互斥又独立
【解析】选C.因为
2
()
3
P A=,所以
1
()
3
P A=,又
11
(),()
39
P B P AB
==,所以有
P(AB)=P(A)P(B),所以事件A与B相互独立但不一定互斥.
【解题策略】
两事件是否相互独立的判断
(1)直接法:由事件本身的性质直接判定两个事件发生是否相互影响;
(2)定义法:如果事件A,B同时发生的概率等于事件A发生的概率与事件B发生的概率的积,则事件A,B相互独立.
类型二求相互独立事件的概率(逻辑推理、数学运算)
【典例】题7.甲、乙二人独立破译同一密码,甲破译密码的概率为0.8,乙破译密码的概率为
0.7.记事件A:甲破译密码,事件B:乙破译密码.
(1)求甲、乙二人都破译密码的概率;
(2)求恰有一人破译密码的概率;
(3)小明同学解答“求密码被破译的概率”的过程如下:
解:“密码被破译”也就是“甲、乙二人中至少有一人破译密码”,所以随机事件“密码被破译”可以表示为A+B,所以P(A+B)=P(A)+P(B)=0.8+0.7=1.5.
请指出小明同学错误的原因并给出正确解答过程.
【解题策略】
求相互独立事件概率的步骤
(1)确定各事件之间是相互独立的.
(2)确定这些事件可以同时发生.
(3)求出每个事件发生的概率,再根据相互独立事件的概率计算公式求解. 【跟踪训练】
题8.甲、乙2个人独立地破译一个密码,他们能译出密码的概率分别为1
3
和
1
4
,求:
(1)2个人都译出密码的概率;
(2)2个人都译不出密码的概率;
(3)至多1个人译出密码的概率.
【解析】记“甲独立地译出密码”为事件A ,“乙独立地译出密码“为事件B ,A 与B 为相互独立事件,且11(),()34
P A P B ==. (1)“2个人都译出密码”的概率为:111()()()3412P AB P A P B ==
⨯=. (2)“2个人都译不出密码”的概率为:
111()()()[1()][1()](1)(1)342
P AB P A P B P A P B ==--=--=. (3)“至多1个人译出密码”的对立事件为“2个人都译出密码”,所以至多1个 人译出密码的概率为:11111()1()()13412P AB P A P B -=-=-⨯
=. 类型三 独立事件概率的应用(逻辑推理、数学建模)
【典例】题9.随着共享单车的成功运营,更多的共享产品逐步走入大家的世界,共享汽车、共享篮球、共享充电宝等各种共享产品层出不穷.广元某景点设有共享电动车租车点,共享电动车的收费标准是每小时2元(不足1小时的部分按1小时计算).甲、乙两人各租一辆电动车,若甲、乙不超过一小时还车的概率分别为
11,42;一小时以上且不超过两小时还车的概率分别为11,24
;两人租车时间都不会超过三小时. (1)求甲、乙两人所付租车费用相同的概率;
(2)求甲、乙两人所付的租车费用之和大于或等于8的概率.
【思路导引】(1)甲、乙两人所付费用相同即同为2,4,6元,求出概率,由此利用互斥事件概率加法公式能求出所付费用相同的概率.
(2)先分析两人费用之和大于或等于8的事件所包含的事件,由此能求出两人费用之和大于或等于8的概率.
【解析】(1)甲、乙两人所付费用相同即同为2,4,6元.都付2元的概率为1111428P =
⨯=; 都付4元的概率为2111248P =⨯=;都付6元的概率为31114416
P =⨯=;故所付费用相同的概率为1231115881616
P P P P =++=++=. (2)设两人费用之和为8,10,12的事件分别为A ,B ,C ,
1111115()44242416P A =⨯+⨯+⨯=;11113()442416P B =⨯+⨯=;111()4416
P C =⨯=. 设两人费用之和大于或等于8的事件为W ,则W =A +B +C ,
所以,两人费用之和大于或等于8的概率
5319()()()()16161616
P W P A P B P C =++=
++=. 【解题策略】
求解概率综合应用问题的思路 (1)“大化小”,即将问题化为若干个彼此互斥或相互独立的事件.
(2)运用概率的加法公式和乘法公式求解,在运用乘法公式时一定要注意是否满足相互独立,只有相互独立才能运用乘法公式.
(3)正难则反,间接处理.在求事件的概率时,若遇到“至少…”或“至多…”等概率问题,可从求对立事件的概率计算.
【跟踪训练】
题10.A ,B ,C 三人将参加某项测试,三人能否达标互不影响,已知他们能达标的概率分别是431,,552
,则三人都能达标的概率是________,三人中至少有一人能达标的概率是________. 【解析】A ,B ,C 三人将参加某项测试,三人都能达标的概率是431655225
⨯⨯=;A ,B ,C 三人将参加某项测试,都没有达标的概率是4311(1)(1)(1)55225
-⨯-⨯-=,因此A ,B ,C 三人将参加某项测试,三人中至少有一人能达标的概率是12412525
-=. 答案:6242525
题11.某田径队有三名短跑运动员,根据平时训练情况统计甲、乙、丙三人100
m 跑(互不影响)的成绩在13 s 内(称为合格)的概率分别为
231,,543,若对这三名短跑运动员的100 m 跑的成绩进行一次检测,则
(1)三人都合格的概率;
(2)三人都不合格的概率;
(3)出现几人合格的概率最大.
【解析】记“甲、乙、丙三人100 m 跑成绩合格”分别为事件A ,B ,C ,显然事件 A ,B ,C 相互独立,则231(),(),()543
P A P B P C ===. 设恰有k 人合格的概率为(0,1
,2,3)k P k =, (1)三人都合格的概率:32311()()()()54310
P P ABC P A P B P C ===
⨯⨯=. (2)三人都不合格的概率: 03121()()()()54310P P ABC P A P B P C ===⨯⨯=.
(3)恰有两人合格的概率:
223221133123()()()54354354360
P P ABC P ABC P ABC =++=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=. 恰有一人合格的概率10231231255111060106012
P P P P =---=---==. 综合(1)(2)(3)可知1P 最大.所以出现恰有1人合格的概率最大.
课堂检测·素养达标
题12.在某次考试中,甲、乙通过的概率分别为0.7,0.4,若两人考试相互独立,则甲未通过而乙通过的概率为 ( )
A .0.28
B .0.12
C .0.42
D .0.16
【解析】选B .甲未通过的概率为0.3,则甲未通过而乙通过的概率为0.3×0.4=0.12. 题13.袋内有3个白球和2个黑球,从中不放回地摸球,用A 表示“第一次摸得白球”,用B 表示“第二次摸得白球”,则A 与B 是 ( )
A .互斥事件
B .相互独立事件
C .对立事件
D .不相互独立事件
【解析】选D .互斥事件是在一定条件下不可能同时发生的事件,故可判断A ,B 不互斥,则也不对立,事件A 发生对事件B 的概率有影响,故A 与B 是不相互独立事件.
题14.打靶时,甲每打10次可中靶8次,乙每打10次可中靶7次,若两人同时射击一个目标,则他们同时中靶的概率是 ( )
A .1425
B .1225
C .34
D .35
【解析】选A .因为甲每打10次可中靶8次,乙每打10次可中靶7次,所以
P (甲)45
=,P (乙)710=,所以他们都中靶的概率是471451025P =⨯=. 题15.某光学仪器厂生产的透镜,第一次落地打破的概率为0.3;第一次落地没有打破,第二次落地打破的概率为0.4;前两次落地均没打破,第三次落地打破的概率为0.9.则透镜落地3次以内(含3次)被打破的概率是________.
【解析】透镜落地3次,恰在第一次落地打破的概率为10.3P =,恰在第二次落地打破的概率为20.70.40.28P =⨯=,恰在第三次落地打破的概率为30.70.60.90.378P =⨯⨯=,所以落地3次以内被打破的概率1230.958P P P P =++=.
答案:0.958
题16.已知电路中有4个开关,每个开关独立工作,且闭合的概率为1
2
,求灯亮的概率.
【解析】因为A,B断开且C,D至少有一个断开时线路才断开,导致灯不
亮,
11113 ()[1()]()()[1()](1)
222216
P P AB P CD P A P B P CD
=-=-=⨯⨯-⨯=.
所以灯亮的概率为
313 1
1616 -=.。