27.2.2 三边成比例、两边成比例且夹角相等判定 课件 初中数学人教版九年级下册

(1)当
PB AB
BQ BC
时，△PBQ∽△ABC，此时
10 2t 10
4t ，
20
解得 t =2.5.所以经过 2.5 s 后，△PBQ 与△ABC 相似.
(2)当
QB AB
BP BC
时，△PBQ∽△CBA，此时
4t 10
10
20t 20
，
解得 t=1，所以经过 1 s 后，△PBQ 与△ABC 相似.
解析：①中三边：2a 、2 2a 、2 5a ②中三边：2a 、 13a 、5a ③中三边：2a 、2 5a 、4 2a ④中三边： 5a 、 10a 、5a
D. ① 和 ④
3.如图，△ABC中，点 D，E，F 分别是 AB，BC，CA 的中点，求证： △ABC∽△EFD．
证明：∵△ABC中，点D， E， F分别是AB， BC， CA的中点
例2. 根据下列条件，判断△ABC与△A′B′C′是否相似，并说明理由.
∠A = 120° ，AB = 7 cm ，AC = 14 cm， ∠A′ = 120° ，A′B′ = 3 cm ，A′C′= 6 cm，
解：相似. 理由如下： ∵ AB 7 , AC = 14 7 , AC = 14 7 ,
AB．过点 D 作 DE∥B′C′，交 A′C′ 于点 E. ∵ DE∥ B′C′，
D B'
∴ △A′DE ∽ △A′B′C′.
∴
A' D A' B'
A' E A' C'
.
B
E C' A
C
∵ A′D = AB， AB AC ， A' B' A' C'
∴
A' D A' B'
A' E A' C'
=
AC ， A' C'
解析：当 △ADP ∽△ACB 时，
AP : AB =AD : AC ，∴ AP : 12 =6 : 8 ，
A
解得 AP = 9；
当 △ADP ∽△ABC 时，
P
AD : AB =AP : AC ，∴ 6 : 12 = AP : 8 ，
D
解得 AP = 4.
P C
∴ 当 AP 的长度为 4 或 9 时，△ADP 和△ABC 相似．
∴AB = 2 ， BD =2，AC= 5 ，AD= 10
∵ AB : BC = BD : AB = AD : AC
A
∴△ABC ∽ △DBA.
P
BC
D
2. 如图，八个完全相同的小长方形拼成一个正方形网格，连接小长 方形的顶点所得的四个三角形中是相似三角形的是( D )
A. ① 和 ② B. ② 和 ③ C. ① 和 ③
∴ DE BC
BC ， AE BC AC
AC AC
.
D B'
∴ DE = BC，A′E = AC. ∴△A′DE ≌ △ABC，∴△ABC∽△A′B′C′ .
A
C A'
E C'
归纳
由此我们得到利用三边判定三角形相似的定理： 三边成比例的两个三角形相似．
符号语言：
A'
AB BC AC
A
∵
AB BC
∴AF=CE
2.如图，在△ABC 中，AB=10 cm，BC=20 cm，点 P 从点 A 开始沿边 AB 向点 B 以 2 cm/s 的速度移动，点 Q 从点 B 开始沿边 BC 向点 C 以 4 cm/s 的速度移动.如果点 P，Q 分别从点 A，B 同时出发，经过几秒钟后， △PBQ 与△ABC 相似?
A' B' A' C'
一量两个三角形另外的两个角，你有什么发现？△ABC 与 △A′B′C′ 有 何关系？
如图，在
△ABC
与△A′B′C′中，已知∠A
=
∠A′，
AB A' B'
AC A' C'
.
求证：△ABC∽△A′B′C′.
A'
证明：在 △A′B′C′ 的边 A′B′ 上截取点 D，使 A′D =
解：∵ AB 7， AC = 14 = 7 , A' B' 3 A'C' 6 3
∴ AB AC . A' B' A' C'
又 ∠A′ = ∠A，∴ △ABC ∽ △A′B′C′.
4. 如图，已知 △ABC中，D 为边 AC 上一点，P 为边AB上一点，AB = 12，
AC = 8，AD = 6，当 AP 的长度为4 或 9 时，△ADP 和 △ABC 相似.
AC
，
∴ △ABC ∽ △A′B′C.
B C B'
C'
例1. 根据下列条件，判断△ABC与△A′B′C′是否相似，并说明理由. AB = 4 cm ，BC = 6 cm ，AC = 8 cm， A′B′ = 12 cm ，B′C′ = 18 cm ，A′C′ = 24 cm.
解：相似. 理由如下： ∵ AB 4 1 , BC = 6 1 , AC = 8 1 ,
B
随堂练习
1如图，在菱形ABCD，∠ADE，∠ CDF分别交BC，AB于点E、F，DF交
对角线AC于点M，且∠ADE=∠ CDF．
(1)求证：CE=AF．
解：∵∠ADE=∠CDF，∴∠ADF=∠CDE，
∵四边形ABCD是菱形∴AD=CD，∠DAF=∠DCE
在△ADF和△CDE中
∠ADF=∠CDE
AD=CD ∠DAF=∠DCE ∴△ ADF ≌ △ CDE(ASA)
第二十七章 相似
27.2.2 三边成比例、两边成 比例且夹角相等判定
学习目标
1. 掌握利用三边来判定两个三角形相似的方法，并能进行相关计算.
2. 会根据边和角的关系来判定两个三角形相似，并进行相关计算.
新课引入
回忆我们学习过的判定三角形相似的方法. 类比证明三角形全等的 方法，猜想证明三角形相似还有哪些方法？
B
A' C'
A C
思考
对于△ABC 和 △A′B′C′，如果 AB AC ，∠B = ∠B′，这两个三角 A' B' A' C'
形一定会相似吗？试着画画看.
A
A'
不一定，如下图，显然∠C和∠C'不相等 B
C
B'
C'
结论：如果两个三角形两边对应成比例，但相等的角不是两条对应边 的夹角，那么两个三角形不一定相似，相等的角一定要是两条对应边 的夹角.
A' A
B
C B'
C'
证明：在线段 A′B′ (或延长线) 上截取 AD = AB，
过点 D 作 DE∥B′C′ 交A′C′于点 E.
∵ DE∥BC ，∴ △A′DE ∽ △A′B′C′.
B
∴ AD DE AE . AB BC AC
又 ∵ AB B C AC ，A′D = AB， A' B' B' C' A' C'
综上所述，经过 1 s 或 2.5 s 后，△PBQ 与△ABC 相似.
课堂小结
三边成比例
相似三角形的 判定方法
两边成比例 且夹角相等
A'
A
B'
C' B
C
∴AB = 2 ， BD =2， ∵ AB = BD ,
BC AB ∠ABC = ∠DBA
A ∴△ABC ∽ △DBA.
P
BC
D
2. 如图 △AEB 和 △FEC 相似 ( 填“相似”或“不相似”) .
B
45
1 E 36 F
A
54
2 30
C
3.根据下列条件，判断 △ABC 和 △A′B′C′ 是否相似，并说明理由： ∠A = 120°，AB = 7 cm，AC = 14 cm， ∠A′ = 120°，A′B′ = 3 cm ，A′C′ = 6 cm．
AB 12 3 BC 18 3 AC 24 3
∴
AB AB
BC = AC , BC AC
∴△ABC ∽ △A′B′C′.
针对训练 1. (一题多解)如图，∠APD = 90°，AP = PB = BC = CD = 1， 求证：△ABC ∽ △DBA.
证明：∵∠APD = 90°，AP = PB = BC = CD = 1
∴ A′E = AC .
又 ∠A′ = ∠A.
∴ △A′DE ≌ △ABC，
∴ △A′B′C′ ∽ △ABC.
D B'
A'
E C' A
B
C
归纳
由此得到利用两边和夹角来判定三角形相似的定理：
两边成比例且夹角相等的两个三角形相似．
符号语言：
∵ AB AC ，∠A=∠A′，
B'
A' B' A' C'
∴ △ABC ∽ △A′B′C′ .
∴DE=
1 2
AC
，DF=
1 2
BC，EF=
1 2
AB
∴
DE DF EF 1 AC BC AB 2
∴பைடு நூலகம்△ABC∽△EFD.
二 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似
探究
利用刻度尺和量角器画 △ABC 和 △A′B′C′，使∠A =∠A′， AB AC k . 量出 BC 及 B′C′ 的长，它们的比值等于 k 吗？再量
A
D
E
B
C
新知学习 一 三边成比例的两个三角形相似
探究
任意画一个 △ABC ，再画一个 △A′B′C′，使它的各边长都是原来
△ABC 的各边长的 k (k>0)倍，度量这两个三角形的角，它们分别相等
吗？这两个三角形相似吗？
A′
A
B
C B′
C′
通过测量不难发现∠A =∠A'，∠B =∠B'，∠C =∠C'，又因为两个 三角形的边对应成比例，所以 △ABC ∽ △A′B′C′. 下面我们用前面所 学得定理证明该结论.
AB 3 BC 6 3 AC 6 3
∴
AB = AC , AB AC
∴△ABC ∽ △A′B′C′.
针对训练 1. (一题多解)如图，∠APD = 90°，AP = PB = BC = CD = 1， 求证：△ABC ∽ △DBA. 证明：∵∠APD = 90°，AP = PB = BC = CD = 1，
对应关系不明确,勿忘分类讨论 本题没有明确两个三角形的对应元素,所以要分情况过论.
由于∠B 是公共角,所以点B 和点B 是对应点,要分两种情
况讨论.
解：设经过t s后，△PBQ与△ABC相似，
那么AP=2t cm，BQ=4t cm，BP=(10-2t) cm.
因为∠PBQ =∠ABC，所以有两种情况：