数系的扩充

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１　概念理解　
江苏省吴江盛泽中学　徐建东如果问你：在自然数集内解方程狓＋２＝０，方程的解是什么？或许你会毫不犹豫地说，方程的解为狓＝－２．请同学们再仔细看清题目的条件，你会发现－２不是自然数，也就是在自然数集范围内，方程是无解的．要回答在自然数集内解方程狓＋２＝０到底有没有解，我们只需回到问题本身．我们是如何解这个方程的，为了得到狓的值，我们通常是这样做的：首先我们在等式狓＋２＝０的两边同时减去２，得到狓＝０－２；我们发现，在自然数范围内，０－２是没有意义的，所以我们得出的结论是，在自然数集内方程狓＋２＝０无解．在自然范围内，任意两个自然数相加所得的和是自然数，即加法在自然数范围内是永远可行的，数学上称之为自然数集对加法具有封闭性．同样的任意两个自然数相乘所得的积也一定是自然数，即自然数集对乘法具有封闭性．而任意两个自然数相减所得的差就不一定都是自然数，只有大数减去一个不大于本身的自然数其差才是自然数，对于小数减大数就无法实施，如上例中点的狓＝０－２，即自然数集对减法不是永远可行的（自然数集对减法不具有封闭性）
．为了能让小数减大数的问题得到圆满解决（减法也具有封闭性），数学家们引入了一类叫负整数的新数．引入负整数后原来的自然数的集合就被扩大了，扩大后的数集我们称之为整数集（如图１）．引入新数后，原本在自然数集中具有封闭性的加法和乘法，在新的数集内仍然保持其封闭性，原本在自然数集中不具有封闭性的减法运算，在新的整数集中，满足了封闭性．所以，方程狓＋２＝０在自然数集中是无解的，在整数集中是有解的，
且其解为狓＝－２．那么问题又来了：在整数集内解方程３狓－２＝０，方程的解为狓＝２３吗？
聪明的你会发现不对，２３不是整数，所以方程在整数集内还是无解．仿照前面的分析，为了要解方程３狓－２＝０，我们通常是这样做的：首先我们在等式３狓－２＝０的两边同时加上２，得到方程３狓＝２；然后我们在等式３狓＝２的两边同时除以３，得到狓＝２３．我们发现２除以３得到的商不是整数，所以原方程无解．同样的，在自然数集中加法和乘法具有封闭性，为了解决减法的封闭性，我们引入了负整数，数集就扩充为整数集，在整数集中，原先加法乘法的封闭性仍然保持，同时解决了减法的封闭性问题．。