大学物理上册（第五版）重点总结归纳及试题详解第十五章狭义相对论基础

⼤学物理上册（第五版）重点总结归纳及试题详解第⼗五章狭义相对论基础
第⼗五章狭义相对论基础
⼀、基本要求
1. 理解爱因斯坦狭义相对论的两个基本假设。

2. 了解洛仑兹变换及其与伽利略变换的关系；掌握狭义相对论中同时的相对性，以及长度收缩和时间膨胀的概念，并能正确进⾏计算。

3. 了解相对论时空观与绝对时空观的根本区别。

4. 理解狭义相对论中质量和速度的关系，质量和动量、动能和能量的关系，并能分析计算⼀些简单问题。

⼆、基本内容
1.⽜顿时空观
⽜顿⼒学的时空观认为，物体运动虽然在时间和空间中进⾏，但时间的流逝和空间的性质与物体的运动彼此没有任何联系。

按⽜顿的说法是“绝对空间，就其本性⽽⾔，与外界任何事物⽆关，⽽永远是相同的和不动的。

”，“绝对的，真正的和数学的时间⾃⼰流逝着，并由于它的本性⽽均匀地与任何外界对象⽆关地流逝着。

”以上就构成了⽜顿的绝对时空观，即长度和时间的测量与参照系⽆关。

2．⼒学相对性原理
所有惯性系中⼒学规律都相同，这就是⼒学相对性原理（也称伽利略相对性原理）。

⼒学相对性原理也可表述为：在⼀惯性系中不可能通过⼒学实验来确定该惯性系相对于其他惯性系的运动。

3. 狭义相对论的两条基本原理
（1）爱因斯坦相对性原理：物理规律对所有惯性系都是⼀样的，不存在任何⼀个特殊的（例如“绝对静⽌”的）惯性系。

爱因斯坦相对论原理是伽利略相对性原理（或⼒学相对性原理）的推⼴，它使相对性原理不仅适⽤于⼒学现象，⽽且适⽤于所有物理现象。

（2）光速不变原理：在任何惯性系中，光在真空中的速度都相等。

光速不变原理是当时的重⼤发现，它直接否定了伽利略变换。

按伽利略变换，光速是与观察者和光源之间的相对运动有关的。

这⼀原理是⾮常重要的。

没有光速不变原理，则爱因斯坦相对性原理也就不成⽴了。

这两条基本原理表⽰了狭义相对论的时空观。

4. 洛仑兹变换
()
--=
'='='--='2222
2
11c u x
c u t t z z y y c u ut x x （K 系->'K 系）
()
-'
+'=
'
='=-'+'=2222
2
11c u x c u t t z z y y c u t u x x （K 系->'K 系）令u c β
=，γ=
①当0→β，γ=1得ut x x -='，,',','t t z z y y ===洛仑兹变换就变成伽利略变换。

②u >c ,21β-<0，洛仑兹变换失去意义。

故相对论指出，物体运动速度不能超过真空中光速。

③在狭义相对论中洛仑兹变换是两条基本假设的直接结果。

5. 狭义相对论的时空观
狭义相对论的时空观认为，时间和空间有密切的联系，时间、空间与物质运动是不可分割的，根本不存在脱离了物质运动的绝对时间和绝对空间。

其中包括同时的相对性，长度的收缩，时间的延迟等都反映了狭义相对论的时空观。

（1）同时性的相对性
在某惯性系中同时发⽣的两个事件，在另⼀相对它运动的惯性系中并不⼀定同时发⽣。

如两事件在K 系中同时异地的发⽣，在'K 系中的观察者观测这两事件必定不是同时发⽣的。

由洛仑兹变换式可得
''21t t -=
2
122121)()(β
---
-x x c t t u
显然，21t t =，12x x ≠, 则''210t t -≠，两事件在'K 系中不同时发⽣。

所以同时性是相对的。

（2）时间膨胀
⼀个事件所经历的时间的量度也与参照系有关。

若⼀事件在K 系中s x =处发⽣，起始于1t 时刻、终⽌于2t 时刻、经历时间为12t t t -=?。

定义在相对于事件发⽣的地点为静⽌的参照系（如K 系）中测得的时间间隔为固有时（或原时），⽤120t t -=τ。

则在相对K 系匀速运动的'K 系中测得此时间间隔为'''12t t t -=?，称't ?为运动时，⽤τ表⽰，则由洛仑兹变换式得运动的钟变慢的公式
2
1β
显然τ>0τ，称为运动的时钟变慢或时间膨胀效应。

时间膨胀是⼀种相对论效应，不是钟的内部结构有了什么变化。

若在'K 系中测得时间为0τ，则在K 系中测得时间间隔为τ，仍有2
1β
ττ-=
，这与第⼀条基本假设⼀致。

在v <
0ττ=，与⽜顿绝对时空观相符。

（3）长度收缩
设⼀固定在K 系中的物体，它沿x 轴的长度，在K 系测得为12x x l -=（K 系相对于物体沿x ⽅向⽆相对运动），l 称为该物体的固有长度。

则在相对K 系沿x ⽅向相对匀速运动的'K 系中，在某时刻't 测得该物体长度12'''x x l -=（应在同时测出21','x x ），则有
21'β-=l l
即'l
注意：①长度收缩为⼀相对论效应，物体运动速度越⼤，此效应越显著。

当
v <
即与相对速度垂直的⽅向上⽆长度收缩效应。

③⼀般说来，这个长度收缩效应⽤⾁眼很难看到。

因为⽤⾁眼看物体时，除有相对论效应外，还有光学效应。

6. 质量与速度的关系
2
01β
-=
m m
注意：①物体的运动质量m 与物体相对观察的运动速度v 相关。

此处m 与经典⼒学中变质量问题不同。

②当v <
7. 相对论⼒学的基本⽅程
-=201βv F m dt d
上式当v <
物体的静⽌能量200c m E =（物体相对于观察者静⽌时的能量）物体的运动能量2mc E =（物体相对于观察者以υ的速度运动时的能量）相对论动能202c m mc E k -= 质能关系式2mc E =，200c m E = 9．动量和能量关系
42
0222
0222c m p c E p c E +=+= 式中p 为动量，相对论动量 2
01β
-=
v p m
上式具有极重要的意义，它反映了动量和能量间的关系，也反映了动量和能量的不可分割性和统⼀性，如同时间与空间的不可分割性与统⼀性⼀样。

如光⼦，
，光⼦的质量2c
E
m =。

三、习题选解
15-3 ⼀质点在惯性系'S 中作匀速圆运动，轨迹为0',''222==+z a y x （1）试证明对另⼀惯性系S （S 以速率u 沿'x 正向相对于'S 运动）中观察
者来说，这⼀质点的运动轨迹为⼀椭圆，椭圆的中⼼以速率u 运动;
（2）若不考虑相对论效应，⼜将如何？
解：（1）S 以速率u 沿'x 正向相对于'S 运动，根据洛仑兹变换 2
1'β
-+=
ut x x y y ='
代⼊222''a y x =+ 得
222
2
2)
1()(a y ut x =+-+β
1)1()(222
22=+-+a
y a ut x β故对惯性系S 中的观察者，质点运动轨迹为椭圆，半长轴和半短轴分别为a 和21β-a ，椭圆中⼼以速率u 运动。

（2）若不计相对论效应，把ut x x +='和y y ='代⼊222''a y x =+得
222)(a y ut x =++
在S 系中观察者看仍为圆，圆⼼以速率u 运动。

15-4 设'S 系相对于S 系以速率c u 8.0=沿x 轴正向运动，在'S 系中测得两个事件的空间间隔为m x 300'=?，时间间隔为s t 6100.1'-?=?，求S 系中测得两个事件的空间间隔和时间间隔。

解：设S 系中两事件的坐标为（11,t x ）和（22,t x ），在'S 系中两事件的坐标为（11','t x ）和（22','t x ），根据洛仑兹变换)''()''(112212ut x ut x x x x +-+=-=?γγ '')''()''(1212t u x t t u x x ?+?=-+-=γγγγ
2
2
1'c u
x -?=
+
2
2
1'c u t u -?
把c u s t m x 8.0,100.1',300'6=?=?=?-代⼊上式
'')''()''(2121222x c
u t x c u t x c u t t ?+?=+-+
=?γγγγ
s s s 66610310333.110666.1---?=?+?=
15-5 在宇宙飞船上的⼈从飞船后⾯向前⾯的靶⼦发射⼀颗⾼速⼦弹，此⼈测得飞船长m 60，⼦弹的速率是c 8.0，求当飞船对地球以c 6.0的速率运动时，地球上的观察者测得⼦弹飞⾏的时间是多少？
解：以飞船为参照系S '，飞船长度,60'''12m x x x =-=?⼦弹射中靶⼦的飞⾏时间为,8.060
8.0''c
c x t =?=
以地⾯为参照系S ，⼦弹飞⾏的时间为 )''()''(12122212x c u
t x c u t t t t +-+=-=?γγ
'')''()''(2
12212x c
u
t x x c u t t ?+?=-+-=γγγγ ')6.0(1)6.0(1122
22
2
x c c
c u t c c ?-+
-
=
710625.4-?=s
15-6 ⼀短跑选⼿，在地球上以s 10的时间跑完m 100，在飞⾏速率为c 98.0的飞船中观察者看来，这选⼿跑了多长时间和多长距离？设飞船运动与选⼿奔跑同⽅向。

解：以地球为参照系S ，选⼿跑过的距离m x x x 10012=-=?，所⽤时间为
s t t t 1012=-=?,飞船速率,98.0c u =由洛仑兹变换，以飞船为参照系S '，选⼿跑
了的距离为
)()('''112212ut x ut x x x x ---=-=?γγ
t u x t t u x x ?-?=---=γγγγ)()(1212 =
m t u x c c 102
2
1048.1)()98.0(11?-=?-?-
选⼿⽤的时间为 )()('''12122212x c
u t x c u t t t t ---
=-=?γγ s x c u
2
2
=?-
-
=
15-7 设想有⼀艘飞船，以c u 8.0=的速率在地球上空飞⾏。

从飞船上沿飞船速度⽅向抛出⼀物体，该物体相对于飞船的速率为c 9.0，问从地⾯上观察该物的速率为多少？
解：根据洛仑兹速度变换，地⾯上观察该物的速率为 2
'1'c
u u
x x x v v v ++=
把c c u x 9.0',8.0==v 代⼊上式，得 c x 988.0=v 。

15-8 两艘宇宙飞船相互靠近。

（1）若每艘飞船相对于地球之速率为c 6.0，那么⼀艘飞船相对于另⼀艘之速率各为多少？
（2）若每艘飞船相对于地球之速率为14103-??s m ，那么，⼀艘飞船相对于另⼀艘的速率为多少？
解：（1）设地球为参照系S ，⼀飞船为参照系'S 。

'S 相对于S 以速率c u 6.0=沿S 系x 轴正⽅向运动。

另⼀飞船对地球的速率为c x 6.0-=v 。

由洛仑兹速度变换，两飞船之相对运动速率为c c
u u
x x x 882.01'2
-=--=
v v v （2）若14103-??=s m u ，14103-??-=s m x v 则
1421061'-??-=--=
s m c
u u
x
x x v v v ，由此可见，在u <
15-9 ⼀束光在'S 系⾥以速率c 沿'y 轴正向运动，⽽'S 系以速率u 相对于S 系沿x 轴正向运动。

（1）求出光速在S 系的x 分量和y 分量；（2）证明在S 系⾥光速仍为c ；（3）求光在S 系中传播的⽅向
解：（1）在'S 系中光速沿'x 轴和'y 轴的分量为c y x ==',0'v v 。

在S 系中根据洛仑兹速度变换可得，此光束在x 轴和y 轴的速度分量
u c
u u
x x x =++=
2
'1'v v v 22
21)
（2）证明：在S 系中的光速为 c c
u c c u y
x =-+=+=22
22
2
2
2
v v v
故在S 系中光速的⼤⼩仍为c 。

（3）设在S 系中光速与x 轴夹⾓为θ
11tan 2
2
22-=-==u
c c u u c x y
v v θ 1arctan 22
-=u
c θ
15-10 在S 系中观察到两个事件同时发⽣在x 轴上，其间距是m 1，在'S 系中观察这两个事件之间的距离是m 2，求在'S 系中观察这两个事件的时间间隔。

解：在'S 系中两事件之间的距离为
t u x ut x ut x x x x ?-?=---=-=?γγγγ)()('''112212
把0,2',1=?=?=?t m x m x 代⼊上式得
2=γ c u 2
3=
'S 系中两事件的时间间隔为
s x c
u t x c u t x c u t t 8212122210577.0)()('-?-=?-?=---
=?γγγγ故两事件的时间间隔在'S 系中为810577.0-?秒。

15-11 ⼀⽶尺相对于你以c u 6.0=的速率平⾏于尺长⽅向运动，你测得⽶尺
长为多少？⽶尺通过你得花多少时间？
解：设⽶尺为参照系'S ，你为参照系S 。

由洛仑兹变换，'S 系中⽶尺的长度
m x 1'=?
)()('''112212ut x ut x x x x ---=-=?γγ
)()(1212t t u x x ---=γγ
S 系中的你在同⼀时刻测量⽶尺，故12t t =，你测得⽶尺长度为
c c u x x x x x 8.0)6.0(111''
2
2
2212=-?=-?=?=-=?γ⽶尺通过你所花时间为 s c
u x T 810444.06.08
.0-?==?=
15-12 斜放的直尺以速率u 相对于惯性系S 沿x ⽅向运动，它的固有长度为
0l ，在与之共动的惯性系'S 中它与'x 轴的夹⾓为'θ。

试证明：对于S 系的观察者
来说，其长度l 和与x 轴的夹⾓θ分别为222220
1'
tan tan ,cos 1c
u c u l l -='-=θθθ
证：'S 系中尺⼦的长度为固有长度,0l 'sin ,'cos ''00θθo oy x l l l l ==。

在S 系中测得尺长为l ，与x 轴夹⾓为θ。

直尺长度收缩只沿运动⽅向（x 轴）发⽣，l 在
x 轴和y 轴的分量为
22
'
1'cos cos c
u l l l l o ox x -===θγθ
'sin sin 'θθo oy y l l l l ===
故 22
222
2)'sin ()1'cos (θθo o y
x l c
u l l l l +-=+=
'cos 1'sin 'cos 'cos 2222
2222
θθθθc u l c u l o o -=+-=
2
2
2
2
1'tan 1'cos 'sin tan c u c u
l l l l o o x
y -=
=
=
θθθθ
15-13 +π介⼦是不稳定的，它在衰变之前存在的平均寿命（相对于它所在
的参考系）约为s 8106.2-?。

（1）如果+π介⼦相对于实验室运动的速率为c 8.0，那么，在实验室中测得它的平均寿命是多少？
（2）衰变之前在实验室中测得它运动的距离是多少？
解：设+π介⼦所在参照系为'S ，它的本征寿命,106.2'8s t -?=?实验室所在参照系测得+π介⼦的寿命为,t ?运动的距离为x ?（1）+π介⼦在'S 系中静⽌，故0'=?x
()s
c c t x c
u t t 82
2
8
21033.48.01106.2--?=-
=
'?='?+'?=?γγ
γ
（2） m t c t u x 4.101033.41038.08.088==?=?=?-
15-14 从地球上测得地球到最近的恒星半⼈马座α星的距离是m 16103.4?，设⼀宇宙飞船以速率c 999.0从地球飞向该星。

（1）飞船中的观察者测得地球和该星间的距离为多少？
（2）按地球上的钟计算，飞船往返⼀次需多少时间？如以飞船上的钟计算，往返⼀次的时间⼜为多少？
解：（1）设飞船为参照系'S , 地球为参照系S 。

S 系中地球与半⼈马座α星的距离 m x x x 1612103.4?=-=?
设在'S 系中同⼀时刻't 测量地球与该星的距离为x '?。

由长度收缩效应得 21'x x x x γ?=-=?
故 m c
c x x
x 152
2
1092.1)999.0(1'?=-?=?=?γ（2）以地球钟计算，飞船往返⼀次所需时间
1.91087.2999.0103.422816
=?=??=?=?s c
u x t 年
以飞船钟计算，往返⼀次所需时间
41.01028.1999.01092.12'2'715
=?=??=?=?s c
u x t 年 15-15 地球上的观察者发现⼀艘以速率c 6.0向东航⾏的宇宙飞船将在5秒后同⼀个以c 8.0速率向西飞⾏的彗星相撞。

（1）飞船上的⼈看到彗星以多⼤速率向他们接近？
（2）按照他们的钟，还有多少时间允许他们离开原来航线⽽脱险？解：设地球为参照系S ,x 轴⽅向向东。

飞船为参照系'S ,沿x 轴以速率
c u 6.0=相对于S 系运动。

在S 系中彗星速度c x 8.0-=v
（1）'S 系中彗星向飞船的接近速度为
c c c
c c
c c
u u x x x 946.06.08.016.08.01'22
-=?----=--=
v v v （2）在S 系中，设初始时刻,00=t 飞船在坐标0x 处；在s t 5=，飞船到达与彗星的相撞点x
c c x x x 356.00=?=-=?
在飞船参照系'S 中，上述两事件所发⽣的时刻为0't 和't
)()()()('''02
002020x x c u t t x c u t x c u t t t t ---=---=-=?γγγγ s c c
c c c u c
u x c
u
t 4)36.05(8.01)35(11)(2
22
22=?-=?-
-=?-
=γ故按规定照飞船上的钟，还有4秒他们与彗星相撞。

15-16 把⼀个电⼦从静⽌加速到c 1.0, 需对它作多少功？如果将电⼦从c 8.0加速到c 9.0，⼜需对它作多少功？
解：电⼦动能 2022
2
02021c m c c
m c m mc E k --=
-=v
把电⼦从速率01=v 加速到c 1.02=v 时需做的功为电⼦动能的增量
=1A
--=
-=-=?1)1.0(1111
112
220
2212
222012
c c c m c c c m E E E k k k v v J 161013.4-?=
同理把电⼦从速率c 8.01=v 加速到c 9.02=v 时需做功
=2A J c m E k 142
2
201014.5)8.0119.01`1(
-?=--
-=?
15-17 已知实验室中⼀个质⼦的速率为c 99.0，求它的相对论总能量和动量是多少？动能是多少？（质⼦静质量kg m 2701067.1-?=）
解：质⼦速率c 99.0=v ，静质量kg m 2701067.1-?= 质⼦的总能量 J c c m mc E 922
2
021007.11-?=-=
=v
质⼦动量 1182
201052.31--=-=
=s m kg c
m m P v v
v
质⼦动能 202c m mc E k -=
J c m c c c m 10202
2201016.9)99.0(1-?=--
=
15-18 ⼀个静质量为0m 的质点在恒⼒F =F i 的作⽤下开始运动，经过时间
t ，它的速度v 和位移x 各是多少？在时间很短（t <
（t >>)0F c m 的两种极限情况下，v 和x 的值⼜各是多少？
解：根据相对论⼒学的基本⽅程 )1(2
20c
m dt d F v v -=
0c d m Fdt v v -=
由初始条件 0,0;,t t t ====v v v 。

等式两边积分
00
t
Fdt m d =??v
2
20
2
2
1111c m c
m Ft -=-=v v v
2
002
2220)(
1c
m Ft c m Ftc t
F c m Fct
+=
+=
v
⼜dt
dx
=
v )(
)(
102
0020c
m Ft d c
m Ft c m Ft F c m dt dx +==v 由初始条件x x t t x t ====,;0,0。

等式两边积分=x
t
dt dx 0
-??????+=1)(
121
202
0c m Ft F c m x 在时间很短的极限情况下，t <<
F c
m 0 t c
m F
0<<1
at m Ft
c m Ft c c m Ft c m Ft c c
m Ft c m Ft c c m Ft
=≈???????????? ??-≈??
??+≈
??+=02
002
00212002112111v
=a m F 0记
2202202220202021
20202
12121121111at
t m F c m t F F c m c m Ft F c m c m Ft F c m x ==??= - ??+≈??
-?
??+=
在时间很长的极限情况下 t >>
F
c
m 0 c c c m Ft
c
m Ft c m Ft c c
=≈
+=002
1
200)(
1v ct c m Ft F c m c m Ft F c m x =≈?
-??????+=02021
202
01)(
1 15-19 ⼀⽴⽅体，沿其⼀棱⽅向以速率u 相对于观察者运动，试证明体积和密度为 2201c u V V -= )1(220
c u m -=v ρ其中0m 、0V 各为其静质量、静体积。

解：设⽴⽅体截⾯积为S ，⼀棱长为0l ，静体积00Sl V =。

沿此棱⽅向以速
率u 相对于观察者运动，据长度收缩效应，则观察者测得此棱的长度l 会缩短。

22
1c
u l l l -==
γ
，⽴⽅体的体积为 220220
11c
u V c u Sl lS V -=-==
⽴⽅体的质量 2
2
01c u m m -=
密度 )1(112
2
002
2
022
c u
V m c
u V c u m V
m -
=
--==
15-20 氢原⼦的结合能（从氢原⼦移去电⼦所需的能量）为eV 6.13。

当电⼦和质⼦结合为氢原⼦时损失了多少质量？解：电⼦和质⼦结合为氢原⼦时损失了能量
J eV E 1810176.26.13-?==?
由质能关系 m c E ?=?2
损失的质量为 kg c
E m 35
21042.2-?=?=? 15-21 试证：带电粒⼦在匀强磁场B 中与B
垂直的平⾯上作圆运动时的轨道半径为 qBc
E E E R k k 2
12
0)
2(+=
其中0E 、k E 、q 分别为粒⼦的静⽌能量、动能、电量。

证明：（1）带电粒⼦在磁场中作圆周运动，向⼼⼒为洛仑兹⼒
R
m B q 2
v v =
带电粒⼦的运动质量 2
2
01c m m v -=
故
21
2
222022
202
2
20)(1
1v
v v
v
v v -=-=
-=
c qBc c m c qBc c m c
B q m R ①假设带电粒⼦的轨道半径为
2
0)2(+=
由200c m E = )1(20202-=-=γc m c m mc E k [][
]{
}2
12202020)
1()1()(21
-+-=γγc m c m c m qBc
R
{}
{}
21
2202
12
201222)1()1(2+-+-=-+-=γγγγγqBc
c m qBc
c m {}
212
22202
1
2
2202
1
220)(1111v v v -=
--=-=c qBc c m c qBc c m qBc
c m γ②由于①式和②式结果相同故qBc
E E E R k k 2
12
0)
2(+=
成⽴。

u He u Li u H ===计算下列核聚变释放的能量)1066.11(27kg u -?=： He He Li H 4 2427311
+→+ 解：核聚变前的总质量
kg u u u m 2601033196.102384.801601.700783.1-?==+=
核聚变后的总质量
kg u u u m 261032886.100520.800260.400260.4-?==+=
核聚变释放的能量 202)(c m m m c E -=?=?
J 282626)103()1032886.11033196.1(-?=--
J 121079.2-?=
15-23 已知静⽌质,9139.140),(0439.235),(0087.1)(141
562359210u Ba u U u n === u K 8970.91)(92
36=。

计算下列铀裂变所释放的能量：
n K Ba U n 1
0923614156235921
3(++→+慢中⼦）
解：核裂变前总质量为
kg u u u m 250109185.30526.2360439.2350087.1-?==+=
核聚变后的总质量为 u u u m 0076.138970.919139.140?++=
kg u 25109149.38370.235-?=+=
铀核裂变所放出的能量 202)(c m m m c E -=?=?
J 282525)103()109149.3109185.3(-?=--
J 111024.3-?=。