3--内积与正交矩阵

练习
用定理判别下面的矩阵是否为正交阵
1 3 1 Q 6 1 2
1 3 2 6 0
答案：Q 是，P 不是。 0 1 P 2 1 2
1 3 0 1 0 1 , P 1 0 1 6 1 0 1 1 2
x x cos y sin y x sin y cos
cos P sin
x cos y sin
sin x . cos y
sin 是正交矩阵 cos
例
单位矩阵 E 为正交矩阵。
平面上的旋转变换
• 平面上的点或向量 (x,y) 沿逆时针方向旋 转角度θ，得到新的点，坐标为(x′,y′). • 新旧坐标之间有如下关系：
x x cos y sin y x sin y cos
(x’, y’) θ (x, y)
x x cos y sin y x sin y cos
sin2 cos 2
1 0 0 1 E.
正交矩阵的性质：
1
0
Q正交 Q 1 或－； 1
20 Q正交 Q 可逆，且Q 1 QT；
30 若 P、Q 都是n 阶正交矩阵， 则 PQ 也是正交矩阵.
证10
Q 正交， 故Q Q E.
i j (i j ),
1 j 0( j 2,3,, s)
又 1 0, 1 1 0 k1 0
同理可证其他系数也必定为零。
故 1 , 2 ,, s 线性无关。 ＃
施密特（Schmidt）正交化
问题：
设有线性无关的向量组 , 2 ,, s， 1 求与之等价的正交向量 1 , 2 ,, s . 组

1
为单位向量：



1


1

1.
若k 0，则k的单位化等于的单位化。
向量的正交 定义
若 0, 则称 与 正交（垂直），
记为

例 例
任意向量都与零向量正 交，即 0.
(1,0,1,2) (2,1,0,1).
因为 (1,0,1,2) ( 2,1,0,1) 1 ( 2) 0 1 ( 1) 0 2 1 0
施密特（Schmidt）正交化
设 n 维向量组 1 , 2 ,, s 线性无关, 令 1 1 2 1 2 2 1 1 1
3 1 3 2 3 3 1 2 1 1 2 2
s 1 s 2 s s 1 s s 1 2 s 1 1 1 2 2 s 1 s 1
T T T
即有 QX X .
这一结论说明正交矩阵保持向量的长度不变。 反之也成立，即保持长度不变的一定是正交矩阵。 3阶正交矩阵在物理学中用来表示刚体的旋转。
定理 设 Q 为方阵，则 Q 为正交矩阵 Q 的列向量组是单位正交向量组 Q 的行向量组是单位正交向量组。
T 1 T 2 设 Q (1 , 2 ,, n ), 则Q T 证 . T QT Q E 故 n
定义 向 量 组1 ,, s , 若 所 有 i 都 不 为 零 ， 且 两 两 正 交 ， 亦 即i j ( i j )，
则称
1 ,, s为正交向量组。
有 定义 若 1 , , s 为 正 交 向 量 组 ， 且 所 i 都 为 单 位 向 量 ， 则 称1 , , s 为 一 个 单 位 正 交 向 量 组或 标 准 正 交 向 量 组 ， 规 范 , 或 正交组。
,
ai bi i 1
n
a1b1 a2b2 anbn
用小括号( , )来表示内积容易引起混 淆。
例：1,1,1,1),(,2,3,4,5)) ((
对比：(1,1,1,1),(,2,3,4,5)
或者：1,1,1,1) (,2,3,4,5) (
例 基本向量组 , ,, 为单位正交向量组。 1 2 n
0 1 0 例 1 1 , 2 0 , 3 1 1 0 1
为正交向量组。
0 1 0 1 1 1 1 , 2 0 , 3 1 2 2 0 1 1 为单位正交向量组。
定义 向量的内积（或数量积）
,
数字
ai bi a b i 1
n
1 1
a2b2 anbn
对于列向量有：
, T
同样地，可以定义两个行向量的内积。
注意到，对于行向量来 说，内积 , T .
注意：关于内积的记号
性质
设 ，， 为 n 维列向量
(1) (2) (k ) k (3) ( ) (4) 0, 0 0.
2 2 2 ( a1 a2 an 0 ai 0( i 1,2,, n))
例 量 解
1 1 1 在 R3 中，1 (1， ， )， 2 (1， 2， ) 求向 3 ，使 1， 2， 3 为正交向量组。
设
3 ( x1，x2，x3 ) ， 则有
1 3 x1 x 2 x 3 0 2 3 x1 2 x 2 x 3 0
T
| QT || Q || E |, 取行列式：
故 Q 1 或－ . 1
即 | Q |2 1,
正交矩阵的性质：
设Q为n阶 正 交 矩 阵 ， 则 对 于 意n维 列 向 量 , 任 X 都 有 X QX .
证
2
QX
QX QX
(QX ) QX X Q QX 2 T T T T X (Q Q) X X EX X X X .
若 0, 则称 与 正交（垂直），
记为

若 ，则有
2
勾股定理
.
2 2

2
( ) ( )
.
2 2
正交向量组
1 1
0 1 2
1 3
T 1T 3 3 1 , 1 2
0
类似可验证其它向量之间是相互正交的。
（三） 正交矩阵 命题 定义
对任意方阵 , 都有：Q Q E QQ E Q
T T
n阶实矩阵 Q，若QTQ=E 则称 Q 为正交矩阵。
x cos y sin sin x . cos y
x x cos y sin y x sin y cos
cos Q sin
sin 是正交矩阵 cos
1 0 0
0 1 为 正 交 矩 阵 。 2 1 2
习题课
1. 下列结果是否正确？为什么？
(1) T 不正确，左边是向量，右边是数。 (2) ( T )( T ) ( T )( T ) 不正确，若 ，则左边＝0，右边>0. (3) ( T ) ( T ) 不正确，因方向不同。 (4) ( )T ( ) T 2 T T 左边 性质（） T T T T 3 正确，
定义向量的内积或数量积说内积注意到对于行向量来数字来表示内积容易引起混用小括号性质维列向量kakaka向量的单位化定义为如下的非零向量的单位化
a1 b1 a2 b2 两个 n 维列向量： , a b n n
1 0 0 0 1 0 0 0 1

iT i 1 T i j 0 ( i j )
单位向量组 正交向量组
此定理给出了正交矩阵的判别方法：
(1) 行（列）向量是否为单位向量；
(2) 行（列）向量是否相互正交。
亦即，正交向量组是线 性无关的。
证 设 k11 k2 2 ks s 0 1 (k11 k2 2 ks s ) 1 0 0 k1 (1 1 ) k2 (1 2 ) ks (1 s ) 0
k1 (1 1 ) 0
T T 1 1 1 T T 2 1 2 ( 1 , 2 ,, n ) T T n n 1 T T 1 2 1 n T 2 2

T n 2
T 2 n T n n
注意到 P, Q 互为逆矩阵。
cos Q sin
T
sin 是正交矩阵 cos
sin cos
0
cos sin cos Q Q sin cos sin
cos 2 sin2 0

且 1 , 2 ,, s 与 1 , 2 ,, s
则 1 , 2 ,, s
是正交向量组 ,
可互相线性表示。
验证
1 , 2 ,, s
是正交向量组:
T 2 1 T T T T 1T 2 2 1 1 2 1 2 T 1 1 1 1 T T 3 1 T 3 2 T 1T 3 1T 3 T 1 1 T 1 2 1 1 2 2
记法
2
向量的长度定义为

2 2 2 a1 a2 an
长度又称为：范数 、 模
若长度为的1向量称为单位向量。另外的记号：

性质 (1) 0 且
0 O
(2)
k | k |
| k | a1 a2 an
同解方程组：
1 1
1 2
1 1
1 0
0 1
1 0
x1 x3 0 x2 0
其基础解系为
3 (1， ， ). 0 1
0 1 注: k (1， ， ) (k 0)也满足条件。
定理 若 1 , 2 ,, s 是正交向量组， 则1 , 2 ,, s 线性无关。
2 2 2
证 k ( ka1 )2 ( ka2 )2 ( kan )2
| k |
(3) , | |
即
ai bi
i 1
n
ai2
i 1
n
bi2
i 1
n
非零向量 的单位化定义为如下的 向量
.