2021届广西玉林市陆川中学高三12月月考数学(理)试题(解析版) (1)
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点睛：求解回归方程问题的三个易误点：
①易混淆相关关系与函数关系，两者的区别是函数关系是一种确定的关系，而相关关系是一种非确定的关系，函数关系是一种因果关系，而相关关系不一定是因果关系，也可能是伴随关系．
②回归分析中易误认为样本数据必在回归直线上，实质上回归直线必过 点，可能所有的样本数据点都不在直线上．
（1）证明： 是等比数列，并求其通项公式；
（2）求数列 的前 项和 .
18．在 中，角 所对的边分别为 ，且 .
（1）求 的值；
（2）若 ，点 在线段 上， ， ,求 的面积.
19．为了引导居民合理用电，国家决定实行合理的阶梯电价，居民用电原则上以住宅为单位（一套住宅为一户）.
阶梯级别
第一阶梯
第二阶梯
A． B． C． D．
11．已知抛物线 ，直线 ， 为抛物线 的两条切线，切点分别为 ，则“点 在 上”是“ ”的
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
12．已知函数 （ 是自然对数的底数）.若 ，则 的取值范围为
A． B． C． D．
二、填空题
13．已知x，y满足 则 的最小值为________．
③利用回归方程分析问题时，所得的数据易误认为准确值，而实质上是预测值(期望值)．
5．Aቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
【解析】
∵函数f（x）=asin（πx+α）+bcos（πx+β），其中a，b，α，β都是非零实数，
f（2017）=﹣1，∴f（2017）=asin（2017π+α）+bcos（2017π+β）=-asinα-bcosβ=-1，
则该几何体是正方体ABCD-A1B1C1D1截取三棱台AEF-A1B1D1后剩余的部分.
【解析】因为 ，所以 ，故选D.
点睛：集合是高考中必考的知识点，一般考查集合的表示、集合的运算比较多．对于集合的表示，特别是描述法的理解，一定要注意集合中元素是什么，然后看清其满足的性质，将其化简；考查集合的运算，多考查交并补运算，注意利用数轴来运算，要特别注意端点的取值是否在集合中，避免出错．
2．C
∴f（2018）=asin（2018π+α）+bcos（2018π+β）=asinα+bcosβ=1．
故答案为：A。
6．D
【解析】 时， 为减函数，且有 ,则有 ，A不正确；
时， 为减函数，且有 ，所以 ，B不正确；
时， ，C不正确；
时， 为减函数， ，所以 ，D正确.
故选D.
7．A
【解析】如图所示，正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为AB，AD的中点，
14．已知双曲线 的渐近线被圆 截得的弦长为 ，则该双曲线的离心率为__________．
15．设数列 的前n项和为 ,若 且 则 的通项公式 _______．
16．如图，设 的内角 所对的边分别为 ， ，且 .若点 是 外一点， ，则当四边形 面积最大值时， _______．
三、解答题
17．已知数列 的前 项和 .
20．已知函数
当 时，求函数 的单调区间；
求函数 在 上的最大值.
21．已知函数 .
(1)当 时，求证： ；
(2)设函数 ，且 有两个不同的零点 ，
①求实数 的取值范围；②求证： .
22．选修4-4：坐标系与参数方程
已知极坐标系的极点为平面直角坐标系 的原点，极轴为 轴的正半轴，两种坐标系中的长度单位相同，曲线 的参数方程为 （ 为参数），直线 过点 ，且斜率为 ,射线 的极坐标方程为 ．
A． B．4 C．3 D．
8．若函数 在区间 内恰有一个极值点，则实数 的取值范围为
A． B． C． D．
9．如图，将 直角三角板和 直角三角板拼在一起，其中 直角三角板的斜边与 直角三角板的 角所对的直角边重合.若 ，则
A． B． C． D．
10．已知 是同一球面上的四个点，其中 是正三角形， 平面 ， ，则该球的体积为
（1）求曲线 和直线 的极坐标方程；
（2）已知射线 与圆 的交点为 ，与直线 的交点为 ，求线段 的长．
23．选修4-5：不等式选讲
（1）函数 ，若存在实数 ，使得 成立，求实数 的取值范围；
（2）设 ，若 ，求 的最小值．
2018届广西玉林市陆川中学
高三12月月考数学（理）试题
数学答案
参考答案
1．D
【解析】由条件知道
，由虚部的概念得到 。
故答案为C。
3．D
【解析】向量 是互相垂直的单位向量，故 ,
故答案为：D。
4．B
【解析】根据表中数据，得；
，
，
且变量y随变量x的增大而减小，是负相关，排除A,D.
验证 时， ,C成立；
，不满足.
即回归直线yˆ=−0.7x+10.3过样本中心点( , ).
故选：B.
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、单选题
1．已知集合 ，则
A． B． C． D．
2．已知复数 满足 ，则复数 的虚部是
A． B． C． D．
3．已知向量 是互相垂直的单位向量，且 ，则
2021届广西玉林市陆川中学
高三12月月考数学（理）试题
数学
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
A． B．1 C．6 D．
4．已知变量 与变量 之间具有相关关系，并测得如下一组数据
则变量 与 之间的线性回归方程可能为
A． B．
C． D．
5．设 ，其中 都是非零实数，若 ，那么
A．1 B．2 C．0 D．
6．若 ，则
A． B．
C． D．
7．已知一个棱长为2的正方体，被一个平面截后所得几何体的三视图如图所示,则该截面的面积为
第三阶梯
月用电范围（度）
（0,210]
（210,400]
某市随机抽取10户同一个月的用电情况，得到统计表如下：
居民用电户编号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
用电量（度）
53
86
90
124
132
200
215
225
300
410
(2)现要在这10户家庭中任意选取3户，求取到第二阶梯电量的户数的分布列与期望；
(3)以表中抽到的10户作为样本估计全市的居民用电，现从全市中依次抽取10户，若抽到 户用电量为第一阶梯的可能性最大，求 的值.
①易混淆相关关系与函数关系，两者的区别是函数关系是一种确定的关系，而相关关系是一种非确定的关系，函数关系是一种因果关系，而相关关系不一定是因果关系，也可能是伴随关系．
②回归分析中易误认为样本数据必在回归直线上，实质上回归直线必过 点，可能所有的样本数据点都不在直线上．
（1）证明： 是等比数列，并求其通项公式；
（2）求数列 的前 项和 .
18．在 中，角 所对的边分别为 ，且 .
（1）求 的值；
（2）若 ，点 在线段 上， ， ,求 的面积.
19．为了引导居民合理用电，国家决定实行合理的阶梯电价，居民用电原则上以住宅为单位（一套住宅为一户）.
阶梯级别
第一阶梯
第二阶梯
A． B． C． D．
11．已知抛物线 ，直线 ， 为抛物线 的两条切线，切点分别为 ，则“点 在 上”是“ ”的
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
12．已知函数 （ 是自然对数的底数）.若 ，则 的取值范围为
A． B． C． D．
二、填空题
13．已知x，y满足 则 的最小值为________．
③利用回归方程分析问题时，所得的数据易误认为准确值，而实质上是预测值(期望值)．
5．Aቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
【解析】
∵函数f（x）=asin（πx+α）+bcos（πx+β），其中a，b，α，β都是非零实数，
f（2017）=﹣1，∴f（2017）=asin（2017π+α）+bcos（2017π+β）=-asinα-bcosβ=-1，
则该几何体是正方体ABCD-A1B1C1D1截取三棱台AEF-A1B1D1后剩余的部分.
【解析】因为 ，所以 ，故选D.
点睛：集合是高考中必考的知识点，一般考查集合的表示、集合的运算比较多．对于集合的表示，特别是描述法的理解，一定要注意集合中元素是什么，然后看清其满足的性质，将其化简；考查集合的运算，多考查交并补运算，注意利用数轴来运算，要特别注意端点的取值是否在集合中，避免出错．
2．C
∴f（2018）=asin（2018π+α）+bcos（2018π+β）=asinα+bcosβ=1．
故答案为：A。
6．D
【解析】 时， 为减函数，且有 ,则有 ，A不正确；
时， 为减函数，且有 ，所以 ，B不正确；
时， ，C不正确；
时， 为减函数， ，所以 ，D正确.
故选D.
7．A
【解析】如图所示，正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为AB，AD的中点，
14．已知双曲线 的渐近线被圆 截得的弦长为 ，则该双曲线的离心率为__________．
15．设数列 的前n项和为 ,若 且 则 的通项公式 _______．
16．如图，设 的内角 所对的边分别为 ， ，且 .若点 是 外一点， ，则当四边形 面积最大值时， _______．
三、解答题
17．已知数列 的前 项和 .
20．已知函数
当 时，求函数 的单调区间；
求函数 在 上的最大值.
21．已知函数 .
(1)当 时，求证： ；
(2)设函数 ，且 有两个不同的零点 ，
①求实数 的取值范围；②求证： .
22．选修4-4：坐标系与参数方程
已知极坐标系的极点为平面直角坐标系 的原点，极轴为 轴的正半轴，两种坐标系中的长度单位相同，曲线 的参数方程为 （ 为参数），直线 过点 ，且斜率为 ,射线 的极坐标方程为 ．
A． B．4 C．3 D．
8．若函数 在区间 内恰有一个极值点，则实数 的取值范围为
A． B． C． D．
9．如图，将 直角三角板和 直角三角板拼在一起，其中 直角三角板的斜边与 直角三角板的 角所对的直角边重合.若 ，则
A． B． C． D．
10．已知 是同一球面上的四个点，其中 是正三角形， 平面 ， ，则该球的体积为
（1）求曲线 和直线 的极坐标方程；
（2）已知射线 与圆 的交点为 ，与直线 的交点为 ，求线段 的长．
23．选修4-5：不等式选讲
（1）函数 ，若存在实数 ，使得 成立，求实数 的取值范围；
（2）设 ，若 ，求 的最小值．
2018届广西玉林市陆川中学
高三12月月考数学（理）试题
数学答案
参考答案
1．D
【解析】由条件知道
，由虚部的概念得到 。
故答案为C。
3．D
【解析】向量 是互相垂直的单位向量，故 ,
故答案为：D。
4．B
【解析】根据表中数据，得；
，
，
且变量y随变量x的增大而减小，是负相关，排除A,D.
验证 时， ,C成立；
，不满足.
即回归直线yˆ=−0.7x+10.3过样本中心点( , ).
故选：B.
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、单选题
1．已知集合 ，则
A． B． C． D．
2．已知复数 满足 ，则复数 的虚部是
A． B． C． D．
3．已知向量 是互相垂直的单位向量，且 ，则
2021届广西玉林市陆川中学
高三12月月考数学（理）试题
数学
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
A． B．1 C．6 D．
4．已知变量 与变量 之间具有相关关系，并测得如下一组数据
则变量 与 之间的线性回归方程可能为
A． B．
C． D．
5．设 ，其中 都是非零实数，若 ，那么
A．1 B．2 C．0 D．
6．若 ，则
A． B．
C． D．
7．已知一个棱长为2的正方体，被一个平面截后所得几何体的三视图如图所示,则该截面的面积为
第三阶梯
月用电范围（度）
（0,210]
（210,400]
某市随机抽取10户同一个月的用电情况，得到统计表如下：
居民用电户编号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
用电量（度）
53
86
90
124
132
200
215
225
300
410
(2)现要在这10户家庭中任意选取3户，求取到第二阶梯电量的户数的分布列与期望；
(3)以表中抽到的10户作为样本估计全市的居民用电，现从全市中依次抽取10户，若抽到 户用电量为第一阶梯的可能性最大，求 的值.