高中数学三角函数与解三角形小题强化训练(解析版)

专题05 三角函数与解三角形小题强化训练(省赛试题汇编)

1．在△ABC中，，则△ABC的面积最大值为_____.

【答案】3

【解析】

由正弦定理将变形为，其中.

以线段AC所在直线为x轴，以AC的中点O为坐标原点建立平面直角坐标系，则

，由

两边平方整理得

因为，所以上述方程可化为为

由此可知点B的轨迹是以为圆心，以为半径的圆.所以当点B在圆上运动时，点B到x 轴的最大距离为半径，所以的面积上单调递减，所以.

2．已知．则的取值范围是________．

【答案】

【解析】

由条件知点表示单位圆上的动点与点连线的斜率大于．

作图可得点P在圆弧上运动，含点和点，不含点和点．如

图：

而表示原点与点P连线的斜率，由图计算得．

故答案为：

3．在△ABC中，，则△ABC的面积最大值为_____.

【答案】3

【解析】

由正弦定理将变形为，其中.

以线段AC所在直线为x轴，以AC的中点O为坐标原点建立平面直角坐标系，则

，由

两边平方整理得

因为，所以上述方程可化为为

由此可知点B的轨迹是以为圆心，以为半径的圆.所以当点B在圆上运动时，点B到x 轴的最大距离为半径，所以的面积上单调递减，所以.

4．在中，，则的最小值为______.

【答案】

【解析】

由，知

于是

注意到

，

当且仅当时等号成立.于是，

，

所以，所求的最小值是.

故答案为：

5．已知，则________. 【答案】

【解析】

由，得，

所以.

故答案为：

6．在△ABC中，AB+AC=7,且三角形的面积为4,则sin∠A的最小值为________.

【答案】

【解析】

由,

又时取等号.

7．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为、b、c.若，则=_____. 【答案】1009

【解析】

由题得.

故答案为：1009

8．若三个角成等差数列，公差为，则______．【答案】

【解析】

根据，

则．

所以．

则．

故答案为：-3

9．计算的值为________.

【答案】

【解析】

记，则

，所以，. 10．如果函数的图象关于点中心对称，那么的最小值为_____.

【答案】

【解析】

由得图象关于点中心对称知，

，即，

即.因此，的最小值为

.

故答案为：

11．若，则的值为__________.

【答案】1

【解析】

首先由可知，必有，否则，矛盾.

又由，

因此有，

解得.因此有以及，故有

.

故答案为：1

12．在中，内角所对的边分别是．若，则______．【答案】

【解析】

由，知．

结合正弦定理，得．

由，及余弦定理，得．

所以．故．

13．给定正实数a、b(a> b)，两点到直线的距离乘积为_____。

【答案】

【解析】

直线方程可写成

则

14．若关于的方程组有实数解，则正实数的取值范围是__________。

【答案】

【解析】

两式平方，消去.反之，当时，也存在满足方程.因此，正实数.

15．关于x的方程的解为__________．

【答案】

【解析】

在已知方程两边同取正切得．

又，故．

16．已知函数．若存在，使

成立，则实数a的取值范围是__________．

【答案】

【解析】

设F、G分别为定义在区间上的值域．

则，

存在，使得，

故a的取值范围是．

17．函数的最大值为______.

【答案】

【解析】

依题意知

.

又，故当时，取得最大值.

18．设的对边分别为，且满足. 则______.

【答案】9

【解析】

由余弦定理得

.

从而，由正弦定理得

.

19．若实数构成以2为公比的等比数列，sinα、sinβ、sinγ构成等比数列，则cosa=_____. 【答案】

【解析】

设.

由

或1.

若，则(舍去).

从而，.

20．如图,P为正方形ABCD内切圆上的一点,记则______.

【答案】8

【解析】

如图,建立直角坐标系.

设圆方程为

则正方形顶点坐标分别为

若,则直线PA、PB、PC、PD的斜率分别为, , , .

故

因此.

21．设x为锐角.则函数的最大值为______.

【答案】

【解析】

由

当时,以上各式等号成立.

22．方程的解集为______.

【答案】.

【解析】

当时，

，当且仅当时，上式等号成立.

又，①