运筹学整数规划

a13 机床3
a14 机床4
a24 机床4
a33 机床3
解：设xij表示产品i在机床j上开始加工的时间(i=1,2,3; j=1,2,3,4) 下面将逐步列出问题的整数规划模型 1、同一件产品在不同机床上的加工顺序约束 对于同一件产品，在下一台机床上加工的开始时间不得早于在上一 台机床上加工的约束时间，故应有：
气，冰镐，绳索，帐篷，照相机和通讯设备，每种物品的重要性 系数和重量如下：假定登山队员可携带最大重量为25公斤。
序号 物品 重量 重要 系数
1 食品 5 20
2 氧气 5 15
3 冰镐 2 18Fra bibliotek4 绳索 6 14
5 帐篷 12 8
6 相机 2 4
7 设备 4 10
解：如果令xi=1表示登山队员携带物品i， xi=0表示登山队员不携带物品i，则问题表 示成0-1规划: Max Z= 20x1+15x2 +18x3 +14x4 +8x5 +4x6 +10x7
2
（二）、整数规划的数学模型
一般形式
max Z (或 min Z ) c j x j
j 1
n
n aij x j bi (i 1.2 m) j 1 x 0 (j 1.2 n) 且部分或全部为整数 j
依照决策变量取整要求的不同，整数规划可分为纯整 数规划、全整数规划、混合整数规划、0－1整数规划。
纯整数规划：所有决策变量要求取非负整数（这 时引进的松弛变量和剩余变量可以不要求取整数）。
全整数规划：除了所有决策变量要求取非负整数外， 系数aij和常数bi也要求取整数（这时引进的松弛变量和 剩余变量也必须是 整数）。 混合整数规划：只有一部分的决策变量要求取非 负整数，另一部分可以取非负实数。
s.t. 5x1 + 5x2 +2x3 +6x4 +12x5 +2x6
+4x7 25 xi=1或xi=0 i=1,2,….7
背包问题( Knapsack Problem)
一个旅行者,为了准备旅行的必须用品,要在背包内装一些最有 用的东西,但有个限制,最多只能装b公斤的物品,而每件物品只能
整个携带,这样旅行者给每件物品规定了一个“价值”以表示其
有用的程度,如果共有n件物品,第j件物品aj公斤,其价值为cj.问题 变成:在携带的物品总重量不超过b公斤条件下,携带哪些物品,可 使总价值最大?
解：如果令xj=1表示携带物品j，xj=0表示不携带物
品j，则问题表示成0-1规划:
Max Z = Σcjxj
s.t. Σajxj b xj=0 或1
零件 方 个数 式 零件
B1
Bn
零 件 毛坯数
A1 Am
a11 a1n b1 am1 amn bm
设：xj 表示用Bj (j=1.2…n) 种方式下料根数
模型： min Z xj
j 1 n
n a ij x j bi (i 1.2 m ) j 1 x 0 (j 1.2 n)且为整数 j
4
3 6 200 12
300
100
解：总收益等于销售收入减去生产上述产品的固定费用和可变费用之 和。建模碰到的困难主要是事先不能确切知道某种产品是否生产，因 而不能确定相应的固定费用是否发生。下面借助0-1变量解决这个困难 20
设xj是第j种产品的产量，j=1,2,3,再设
1 若生产第j种产品( x j 0) yj 0 若不生产第j种产品( x j 0)
x21 a21 x11 M (1 y1) x32 a32 x22 M (1 y2) x33 a33 x13 M (1 y3) x24 a24 x14 M (1 y4)
产品2的开始加工时间是x21，结束加工时间是x24+a24，故应有：
x24 a24 x21 d
产品2；或反之。对于其它3台机床，情况也类似。为了容纳两种相互 排斥的约束条件，对于每台机床，分别引入0-1变量
0 先加工某件产品 ( j 1,2,3,4) yj 1 先加工另一件产品
各yj的意义是明显的。如当yj=0时，表示机床1先加工产品1，后
加工产品2，当yj=1时，表示机床1先加工产品2，后加工产品1。
那么，每台机床上的加工产品的顺序可用下列四组约束条件来保证
机床1： x11 a11 x21 M y1 及 机床2： x22 a22 x32 M y2及 机床3： x13 a13 x33 M y3 及 机床4： x14 a14 x24 M y4 及 3、产品2的加工时间约束
m inc x Ax b s .t . x i 0,1; i 1,2,...,n

一、整数规划的模型
例1、合理下料问题
设用某型号的圆钢下零件A1, A2,…,Am 的毛坯。在一根圆钢上下 料的方式有B1,B2, … Bn 种，每种下料方式可以得到各种零件的 毛坯数以及每种零件的需要量，如表所示。问怎样安排下料方 式，使得即满足需要，所用的原材料又最少？
整数线性规划 Integer Linear Programming
问题与模型
整数规划算法：
分枝定界法、隐枚举法、匈牙利算法
Excel求解
第1页
§7.1 整数线性规划的数学模型
在上一章讨论的LP问题中，对决策变量只限于不能取负
值的连续型数值，即可以是正分数或正小数。然而在许多经
济管理的实际问题中，决策变量只有非负整数才有实际意义。 对求整数最优解的问题，称为整数规划(Integer Programming) (简记为IP)。又称约束条件和目标函数均为线性的IP为整数线 性规划(Integer Linear Programming) (简记为ILP)。
例5 某服务部门各时段（每2小时为一时段）需要的服务员人数如下表， 按规定，服务员连续工作8小时（即四个时段）为一班，现要求安排服 务员的工作时间，使服务部门服务员总数最小。
时段 服务员最少数目 1 10 2 8 3 9 4 11 5 13 6 8 7 5 8 3
min Z x1 x 2 x3 x 4 x5 解：设在第j时段开始时上班的服务员人 x1 10 数为xj，由于第j时段开始时上班的服务 x1 x 2 8 员将在第(j+3)时段结束时下班，故决策 x1 x 2 x3 9 变量只需考虑x1,x2,x3,x4,x5，此问题的数 x1 x 2 x3 x 4 11 学模型为： x 2 x3 x 4 x5 13 x x x 8 3 4 5 x 4 x5 5 3 x5 x1 , x 2 , x3 , x 4 , x5 0且为整数
例2、某公司计划在m个地点建厂，可供选择的地点有 A1,A2…Am ，他们的生产能力分别是a1,a2,…am（假设生产同一
产品）。第i个工厂的建设费用为fi (i=1.2…m),又有n个地点
B1,B2, … Bn 需要销售这种产品，其销量分别为b1.b2…bn 。从 工厂运往销地的单位运费为Cij。试决定应在哪些地方建厂， 即满足各地需要，又使总建设费用和总运输费用最省？
例题6 （固定费用问题）有三种资源被用于生产三种产品，资源量、产
品单件可变费用售价、资源单件耗量及组成三种产品生产的固定费用见 下表。要求制定一个生产计划，使总收益最大。
产品 1 单件耗量 资源 A 2 2 3 资源量
4
8
500
B
C 单件可变费用 固定费用 单件售价
2
1 4 100 8
3
2 5 150 10
产品1： x11 a11 x13 及
产品2： x21 a21 x22 及
x13 a13 x14
x22 a22 x24
产品3： x32 a32 x33
2、每一台机床对不同产品的加工顺序约束 一台机床在工作中，如已开始的加工还没有结束，则不能开始另一件
产品的加工。对于机床1，有两种加工顺序。或先加工产品1，后加工
则问题的整数规划模型为： max Z 4 x1 5 x 2 6 x3 100 y1 150 y 2 200 y3
2 x1 4 x 2 8 x3 500 M为很大 的正数 2 x1 3x 2 4 x3 300 2 3 100 x1 x2 x3 x1 M y1 M y 2 x2 x3 M y 3 x j 0且为整数, y j 0或1
项目A、C、E之间必须且只需选择一项：x1+x3+x5=1 项目B、D之间必须且只需选择一项：x2+x4=1 项目C的实施要以项目D的实施为前提条件： x3 x4 max z 10 x1 8 x 2 7 x 3 6 x 4 9 x 5 归纳起来，其数学模型为：
6 x1 4 x 2 2 x 3 4 x 4 5 x 5 15 x1 x 2 x 3 1 x 2 x 4 1 x 3 x 4 x j 0或1
0－1整数规划：所有决策变量只能取 0 或 1 两个 整数。
一般整数规划模型
m inc x Ax b s .t . x 0, x为整数

混合整数规划模型
min c x Ax b s.t. x 0 x 为整数, i 1,2,..., p i

0-1整数规划模型
项目 A 所需投资额（万元） 6 期望收益（万元） 10
B
C D E
4
2 4 5
8
7 6 9
17
解：决策变量：设
0 xj 1
表示项目j不被选中 表示项目j被选中
( j 1,2,3,4,5)
目标函数：期望收益最大 max z 10 x1 8 x 2 7 x3 6 x 4 9 x5 约束条件：投资额限制条件 6x1+4x2+2x3+4x4+5x515
i 1
n xij ai yi (i 1.2 m) j 1 m xij b j (j 1.2 n) i 1 x 0, y 0 或 1 (i 1.2 m、j 1.2 n) i ij
例3：一登山队员做登山准备，他需要携带的物品有：食品，氧
案例7 （工件排序问题）用4台机床加工3件产品。各产品的机床加工顺 序，以及产品i在机床j上的加工工时aij如下表。由于某种原因，产品2的 加工总时间不得超过d，现要求确定各件产品在机床上的加工方案，使 在最短的时间内加工完全部产品。
产品1
产品2 产品3
a11 机床1
a21 机床1 a22 机床2 a32 机床2
单 销地 厂址 价
A 1 A2 Am
销量
B1 c11 c21 cm1 b1
B2 Bn c12 c1n a1 c22 c2 n a2 cm 2 cmn am b2 bn
生产 能力
建设 费用
f1 f2 fm
设： xij 表示从工厂运往销地的运量(i=1.2…m、 j=1.2…n), 1 在Ai建厂 又设 Yi＝ （i=1.2…m） 0 不在Ai建厂 m 模型： min Z cij xij f i yi
4、目标函数的建立
设全部产品加工完毕的结束时间为W，由于三件产品的加 工结束时间分别为x14+a14， x24+a24， x33+a33，故全部产品的 实际加工结束时间为：
W max(x14 a14 , x24 a24 , x33 a33)
例题4 某单位有5个拟选择的投资项目，其所需投资额与期望收益 如下表。由于各项目之间有一定联系，A、C、E之间必须选择一 项且仅需选择一项；B和D之间需选择也仅需选择一项；又由于C 和D两项目密切相关，C的实施必须以D的实施为前提条件，该单 位共筹集资金15万元，问应该选择哪些项目投资，使期望收益最 大？