2020年广东省“六校联盟”高三上第二次联考数学试卷文科解析版

2015-2016学年广东省“六校联盟”高三（上）第二次联考数学试卷（文科）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）设集合A={1，2，3，5}，集合A∩B={2，5}，A∪B={1，2，3，4，5，6}，则集合B=（）A．{2，5}B．[2，4，5}C．{2，5，6}D．{2，4，5，6}
2．（5分）已知sin（﹣α）=，则sin2α的值为（）
A．B．C．D．﹣
3．（5分）设α、β为两个不同的平面，l、m为两条不同的直线，且l⊂α，m⊂β，有如下的两个命题：①若α∥β，则l∥m；②若l⊥β，则α⊥β．那么（）
A．①是真命题，②是假命题B．①是假命题，②是真命题
C．①②都是真命题D．①②都是假命题
4．（5分）已知A（﹣1，1）、B（x﹣1，2x），若向量与（O为坐标原点）的夹角为锐角，则实数x 的取值范围是（）
A．（﹣1，）∪（，+∞）B．（﹣1，+∞）C．（﹣1，3）∪（3，+∞）D．（﹣∞，﹣1）5．（5分）各项都是正数的等比数列{a n}，若a2，a3，2a1成等差数列，则的值为（）
A．2 B．2或﹣1 C．D．或﹣1
6．（5分）已知函数f（x）是偶函数，当0≤x1＜x2时，＞0恒成立，设a=f（﹣2），b=f
（1），c=f（3），则a，b，c的大小关系为（）
A．a＜b＜c B．b＜c＜a C．a＜b＜c D．b＜a＜c
7．（5分）已知函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的图象上相邻两个最高点的距离为π．若将函数f（x）的图象向左平移个单位长度后，所得图象关于y轴对称．则函数f（x）的解析式为（）A．f（x）=2sin（x+）B．f（x）=2sin（x+）C．f（x）=2sin（2x+） D．f（x）=2sin（2x+）
8．（5分）给出如下四个判断：
①若“p或q”为假命题，则p、q中至多有一个为假命题；
②命题“若a＞b，则log2a＞log2b”的否命题为“若a≤b，则log2a≤log2b”；
③对命题“∀x∈R，x2+1≥1”的否定是“∃x∈R，x2+1≤1”；
④在△ABC中，“sinA＞”是“∠A＞”的充分不必要条件．
其中不正确的判断的个数是（）
A．3 B．2 C．1 D．0
9．（5分）已知点P为△ABC所在平面上的一点，且，其中t为实数，若点P落在△ABC 的内部，则t的取值范围是（）
A．B．C．D．
10．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）
A．3π+2﹣1 B．3π+2C．2π+2﹣1 D．2π+2
11．（5分）定义运算法则如下：a⊕b=+b﹣2，a⊗b=lga2﹣lg；若M=27⊕，N=⊗25，则M+N=
（）
A．2 B．3 C．4 D．5
12．（5分）已知数列{a n}满足a1=a，a n+1=，若a3=a1成立，则a在（0，1]内的可能值有
（）
A．4个B．3个C．2个D．1个
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．
13．（5分）已知=（2，1），=（﹣1，﹣3），若（+λ）⊥，则λ=．
14．（5分）若曲线y=xlnx上点P处的切线平行与直线2x﹣y+1=0，则点P的坐标是．
15．（5分）若实数x，y满足，且x2+y2的最大值等于25，则正实数a=．
16．（5分）2015年10月4日凌晨3点，代号为“彩虹”的台风中心位于A港口的东南方向B处，且台风中心B与A港口的距离为400千米．预计台风中心将以40千米/时的速度向正北方向移动，离台风中心500千米的范围都会受到台风影响，则A港口从受到台风影响到影响结束，将持续小时．
三、解答题：第17到21题为必做题，从第22、23、24三个小题中选做一题，满分60分．
17．（12分）在锐角△ABC中，a，b，c为角A，B，C所对的三边，设向量=（cosA，sinA），=（cosA，
﹣sinA），且与的夹角为．
（1）求角A的值；
（2）若a=，设内角B为x，△ABC的周长为y，求y=f（x）的最大值．
18．（12分）已知：数列{a n}满足a1+3a2+32a3+…+3n﹣1a n=n，n∈N*
（1）求数列{a n}的通项；
（2）设b n=log3，求数列{}的前n项和S n．
19．（12分）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AD=AA1=1，AB=2，P为线段AD1上的动点，（1）当P为AD1中点时，求证：PD⊥平面ABC1D1
（2）求证：无论P在何处，三棱锥D﹣PBC1的体积恒为定值；并求出这个定值．
20．（12分）已知函数f（x）=a﹣（x∈R）为奇函数．
（1）求实数a的值；
（2）判断函数f（x）的单调性；
（3）若对任意的t∈[﹣1，]，不等式f（t2+2）+f（t2﹣tk）＞0恒成立，求实数k的取值范围．21．（12分）设函数f（x）=lnx+，m∈R
（1）当m=e（e为自然对数的底数）时，求f（x）的最小值；
（2）记g（x）=f′（x）﹣+m，试讨论是否存在x0∈（0，）∪（，+∞），使得g（x0）=f（1）成立．
【选修4-1：几何证明选讲】
22．（10分）如图，已知AB是圆O的直径，直线CD与圆O相切于点C，AC平分∠DAB，AD与圆O 相交于点E
（1）求证：AD⊥CD
（2）若AE=3，CD=2，求OC的长．
【选修4-4：坐标系与参数方程】
23．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程（t为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴
为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为：ρ=4sinθ
（1）直线l的参数方程化为极坐标方程；
（2）求直线l与曲线C交点的极坐标（ρ≥0，0≤θ＜2π）
【选修4-5：不等式选讲】
24．设函数f（x）=|x﹣2|﹣|x+1|﹣1，g=﹣x+a．
（1）求不等式f（x）≥0的解集；
（2）若方程f（x）=g（x）有三个不同的解，求a的取值范围．
2015-2016学年广东省“六校联盟”高三（上）第二次联考数学试卷
（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）（2015秋•广东月考）设集合A={1，2，3，5}，集合A∩B={2，5}，A∪B={1，2，3，4，5，6}，则集合B=（）
A．{2，5}B．[2，4，5}C．{2，5，6}D．{2，4，5，6}
【分析】根据交集和并集的定义即可求出，
【解答】解：∵设集合A={1，2，3，5}，集合A∩B={2，5}，A∪B={1，2，3，4，5，6}，
∴B={2，4，5，6}，
故选：D．
【点评】本题主要考查集合的交集并集，属于基础题．
2．（5分）（2015秋•贺州月考）已知sin（﹣α）=，则sin2α的值为（）
A．B．C．D．﹣
【分析】直接利用两角和一次的正弦函数化简，利用平方求解即可．
【解答】解：sin（﹣α）=，可得（cosx﹣sinx）=，
即cosx﹣sinx=，
两边平方可得1﹣sin2x=，
sin2α=．
故选：B．
【点评】本题考查两角和与差的三角函数，二倍角公式的应用，考查计算能力．
3．（5分）（2015秋•广东月考）设α、β为两个不同的平面，l、m为两条不同的直线，且l⊂α，m⊂β，有如下的两个命题：①若α∥β，则l∥m；②若l⊥β，则α⊥β．那么（）
A．①是真命题，②是假命题B．①是假命题，②是真命题
C．①②都是真命题D．①②都是假命题
【分析】本题考查的知识点是空间中线面关系，线线关系和面面关系，我们根据空间空间中线面关系的判定及性质定理逐个分析题目中的两个结论，即可求出答案．
【解答】解：若α∥β，则l与m可能平行也可能异面，故①为假命题；
若l⊥β，l⊂α时，根据平面与平面垂直的判定定理可得α⊥β，故②为真命题；
故选：B．
【点评】要证明一个结论是正确的，我们要经过严谨的论证，要找到能充分说明问题的相关公理、定理、性质进行说明；但要证明一个结论是错误的，我们只要举出反例即可．
4．（5分）（2015秋•贺州月考）已知A（﹣1，1）、B（x﹣1，2x），若向量与（O为坐标原点）的夹角为锐角，则实数x的取值范围是（）
A．（﹣1，）∪（，+∞）B．（﹣1，+∞）C．（﹣1，3）∪（3，+∞）D．（﹣∞，﹣1）
【分析】由条件利用两个向量的夹角公式，两个向量共线的性质，可得1﹣x+2x＞0，且≠，由此求得x的范围．
【解答】解：若向量与（O为坐标原点）的夹角为锐角，则＞0 且向量与不共线，
∴1﹣x+2x＞0，且≠，
求得x＞﹣1，且x≠，
故选：A．
【点评】本题主要考查两个向量的夹角公式，两个向量共线的性质，属于基础题．
5．（5分）（2016春•莆田校级期末）各项都是正数的等比数列{a n}，若a2，a3，2a1成等差数列，则
的值为（）
A．2 B．2或﹣1 C．D．或﹣1
【分析】设等比数列{a n}的公比为q，由题意得q＞0，根据条件和等差中项的性质列出方程求出q的值，利用等比数列的通项公式化简即可得答案．
【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q，则q＞0，
因为a2，a3，2a1成等差数列，
所以2×a3=a2+2a1，则，
即q2﹣q﹣2=0，解得q=2或q=﹣1（舍去），
所以===，
故选：C．
【点评】本题考查等比数列的通项公式，以及等差中项的性质，考查整体思想，方程思想，属于中档题．6．（5分）（2015秋•广东月考）已知函数f（x）是偶函数，当0≤x1＜x2时，＞0恒成立，
设a=f（﹣2），b=f（1），c=f（3），则a，b，c的大小关系为（）
A．a＜b＜c B．b＜c＜a C．a＜b＜c D．b＜a＜c
【分析】根据条件先判断函数在[0，+∞）上是增函数，结合函数奇偶性和单调性之间的关系进行转化求解即可．
【解答】解：当0≤x1＜x2时，＞0恒成立，
∴此时函数f（x）在[0，+∞）上是增函数，
∵函数f（x）是偶函数，
∴a=f（﹣2）=f（2），b=f（1），c=f（3），
则f（1）＜f（2）＜f（3），
即f（1）＜f（﹣2）＜f（3），
则b＜a＜c，
故选：D
【点评】本题主要考查函数值的大小比较，根据条件判断函数的单调性，利用函数奇偶性和单调性之间的关系进行转化是解决本题的关键．
7．（5分）（2016•岳阳校级模拟）已知函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的图象上相邻两个最高点的距离为π．若将函数f（x）的图象向左平移个单位长度后，所得图象关于y轴对称．则函数f（x）的解析式为（）
A．f（x）=2sin（x+）B．f（x）=2sin（x+）C．f（x）=2sin（2x+） D．f（x）=2sin（2x+）
【分析】根据函数的图象求出函数的周期，利用函数的对称性求出ω和φ的值即可得到结论．
【解答】解：∵函数的图象上相邻两个最高点的距离为π，
∴函数周期T=π，即T==π，即ω=2，
即f（x）=2sin（2x+φ），
若将函数f（x）的图象向左平移个单位长度后，得f（x）=2sin[2（x+）+φ）]=2sin（2x++φ），若图象关于y轴对称．
则+φ=+kπ，
即φ=+kπ，k∈Z，
∵0＜φ＜π，
∴当k=0时，φ=，
即f（x）=2sin（2x+），
故选：C．
【点评】本题主要考查三角函数解析式的求解，根据三角函数的性质求出ω和φ的值是解决本题的关键．
8．（5分）（2015秋•广东月考）给出如下四个判断：
①若“p或q”为假命题，则p、q中至多有一个为假命题；
②命题“若a＞b，则log2a＞log2b”的否命题为“若a≤b，则log2a≤log2b”；
③对命题“∀x∈R，x2+1≥1”的否定是“∃x∈R，x2+1≤1”；
④在△ABC中，“sinA＞”是“∠A＞”的充分不必要条件．
其中不正确的判断的个数是（）
A．3 B．2 C．1 D．0
【分析】根据“p或q”的真假性判断①是错误的；
根据原命题与它的否命题的关系得出②是正确的；
根据全称命题的否定是特称命题可判断③是错误的；
根据sinA＞时∠A＞成立，充分性成立；
∠A＞时sinA＞不一定成立，必要性不成立；得出④正确．
【解答】解：对于①，若“p或q”为假命题，则p、q中两个都是假命题，故①错误；
对于②，根据原命题与它的否命题的关系知，
“若a＞b，则log2a＞log2b”的否命题为“若a≤b，则log2a≤log2b”，故②正确；
对于③，命题“∀x∈R，x2+1≥1”的否定是“∃x∈R，x2+1＜1”，故③错误；
对于④，△ABC中，当sinA＞时，＞∠A＞，即∠A＞成立，是充分条件；
当∠A＞时，不能得出sinA＞，即不是必要条件；
综上，“sinA＞”是“∠A＞”的充分不必要条件，故④正确．
所以，不正确的判断是①③，共2个．
故选：B．
【点评】本题利用命题真假的判断考查了简易逻辑的应用问题，是综合性题目．
9．（5分）（2011•浙江模拟）已知点P为△ABC所在平面上的一点，且，其中t为实数，若点P落在△ABC的内部，则t的取值范围是（）
A．B．C．D．
【分析】用向量的加法法则将条件中的向量，都用以A为起点的向量表示得到，画出图形，结合点P落在△ABC的内部从而得到选项．
【解答】解：在AB上取一点D，使得，
在AC上取一点E，使得：
．则由向量的加法的平行四边形法则得：
，
由图可知，若点P落在△ABC的内部，则．
故选D．
【点评】本题考查向量的线性运算性质及几何意义，向量的基本运算，定比分点中定比的范围等等10．（5分）（2015秋•广东月考）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）
A．3π+2﹣1 B．3π+2C．2π+2﹣1 D．2π+2
【分析】由已知中的三视图，可得该几何体是一个半球和一个三棱锥形成的组合体，分别计算各个面的面积，相加可得答案．
【解答】解：由已知中的三视图，可得该几何体是一个半球和一个三棱锥形成的组合体，
其直观图如下图所示：
半球的曲面面积为：2π，
半球的平面面积为：π﹣×2×1=π﹣1，
棱锥侧面V AC和VBC的面积均为：=，
棱锥侧面V AB的面积为：=，
故组合体的表面积为：3π+2﹣1，
故选：A
【点评】本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，根据三视图判断出几何体的形状是解答的关键．
11．（5分）（2015秋•广东月考）定义运算法则如下：a⊕b=+b﹣2，a⊗b=lga2﹣lg；若M=27⊕，N=⊗25，则M+N=（）
A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】利用两个新的运算法则及其指数与对数的运算法则即可得出．
【解答】解：M=27⊕=+（）﹣2=3+2=5，N=⊗25=lg（）2﹣lg=﹣lg2﹣lg5=﹣1，
∴M+N=5﹣1=4，
故选：C
【点评】本题考查了新的运算法则、及其指数与对数的运算法则，属于基础题．
12．（5分）（2015秋•广东月考）已知数列{a n}满足a1=a，a n+1=，若a3=a1成立，则a在
（0，1]内的可能值有（）
A．4个B．3个C．2个D．1个
【分析】根据题意对a进行分类讨论，分别根据递推公式和条件列出方程，求出a在（0，1]内的所有值．【解答】解：由题意知，a1=a∈（0，1]，a2=2a∈（0，2]，
①当a∈（0，]时，
则a2=2a∈（0，1]，所以a3=2a2=4a，
由a3=a1得，4a=a，得a=0（舍去）；
②当a∈（，1]时，a2=2a∈（1，2]，
所以a3==，
由a3=a1得，=a，得a=1或a=（舍去），
综上得，a=1，即a在（0，1]内的可能值有1个，
故选：D．
【点评】本题考查数列的递推式的应用，以及分类讨论思想、方程思想的运用，属于中档题．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．
13．（5分）（2015秋•贺州月考）已知=（2，1），=（﹣1，﹣3），若（+λ）⊥，则λ=．【分析】求出向量+λ，然后利用垂直条件，求解即可．
【解答】解：=（2，1），=（﹣1，﹣3），+λ=（2﹣λ，1﹣3λ）．
（+λ）⊥，
可得λ﹣2+9λ﹣3=0，
解得λ=．
故答案为：．
【点评】本题考查斜率的数量积的应用，考查计算能力．
14．（5分）（2014•江西）若曲线y=xlnx上点P处的切线平行与直线2x﹣y+1=0，则点P的坐标是（e，e）．【分析】求出函数的导数，根据导数的几何意义，结合直线平行的性质即可得到结论．
【解答】解：函数的定义域为（0，+∞），
函数的导数为f′（x）=lnx+x=1+lnx，
直线2x﹣y+1=0的斜率k=2，
∵曲线y=xlnx上点P处的切线平行与直线2x﹣y+1=0，
∴f′（x）=1+lnx=2，
即lnx=1，解得x=e，此时y=elne=e，
故点P的坐标是（e，e），
故答案为：（e，e）．
【点评】本题主要考查导数的几何意义，以及直线平行的性质，要求熟练掌握导数的几何意义．
15．（5分）（2015秋•广东月考）若实数x，y满足，且x2+y2的最大值等于25，则正实数
a=1．
【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用x2+y2的几何意义，利用数形结合即可得到结论．
【解答】解：作出不等式组对应的平面区域，
x2+y2的几何意义表示为点（x，y）到原点（0，0）的距离的平方，
∵图象可知，可行域中的点B（，3）离（0，0）最远，
故x2+y2的最大值为（）2+32=25，
即（）2=16，
即=4或﹣4，
解得a=1或a=﹣（负值舍去），
故答案为：1
【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用x2+y2的几何意义结合数形结合是解决本题的关键．
16．（5分）（2015秋•广东月考）2015年10月4日凌晨3点，代号为“彩虹”的台风中心位于A港口的东南方向B处，且台风中心B与A港口的距离为400千米．预计台风中心将以40千米/时的速度向正北方向移动，离台风中心500千米的范围都会受到台风影响，则A港口从受到台风影响到影响结束，将持续15小时．
【分析】过A作AC垂直BC，垂足为点C，则BC=AC=400千米，在BC线上取点D使得AD=500千米进而根据勾股定理求得DC，进而乘以2，再除以速度即是A港口受到台风影响的时间．
【解答】解：由题意AB=400千米，过A作AC垂直BC，垂足为点C，则BC=AC=400千米
台风中心500千米的范围都会受到台风影响
所以在BC线上取点D使得AD=500千米
因为AC=400千米，AD=500千米∠DCA是直角
根据勾股定理DC=300千米
因为500千米的范围内都会受到台风影响
所以影响距离是300×2=600千米
T==15（小时）
故答案为15．
【点评】本题主要考查了解三角形的实际应用．考查了考生运用所学知识解决实际问题的能力．
三、解答题：第17到21题为必做题，从第22、23、24三个小题中选做一题，满分60分．
17．（12分）（2015秋•贺州月考）在锐角△ABC中，a，b，c为角A，B，C所对的三边，设向量=（cosA，sinA），=（cosA，﹣sinA），且与的夹角为．
（1）求角A的值；
（2）若a=，设内角B为x，△ABC的周长为y，求y=f（x）的最大值．
【分析】（1）由题知：||=||=1，cos==cos2A﹣sin2A，由此能求出A．
（2）由正弦定理，得b=2sinx，c=2sin（120°﹣x），（x＜120°），从而
y=，利用导数性质能求出y=f（x）的最大值．
【解答】解：（1）∵向量=（cosA，sinA），=（cosA，﹣sinA），
∴由题知：||=||=1，
∵与的夹角为，
∴cos==cos2A﹣sin2A，即cos2A=﹣，
又∵0＜A＜，0＜2A＜π，
∴2A=，故A=．
（2）由正弦定理，得==2，
b=2sinx，c=2sin（120°﹣x），（x＜120°），
∴y=
y′=2cosx﹣2cos（120°﹣x），
令y′=2cosx﹣2cos（120°﹣x）=0，得x=60°，
∴x=60°时，y=f（x）取最大值y max==3．
【点评】本题考查角的大小的求法，考查三角形周长的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．
18．（12分）（2015秋•广东月考）已知：数列{a n}满足a1+3a2+32a3+…+3n﹣1a n=n，n∈N*
（1）求数列{a n}的通项；
（2）设b n=log3，求数列{}的前n项和S n．
【分析】（1）利用递推关系即可得出．
（2）b n=log3=n，=n•3n﹣1．利用“错位相减法”与等比数列的求和公式即可得出．
【解答】解：（1）当n≥2时，数列{a n}满足a1+3a2+32a3+…+3n﹣1a n=n，n∈N*，
a1+3a2+32a3+…+3n﹣2a n﹣1=n﹣1，
两式作差得：3n﹣1a n=1，∴a n=．
当n=1时，a1=1也满足上式．∴a n=（n∈N*）．
（2）b n=log3=n，
=n•3n﹣1．
数列{}的前n项和S n=1+2×3+3×32+…+n•3n﹣1，
3S n=3+2×32+…+（n﹣1）•3n﹣1+n•3n，
∴﹣2S n=1+3+32+…+3n﹣1﹣n•3n=﹣n•3n，
∴S n=﹣+．
【点评】本题考查了等比数列的通项公式与求和公式、“错位相减法”、递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
19．（12分）（2015秋•沈阳校级月考）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AD=AA1=1，AB=2，P为线段AD1上的动点，
（1）当P为AD1中点时，求证：PD⊥平面ABC1D1
（2）求证：无论P在何处，三棱锥D﹣PBC1的体积恒为定值；并求出这个定值．
【分析】（1）由正方形ADD1A1可得PD⊥AD1，由AB⊥平面ADD1A1可得AB⊥PD，故而PD⊥平面ABC1D1；（2）三棱锥P﹣BDC1的底面积为定值，由AD1∥BC1可知AD1∥平面BDC1，故P到平面BDC1的距离为定值，当P与A重合时，求出三棱锥C1﹣ABD的体积即可．
【解答】证明：（1）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB⊥平面AA1D1D，PD⊂平面AA1D1D，
∴AB⊥PD．
∵AD=AA1，∴四边形AA1D1D为正方形，P为对角线AD1的中点，
∴PD⊥AD1，
又∵AB∩AD1=A，AB⊂平面ABC1D1，AD1⊂平面ABC1D1，
∴PD⊥平面ABC1D1．
（2）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，
∵AD1∥BC1，BC1⊂平面BDC1，AD1⊄平面BDC1，
∴AD1∥平面BDC1，
∵P为线段AD1上的点，
∴点P到平面BDC1的距离为定值．而三角形BDC1的面积为定值，
∴三棱锥P﹣BDC1的体积为定值，即三棱锥D﹣PBC1的体积为定值．
V=V=V=V==．
【点评】本题考查了线面垂直的判定，棱锥的体积计算，属于中档题．
20．（12分）（2015秋•广东月考）已知函数f（x）=a﹣（x∈R）为奇函数．
（1）求实数a的值；
（2）判断函数f（x）的单调性；
（3）若对任意的t∈[﹣1，]，不等式f（t2+2）+f（t2﹣tk）＞0恒成立，求实数k的取值范围．
【分析】（1）利用函数定义取到R的奇函数的性质：f（0）=0求解实数a的值．
（2）利用定义法证明其单调性．
（3）利用（2）函数的单调性，将不等式f（t2+2）+f（t2﹣tk）＞0恒成立等价变换后求解实数k的取值范围．
【解答】解：（1）由题意：∵函数f（x）=a﹣是定义域为R的奇函数，
∴f（0）=0，即，
解得：a=1．
当a=1时，f（x）=1﹣=
f（﹣x）═==﹣=﹣f（x），∴f（x）是奇函数．
故得a=1满足题意．
所以：a=1．
（2）由（1）可知f（x）=；
设x1＜x2，那么：f（x1）﹣f（x2）=﹣=
∵x1＜x2，
∴
所以：f（x1）﹣f（x2）＜0；
故，函数f（x）为R上的增函数．
（3）由（2）知：函数f（x）为R上的增函数，且f（x）是奇函数．
从而不等式：f（t2+2）+f（t2﹣tk）＞0等价于f（t2+2）＞f（﹣t2+tk），即得：t2+2＞﹣t2+tk．
∴2t2﹣tk+2＞0对任意于t∈[﹣1，]，恒成立．
记g（t）=2t2﹣tk+2，开口向上，对称轴x=，则g（t）在∈[﹣1，]上的最小值大于0．即恒成立．①当＜﹣1时，即k＜﹣4时，g（t）=2t2﹣tk+2在[﹣1，]上是单调增函数，
g（t）min=g（﹣1）=4+k＞0，解得：k＞﹣4，
故得k无解，
②当﹣1≤时，即﹣4≤k≤2时，g（t）min=g（）=2﹣＞0，解得：4＞k＞﹣4，
故得﹣4＜k≤2．
③当＞时，即k＞2时，g（t）=2t2﹣tk+2在[﹣1，]上是单调减函数，
g（t）min=g（）=＞0，解得：k＜5，
故得2＜k＜5，
综上所述：实数k的取值范围是{k|﹣4＜k＜5}．
【点评】本题考查了函数的性质之奇函数的运用，单调性的证明以及恒等式的问题的转化为二次函数最值的讨论．属于难题．
21．（12分）（2015秋•贺州月考）设函数f（x）=lnx+，m∈R
（1）当m=e（e为自然对数的底数）时，求f（x）的最小值；
（2）记g（x）=f′（x）﹣+m，试讨论是否存在x0∈（0，）∪（，+∞），使得g（x0）=f（1）成
立．
【分析】（1）求出函数的导数，求得单调区间和极值，可得最小值；
（2）假设存在x0∈（0，）∪（，+∞），使得g（x0）=f（1）成立．则方程g（x）=f（1）在区间（0，）∪（，+∞）上有解，求出m=﹣x3+x，设φ（x）=﹣x3+x，求出导数，求得x=1是φ（x）的最大值点，求出最大值，画出图象，讨论m的范围，即可得到所求的结论．
【解答】解：（1）由题设，当m=e时，f（x）=lnx+，其定义域为（0，+∞），
可得f′（x）=﹣=
即有当0＜x＜e时，f′（x）＜0，此时f（x）在（0，e）上单调递减；
当x＞e时，f′（x）＞0，此时f（x）在（e，+∞）上单调递增；
则当x=e时，f（x）取得最小值f（e）=lne+1=2；
（2）假设存在x0∈（0，）∪（，+∞），使得g（x0）=f（1）成立．
则方程g（x）=f（1）在区间（0，）∪（，+∞）上有解，
由g（x）=f′（x）﹣x+m=﹣﹣x+m（x＞0），f（1）=m，
方程g（x）=f（1）可化为m=﹣x3+x，
设φ（x）=﹣x3+x，
则φ′（x）=﹣x2+1=﹣（x﹣1）（x+1），
当0＜x＜1时，φ′（x）＞0，此时φ（x）在（0，1）上单调递增；
当x＞1时，φ′（x）＜0，此时φ（x）在（1，+∞）上单调递减；
所以x=1是φ（x）的唯一极值点，且是极大值点，因此x=1也是φ（x）的最大值点，
φ（x）的最大值为φ（1）=﹣+1=
又φ（0）=φ（）=0，结合y=φ（x）的图象，
可知①当m＞或m=0时，方程g（x）=f（1）
在区间（0，）∪（，+∞）上无解；
②当0＜m＜时，方程g（x）=f（1）
在区间（0，）∪（，+∞）上有两解；
③当m＜0或m=时，方程g（x）=f（1）
在区间（0，）∪（，+∞）上有一个解．
综上所述，当m＞或m=0时，不存在x0∈（0，）∪（，+∞），
使得g（x0）=f（1）；
当m≤且m≠0时，存在x0∈（0，）∪（，+∞），使得g（x0）=f（1）．
【点评】本题考查导数的运用：求单调性和极值、最值，考查存在性问题的解法，注意运用分类讨论的思想方法和数形结合的思想，考查运算能力，属于中档题．
【选修4-1：几何证明选讲】
22．（10分）（2015秋•广东月考）如图，已知AB是圆O的直径，直线CD与圆O相切于点C，AC平分∠DAB，AD与圆O相交于点E
（1）求证：AD⊥CD
（2）若AE=3，CD=2，求OC的长．
【分析】（1）连接BC．由直线CD与⊙O相切于点C，可得∠DCA=∠B．再利用角平分线的性质可得：△ACD∽△ABC，可得∠ADC=∠ACB，即可证明．
（2）利用切割线定理得：DA．由（1）知：AD⊥CD，可得AC，又由（1）知：△ACD∽△ABC，，
JK DC．
【解答】（1）证明：连接BC．
∵直线CD与⊙O相切于点C，
∴∠DCA=∠B．
∵AC平分∠DAB，
∴∠DAC=∠CAB．
故△ACD∽△ABC，∴∠ADC=∠ACB．
∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°．
∴∠ADC=90°，即AD⊥CD．
（2）解：由切割线定理得：DA×DE=DC2，即DA×（DA﹣3）=4，
解得：DA=4．
由（1）知：AD⊥CD，∴AC2=AD2+CD2=20，
又由（1）知：△ACD∽△ABC，∴，
∴AB==5．∴OC==．
【点评】本题考查了圆的切线的性质、切割线定理、相似三角形的判定与性质定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
【选修4-4：坐标系与参数方程】
23．（2015秋•广东月考）在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程（t为参数），以坐标原点
为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为：ρ=4sinθ
（1）直线l的参数方程化为极坐标方程；
（2）求直线l与曲线C交点的极坐标（ρ≥0，0≤θ＜2π）
【分析】（1）直线l的参数方程化为普通方程，将x=ρcosθ，y=ρsinθ代入化为极坐标方程；
（2）求出曲线C的化为普通方程，与直线方程联立，求得直角坐标方程，再求直线l与曲线C交点的极坐标．
【解答】解：（1）将直线l的参数方程（t为参数），消去参数t，
化为普通方程：x﹣y+2=0；…（2分）
将x=ρcosθ，y=ρsinθ代入上述方程得：ρcosθ﹣ρsinθ+2=0．…（4分）
（2）将曲线C的化为普通方程得：x2+y2﹣4y=0．…（6分）
由直线与圆方程联立解得：或…（8分）
所以直线l与曲线C交点的极坐标分别为：（2，），（2，）．…（10分）
【点评】本题考查参数方程与普通方程，极坐标方程与直角坐标方程的互化，考查学生的计算能力，属于中档题．
【选修4-5：不等式选讲】
24．（2015秋•广东月考）设函数f（x）=|x﹣2|﹣|x+1|﹣1，g=﹣x+a．
（1）求不等式f（x）≥0的解集；
（2）若方程f（x）=g（x）有三个不同的解，求a的取值范围．
【分析】（1）化简函数的解析式，分类讨论求得x的取值范围．
（2）分类讨论求得方程f（x）=g（x）的解集，结合x的范围，求得对应的a的范围．
【解答】解：（1）函数f（x）=|x﹣2|﹣|x+1|﹣1=，
当x≥2时，f（x）=﹣4，不合题意；
当﹣1≤x＜2时，f（x）=﹣2x≥0，解得﹣1≤x≤0；
当x＜﹣1时，f（x）=2＞0，符合题意．
综上，f（x）≥0的解集为（﹣∞，0]．
（2）当x≥2时，方程f（x）=g（x），即﹣4=﹣x+a，解得：x=a+4；
当﹣1≤x＜2 时，方程f（x）=g（x），即﹣2x=﹣x+a，解得：x=﹣a；
当x＜﹣1时，方程f（x）=g（x），即2=﹣x+a，解得：x=a﹣2．
使方程方程f（x）=g（x）有三个不同的解，则，解得：﹣2＜a＜1．
所以a的取值范围是（﹣2，1）．
【点评】本题主要考查带有绝对值的函数，绝对值不等式的解法，求方程的解，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于中档题．。