人教版(B版)高中数学选择性必修第1册 40 抛物线的标准方程
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离 p 以及焦点的位置确定的. 如不特别声明，以后总认为抛
物线有相应的 p （p >0）值，而且以后谈到抛物线的标准方
程时，总是指①②③④这四种形式之一，具体如下：
= ①； = −
=
③；
②；
= −
④.
例1 分别根据下列条件，求抛物线的标准方程和准线方程：
到抛物线的方程为 = −.
②
通常称②为焦点在 x 轴负半轴上的抛物线的标
准方程 .
类似地，如果按照图（2）的方式建立平面直角
坐标系，则抛物线的焦点为
=
−
，
，准线为
；只要将①中的 x 与 y 互换即可得到抛
物线的方程为 = .
③
通常称③为焦点在 y 轴正半轴上的抛物线的标
例1 分别根据下列条件，求抛物线的标准方程和准线方程：
（2）抛物线的焦点是 −， .
解 （2）因为抛物线的焦点是 −， ，所以抛物线的标准
方程具有 = − 的形式，而且
抛物线的标准方程是.
准线方程为. =
6
3
=，因此
= ，从而所求
= −
例2 已知平面直角坐标系中，动点 M 到 ， − 的距离
l 称为抛物线的准线.
2. 抛物线的标准方程：
由焦点到准线的距离 p 以及焦点的位置确定的. 以后谈到抛
物线的标准方程时，总是指①②③④这四种形式之一，具体
如下： = ①； = −②；
= ③；
= −
④.
人教B版课本153页练习A 第2题
人教B版课本154页练习 B 第5题
例2 已知平面直角坐标系中，动点 M 到 ， − 的距离
比 M 到 x 轴的距离大 2，求 M 的轨迹方程，并在平面直角坐
y
标系中作出轨迹曲线.
解 设 M 坐标是 ， ，则根据题意可知
+ ( +
) =
+ ，化简得 = ( − ).
。
O
当 > 时，方程可变为 = 0，这表示的是端点在原点、方
是一种圆锥曲线.
尝试与发现
怎样从数学上证明满足抛物线定义的点一定是存在的？
这样的点有多少个？你能想到什么办法来解决这两个问题？
同椭圆、双曲线的情形一样，下面我们用坐标法来探讨
尝试与发现中的问题，并求出抛物线的标准方程.
为了方便，过抛物线的焦点 F 作准线l 的
垂线，记垂足为K ，设 = （即 F 到准
椭圆或双曲线的定义呢？
本节课我们要探讨的就是抛物线的定义及其标准方程.
一般地，设 F 是平面内的一个定点，l 是不过点 F
的一条定直线，则平面上到 F 的距离与到 l 的距离相等
的点的轨迹称为抛物线，其中定点 F 称为抛物线的焦点，
定直线 l 称为抛物线的准线. 另外，从本章导语中可以看
出，抛物线也可以通过用平面截圆锥面得到，因此抛物线
（1）抛物线的焦点到准线的距离是 3 ，而且焦点在 x 轴的正
半轴上；
解 （1）根据题意可知，抛物线的标准方程具有 = 的
=
3
形式，而且 =，因此所求标准方程为. 准线方程为.
=−
求抛物线的标准方程的一般步骤：
第一步：根据已知条件确定抛物线的标准方程的形式；
第二步：根据已知条件求出抛物线相应的 p （ p >0）值.
谢谢
= ( − ).
当 ≤ 时，方程可变为 = −8，这表示的是焦
点为 ， − 的抛物线，如图所示.
。
O
.F
x
1. 抛物线的定义：
一般地，设 F 是平面内的一个定点，l 是不过点 F 的
一条定直线，则平面上到 F 的距离与到 l 的距离相等的点
的轨迹称为抛物线，其中定点 F 称为抛物线的焦点，定直线
线 l 的距离为 ），因为直线 l 不过点 F，所
以 >0.
l
.
.
K
F
如图，以直线 KF 为 x 轴，线段 KF 的垂
直平分线为 y 轴建立平面直角坐标系. 此时，
抛物线的焦点为
，
，准线为 =
− .
设 M(x，y)是抛物线上一点，则 M 到 F的
距离为 =
的距离为 +
.M
.
.
K O F x
l
尝试与发现
如果建立的平面直角坐标系分别如图（1）（2）（3）所
示，其他不变，则抛物线的焦点坐标和准线方程有变化吗？
此时能否通过①式得到抛物线的标准方程具有的形式呢？
可以看出，如果按照图（1）的方式建立平面直
角坐标系，则抛物线的焦点为
− ，
，准
线为 = ；只要将①中的 x 变为－x 即可得
向为 轴正方向的射线，且不包括端点，如图所示；
x
例2 已知平面直角坐标系中，动点 M 到 ， − 的距离
比 M 到 x 轴的距离大 2，求 M 的轨迹方程，并在平面直角坐
y
标系中作出轨迹曲线.
解 设 M 坐标是 ， ，则根据题意可知
+ ( +
) =
+ ，化简得
−
，所以
+ ， M 到直线 l
y
.M
.
.
K O F x
l
−
+
= + .来自上式两边平方，整理可得 = .
y
①
方程①就是抛物线的方程，通常称为焦点在 x
轴正半轴上的抛物线的标准方程. 显然，满足
方程①的点的坐标有无穷多组，这无穷多组解
对应的点组成的抛物线如图所示.
准方程 .
如果按照图（3）的方式建立平面直角坐标
系，则抛物线的焦点为 ，
−
，准线为
= ；只要将①中的 x 变为－ y 且 y 变为 － x
即可得到抛物线的方程为 = −.
④通
常称④为焦点在 y 轴负半轴上的抛物线的标准
方程 .
抛物线的标准方程
由上可以看到，抛物线的标准方程是由焦点到准线的距
比 M 到 x 轴的距离大 2，求 M 的轨迹方程，并在平面直角坐
标系中作出轨迹曲线.
分析：求动点 M 轨迹方程的一般步骤：
（1）设动点 M 的坐标为 ， （如果没有平面直角坐标系，
需先建系）；
（2）写出动点 M 要满足的几何条件，并将该几何条件用 M
的坐标表示出来；
（3）化简并检验所得方程是否为 M 的轨迹方程.
抛物线的标准方程
高二年级 数学
知识概要
一、抛物线的定义
二、抛物线的标准方程
三、抛物线的定义与标准方程的应用
四、课堂小结
情境与问题
抛物线这个几何对象，我们并不陌生.
例如，从物理学中我们知道，一个向上斜抛的乒乓
球，其运动轨迹是抛物线的一部分，如图所示；
二次函数的图像是一条抛物线；等等.
到底什么是抛物线呢？抛物线有没有一个类似于圆、
物线有相应的 p （p >0）值，而且以后谈到抛物线的标准方
程时，总是指①②③④这四种形式之一，具体如下：
= ①； = −
=
③；
②；
= −
④.
例1 分别根据下列条件，求抛物线的标准方程和准线方程：
到抛物线的方程为 = −.
②
通常称②为焦点在 x 轴负半轴上的抛物线的标
准方程 .
类似地，如果按照图（2）的方式建立平面直角
坐标系，则抛物线的焦点为
=
−
，
，准线为
；只要将①中的 x 与 y 互换即可得到抛
物线的方程为 = .
③
通常称③为焦点在 y 轴正半轴上的抛物线的标
例1 分别根据下列条件，求抛物线的标准方程和准线方程：
（2）抛物线的焦点是 −， .
解 （2）因为抛物线的焦点是 −， ，所以抛物线的标准
方程具有 = − 的形式，而且
抛物线的标准方程是.
准线方程为. =
6
3
=，因此
= ，从而所求
= −
例2 已知平面直角坐标系中，动点 M 到 ， − 的距离
l 称为抛物线的准线.
2. 抛物线的标准方程：
由焦点到准线的距离 p 以及焦点的位置确定的. 以后谈到抛
物线的标准方程时，总是指①②③④这四种形式之一，具体
如下： = ①； = −②；
= ③；
= −
④.
人教B版课本153页练习A 第2题
人教B版课本154页练习 B 第5题
例2 已知平面直角坐标系中，动点 M 到 ， − 的距离
比 M 到 x 轴的距离大 2，求 M 的轨迹方程，并在平面直角坐
y
标系中作出轨迹曲线.
解 设 M 坐标是 ， ，则根据题意可知
+ ( +
) =
+ ，化简得 = ( − ).
。
O
当 > 时，方程可变为 = 0，这表示的是端点在原点、方
是一种圆锥曲线.
尝试与发现
怎样从数学上证明满足抛物线定义的点一定是存在的？
这样的点有多少个？你能想到什么办法来解决这两个问题？
同椭圆、双曲线的情形一样，下面我们用坐标法来探讨
尝试与发现中的问题，并求出抛物线的标准方程.
为了方便，过抛物线的焦点 F 作准线l 的
垂线，记垂足为K ，设 = （即 F 到准
椭圆或双曲线的定义呢？
本节课我们要探讨的就是抛物线的定义及其标准方程.
一般地，设 F 是平面内的一个定点，l 是不过点 F
的一条定直线，则平面上到 F 的距离与到 l 的距离相等
的点的轨迹称为抛物线，其中定点 F 称为抛物线的焦点，
定直线 l 称为抛物线的准线. 另外，从本章导语中可以看
出，抛物线也可以通过用平面截圆锥面得到，因此抛物线
（1）抛物线的焦点到准线的距离是 3 ，而且焦点在 x 轴的正
半轴上；
解 （1）根据题意可知，抛物线的标准方程具有 = 的
=
3
形式，而且 =，因此所求标准方程为. 准线方程为.
=−
求抛物线的标准方程的一般步骤：
第一步：根据已知条件确定抛物线的标准方程的形式；
第二步：根据已知条件求出抛物线相应的 p （ p >0）值.
谢谢
= ( − ).
当 ≤ 时，方程可变为 = −8，这表示的是焦
点为 ， − 的抛物线，如图所示.
。
O
.F
x
1. 抛物线的定义：
一般地，设 F 是平面内的一个定点，l 是不过点 F 的
一条定直线，则平面上到 F 的距离与到 l 的距离相等的点
的轨迹称为抛物线，其中定点 F 称为抛物线的焦点，定直线
线 l 的距离为 ），因为直线 l 不过点 F，所
以 >0.
l
.
.
K
F
如图，以直线 KF 为 x 轴，线段 KF 的垂
直平分线为 y 轴建立平面直角坐标系. 此时，
抛物线的焦点为
，
，准线为 =
− .
设 M(x，y)是抛物线上一点，则 M 到 F的
距离为 =
的距离为 +
.M
.
.
K O F x
l
尝试与发现
如果建立的平面直角坐标系分别如图（1）（2）（3）所
示，其他不变，则抛物线的焦点坐标和准线方程有变化吗？
此时能否通过①式得到抛物线的标准方程具有的形式呢？
可以看出，如果按照图（1）的方式建立平面直
角坐标系，则抛物线的焦点为
− ，
，准
线为 = ；只要将①中的 x 变为－x 即可得
向为 轴正方向的射线，且不包括端点，如图所示；
x
例2 已知平面直角坐标系中，动点 M 到 ， − 的距离
比 M 到 x 轴的距离大 2，求 M 的轨迹方程，并在平面直角坐
y
标系中作出轨迹曲线.
解 设 M 坐标是 ， ，则根据题意可知
+ ( +
) =
+ ，化简得
−
，所以
+ ， M 到直线 l
y
.M
.
.
K O F x
l
−
+
= + .来自上式两边平方，整理可得 = .
y
①
方程①就是抛物线的方程，通常称为焦点在 x
轴正半轴上的抛物线的标准方程. 显然，满足
方程①的点的坐标有无穷多组，这无穷多组解
对应的点组成的抛物线如图所示.
准方程 .
如果按照图（3）的方式建立平面直角坐标
系，则抛物线的焦点为 ，
−
，准线为
= ；只要将①中的 x 变为－ y 且 y 变为 － x
即可得到抛物线的方程为 = −.
④通
常称④为焦点在 y 轴负半轴上的抛物线的标准
方程 .
抛物线的标准方程
由上可以看到，抛物线的标准方程是由焦点到准线的距
比 M 到 x 轴的距离大 2，求 M 的轨迹方程，并在平面直角坐
标系中作出轨迹曲线.
分析：求动点 M 轨迹方程的一般步骤：
（1）设动点 M 的坐标为 ， （如果没有平面直角坐标系，
需先建系）；
（2）写出动点 M 要满足的几何条件，并将该几何条件用 M
的坐标表示出来；
（3）化简并检验所得方程是否为 M 的轨迹方程.
抛物线的标准方程
高二年级 数学
知识概要
一、抛物线的定义
二、抛物线的标准方程
三、抛物线的定义与标准方程的应用
四、课堂小结
情境与问题
抛物线这个几何对象，我们并不陌生.
例如，从物理学中我们知道，一个向上斜抛的乒乓
球，其运动轨迹是抛物线的一部分，如图所示；
二次函数的图像是一条抛物线；等等.
到底什么是抛物线呢？抛物线有没有一个类似于圆、