数学建模长江水质污染分析及预测

长江水质状况分析
摘要
本文通过对长江水质污染设立评价指标，成功地对过去长江水质情况做出了评价，并分析了各地区的水污染状况。

在此基础上，对未来十年长江水质污染趋势做出了大胆的预测，给出了令人堪忧的结果，最后对长江水质污染的治理提出了几点可行的建议。

第一问，采用线性加权平均法，给出了长江水质的评价指标，得到了长江水质不断恶化，且以江西南昌滁槎最为严重的结论。

第二问，通过建 立微分方程模型建立污染物浓度关于距离的模型，解出七个检测点的排污值，然后对图表进行分析，得到结果为：
第三问，我们首先根据长江水质变化的趋势，结合第四问，将六类水进行重新归类（I ，II ，III 为饮用水，IV ，V 为第二类，劣V 为第三类），通过数据拟合的办法，对未来十年三类水的百分比进行了近似预测。

得到结果为未来十年Ⅳ类和Ⅴ类劣Ⅴ类水之和占百分比为：
其次，我们还使用线性回归模型对第三问重新做出了分析。

第四问，我们分别根据第三问的方法，进一步考虑，得到了满足条件下未来十年每年需要处理的废水量
仍然对第四问用了灰色预测模型和线性回归模型进行分析求解。

第五问，结合前面四问的研究结果，对长江水质污染的现状给出了合理可行的建议。

关键词：长江水质污染线性加权平均法微分方程模型线性回归模型
一、问题提出
长江乃中国的第一大江，流淌了千万年，哺乳了无数中华儿女。

她在我们心目中早已成一种精神寄托。

伴随着中国经济高速的发展，长江水质受到了日益严重的挑战。

水质严重恶化，危及沿江许多城市的饮用水，癌症肆虐沿江城乡；物种受到威胁，珍稀水生物日益灭绝。

若不采取措施解决污染问题，长江将重蹈淮河覆辙，最终受害的人是整个长江流域的百姓。

对此，有必要对长江水质污染状况作研究分析。

本文要解决五个问题。

一是根据已有数据对长江近两年的水质情况作出定量的综合评价，并分析各地水质的污染状况。

二是研究分析长江干流近一年主要污染物污染源在哪些地区。

三是依据现在的情况，预测未来长江的污染趋势。

四是求出每年要处理多少污水才能保证Ⅳ类和Ⅴ类水比例在20%以内，且没有劣Ⅴ类水。

五是给出解决长江水质污染问题切实可行的计划。

二、基本假设
假设1：长江自然进化能力均匀，不随时间和空间变化。

假设2：地表水环境的四个指标（PH值，溶解氧，高锰酸盐，氨氮）相互独立假设3：所给的数据是真实情况的反映
三、符号说明
w溶解氧，高锰酸盐，氨氮指标的权重
i
T综合评价模型的评价值
L废水的排放量
四、问题分析
水是生命之源，长江的水质状况更与我们的生产生活密切相关。

对长江水质的评价和预测有利于我们了解长江的污染状况，帮助我们采取切实有效的措施进行综合治理。

五、模型的建立与求解
5.1问题一模型建立与求解
5.1.1问题一的分析
问题一要求对长江两年多的水质情况做出定理的综合评价，首先我们假设地表水环境质量的四项指标（溶解氧，高锰酸盐，氨氮，PH值）之间是相互独立的，于是我们可以采用线性加权平均法来作为评价指标。

其次，通过分析各地区28个月的水质检验报告，得到四项质量指标的平均值，再计算各指标之间的权重，最后，将两者的乘积进行线性求和，得到各地区28个月水质情况的综合评价。

5.1.2问题一模型的建立
由附件3的表格，我们可以计算出17个监测点28个月各项指标的平均值，其结果如表一：
表一
下面我们计算各项指标的权重，由附录三看到，PH值对质量分类的影响较小，于是我们设置其权重为0.1其他各项共占0.9.我们研究其他三项指标的权重，分析每项指标对质量分类的影响，及在该项指标的值属于某一类的情况下，其质量分类也属于该类的情况，通过matlab编程，我们计算出476个监测点中三类指标对质量分类的影响情况，如表二：
表 二
为了方便统计各项指标的值属于哪个分类，我们给出了指标值与质量分类的连续性函数：
17.5
1
7.530257.515
: 2.535
26
3
231202x x x x y x x
x x x x
⎧+≥⎪⎪
⎪-≤<⎪⎪⎪=+≤<⎨⎪⎪+≤<⎪⎪
⎪≤<⎪⎩溶解氧 21
22222424346y =2
6
4610410
5101550.415x
x x x x x x x x x x
x ⎧+≤⎪⎪
-⎪+<≤⎪⎪-⎪+<≤⎪
⎨⎪-+<≤⎪⎪⎪-+<≤⎪⎪
>⎪⎩高锰酸盐：
31
0.150.150.1520.150.50.350.530.5 1.0y 0.5
1
4 1.0 1.50.51.5
5 1.5 2.00.5
3 2.0x x x x x x x x x x x x ⎧
+≤⎪⎪
-⎪+<≤⎪⎪
-⎪+≤<⎪
=⎨⎪-+≤<⎪
⎪⎪-+≤<⎪
⎪>⎪⎩
氨氮： 4|x-7.5|
y =10.3
PH +值：
于是我们得到综合评价模型：
3
41
0.10.9i i i T y w y ==⨯+⨯∑
其中i w 表示溶解氧，高锰酸盐，氨氮对质量分类的权重，y 表示每项指标监测值的平均数。

5.1.3问题一模型的求解
我们通过matlab 编程得到17个监测站的评价指数，对其分别取整得到质量分类如表三：
表三
5.1.4问题一结果的分析
由上表我们知道长江水质存在明显的恶化现象，大部分地区的质量分类都为Ⅱ类 四川乐山岷江大桥地区为Ⅲ类，江西南昌滁槎 甚至达到了劣V 。

而江西南昌滁槎
只是鄱阳湖入口，水质污染不仅严重影响了当地居民生活，也给鄱阳湖的水产以及旅游带来很大的危害，所以保护长江刻不容缓。

5.2问题二模型建立与求解
5.2.1问题二的分析
问题二是要找到近一年多长江干流污染物高锰酸盐和氨氮的污染源。

整个长江干流都有此污染的排放，有些地方排放的特别多。

这些排放较多的地方就是污染源。

问题就在于如何设定一个数据作为污染源的指标。

我们根据干流七个监测点水质监测数据，近似获得整个干流的此类污染物的含量分布图。

然后把整个干流污染物含量的平均值作为判断是否是污染源的临界值。

通过各地监测值与临界值的比较得到污染源所在地。

5.2.2问题二模型的建立
污染物在水中有三个运动：1.随河水的迁移 2.分散作用（包括分子扩散，
湍流扩散，弥散） 3.污染物的衰减。

我们认为长江水只在一维方向迁移（即x 方向），假设不存在分散作用，他对于污染物在x 方向上扩散的影响相对于河水迁移运动非常小，可以忽略不计据此建立偏微分方程
0C C
u k C t x
∂∂++=∂∂ （5..2.2—1式） 其中k 为污染物的降解系数本文取0.2
初始条件：00(0)t C x ==> 边界条件：0x 0(0)C C t ==> lim (,)0(0)x C x t t →∞
=>
我们假设长江处于稳态，即排污处持续地排等量的污水，长江各个地方的断面、流速、流量不随时间变化。

则有0C t ∂=∂，此时（5..2.2—1式）变为 0C
u kC x
∂+=∂
（5..2.2—2式）
此方程的通解为 ： x C Ae λ= 得k
u
λ=-对于x>0,带入边界条件00,x C C ==，所以0A C = 即k
u
0x C C e
-= （5..2.2—3式） k 的单位为：1/天，u 的单位为：
m/s ，我们化u 单位为km/天，则k u =0.2*100024*60*60*u =1432u
下面来求流速u
我们对七个观测点从04年4月到05年4月的流速进行了统计，得到各地的平均流速。

七个监测点之间共有六个分段，我们近似认为分段的流速是一个定值，为
段端点流速的平均值。

七个监测点和六个分段的流速如下表：
把六段流速带入5..2.2—3式，得到六个分段方程：
0.0009110.0016220.0024330.0021440.0019550.001766C=C C C=C C C=C C C=C C C=C C C=C C x x x x x x e e e
e e e ------⎧⎪⎪
⎪⎪⎨⎪
⎪⎪⎪⎩
为第一监测点污染物的浓度为第二监测点污染物的浓度为第三监测点污染物的浓度为第四监测点污染物的浓度为第五监测点污染物的浓度为第六监测点污染物的浓度
记为（5..2.2—4式）
各个监测点的排污=监测值-上游扩散值，即：
1*1i d x i i i P C C e --=- （5..2.2—5式） （i 取2到7）
i P 表示第i 个监
测点的排污，i d 表示（5..2.2—4式）中函数指数部分的系数，例如2d 表示 -0.0016。

5.2.3问题二模型的求解
由5..2.2—5式，得5..2.2—6式：
0.0009221C x P C e -=-
0.0016332C x P C e -=- 0.0024443C x P C e -=-
0.0021554C x P C e -=-
0.0019665C x P C e -=- 0.0017776C x P C e -=-
根据5..2.2—6式，带入距离x 值，得到各地CODMn ，NH3-N 浓度的突变值（由当
重庆朱沱（x取950） 1.0621 0.2539
湖北宜昌南津关（x取1728） 2.2762 0.1685
湖南岳阳城陵矶（x取2123） 2.6697 0.2277
江西九江河西水厂（x取2623） 1.1037 0.0448
安徽安庆皖河口（x取2787）0.8017 0.0056
江苏南京林山（x取3251）0.9207 0.0720
5.2.4问题二结果的评价
CODMn主要污染源为：湖北宜昌南津关湖南岳阳城陵矶NH3-N污染源主要为：重庆朱沱湖北宜昌南津关湖南岳阳城陵矶
5.3问题三模型建立与求解
5.3.1问题三的分析：
问题三要求我们根据过去十年的主要统计数据，对长江未来水质的发展趋势做出预测分析，我们主要通过数据拟合的办法解答。

首先我们假设长江的总流量是不变的。

长江水质的污染程度主要取决于废水排放总量。

于是我们用matlab对过去十年的废水排放总量进行拟合，横坐标为年份，纵坐标为废水排放量，得到如下曲线：
该曲线的函数表达式为：
2
L x x x
=-+
()0.835233327.21023313721.864
其中X表示年份，L表示废水的排放量
于是便可预测未来十年废水的排放量，如表
年份2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 311 334 358 385 413 442 473 506 541 577 废水排
放量
根据经验，我们发现污水的排放量越大，I，II，III类水的百分比越小，而IV，V，劣V类水的百分比越大，为了第四问解决问题的方便，我们将I，II，III类水划分为一类，IV，V类水划分为一类，劣V单独一类。

然后以过去十年污水排放为横坐标，各类用水的百分比为纵坐标，分别拟合出水文年全流域和干流的曲线图，其结果如下图：
全流域I，II，III类水所占百分比随废水排放量的变化曲线：
我们得到拟合后的函数表达式为：
=-+
B L
0.001558 1.14
其中L表示废水排放总量，B表示该类水所占百分比。

全流域IV，V类水所占百分比随废水排放量的变化曲线
其函数表达式为：
10.04214log(170)0.01714B L =-+
所以劣V 类水的百分比为；
211B B B =--
我们将未来十年的废水排放量代入三个函数表达式，得到未来十年各类水的百分比，其结果如表：
同理：我们拟合出干流的情况：三个分类的拟合图像见附录，这里只给出三类情况的函数表达式： I ，II ，III 类水：
252.7
106.9B L =
+
IV ，V 类水：
10.04887log(170)0.017B x =-+
劣V 类水：
211B B B =--
由此可以给出未来十年长江干流三类水各自的百分比，如表：
由上缅甸两张未来十年的预测表，我们可以看到I，II，III类水所占比重呈逐年递减的趋势，而IV，V,劣V类水所占比重呈逐年上升的趋势，到2014年，长江总流域IV，V类水的总量超过27%，劣V类将近一半，这实在令人震惊，如果不赶紧采取防治措施，后果将不堪设想。

5.5问题四
问题四讨论的是未来十年内每年都要求长江干流的IV，V类水的比例控制在20%以内，且没有V类水所要处理的污水总量。

我们可以根据问题三中对长江干流拟合的废水总量与百分比的函数，找出满足百分比条件下的最大废水排放量，所要处理的污水即为实际排放污水与最大排放污水之差。

通过计算我们得到了用函数拟合长江干流过去十年各类水所在比重的分布表：
由上表，我们知道2009年为满足条件的极限年份，最大污水排放量为209亿吨，从而可以得到未来十年每年需要处理的污水总量，如表：
5.5 问题五的解答
问题五要求针对目前长江水质污染的形势，给出切实可行的建议，我们根据上述的建模和研究给出了如下建议：
一、加大水污染严重地区的治理惩罚力度，针对第一问的求解，我们发现江西南昌滁槎
等地的水污染及其严重，说明民众及其缺乏对长江水质污染严重性的意识，所以采取治理处罚并举的措施有助于阻制其进一步恶化
二、先处理后排放，我们通过问题二的研究发现污染源不仅对本地区造成影响外，还会因为其本身的降解速度小于传播速度，从而对下游的地区造成影响，所以采取先处理，使其达到可排放标准后在排放，有利于减少水质污染
三、引进先进的污水处理技术，提高污水处理效率、从三四两问的研究可以看出，如果不及时处理污水，十年后长江的水质污染将不堪设想，而需要处理污水的量又是相当大的，所以先进的污水处理技术是关键。

四、加大宣传力度，提高人们保护长江水质的意识。

通过以上研究我们发现长江水质关乎人民，通过对附件一、二的阅读，我们充分意识到水污染对人类的危害，但仅仅凭这一点是不够的，只有我们所有人团结一致，共同努力，从自身做起，才能使长江水质免遭浩劫，还大自然一片清澈的碧波。

六、模型的评价与推广
6.1 模型的评价
6.1.1模型的优点
1．采用线性加权平均法的评价模型，对长江水质污染给出了合理的评价。

2．微分方程模型动态地展现了水质随时间变化的过程，结果准确
3．采用数据拟合与线性回归模型相结合的方法，数形结合，便于结果的预测。

61.2模型的缺点
1．忽略了每年长江总流量的变化，使三类水的百分比产生误差
2. 只研究了水文年总流域和干流的水质分类情况，而忽略了枯水年和丰水年的状况，对干流的水质情况也没有交代
6.2 模型的推广
1. 线性加权平均法的评价模型，可适用于条件相互独立的决策的评价。

2．微分方程模型适用于各类流体传播的数学分析
七、参考文献
【1】韩中庚数学建模方法及其应用高等教育出版社2009年6月
八、附录
8.1附录清单
附录一：评价指标的matlab程序
附录二：干流两类水质的拟合曲线
8.2附录正文
1.
p=[8.256 7.912 7.75 7.817 7.424 7.39 7.65 7.49 8.07 7.67 7.88 7.08 7.73 7.94 7.11 7.62 7.68] %17个地区pH值的数据
x=[9.154 8.9303 8.51 8.6832 7.753 7.46 7.491 5.5585 8.976 6.865 9.29 7.11 8.315 7.4214 5.698 7.910 8.1378];%17个地区溶解氧的数据
y=[2.432 2.0964 2.88 3.7857 2.4285 2.58 2.093 5.2428 2.7357 3.339 1.95 2.4857 4.1928 3.325 2.3239 3.7428 3.021];%17个地区高锰酸盐的数据
z=[0.18285 0.3317 0.264 0.33 0.1603 0.23 0.12785 0.9242 0.430 0.81178 0.92 0.9146 0.3857 0.1975 4.633 0.2864 0.281];%17个地区氨氮的数据
for i=1:1:17
h(i)=abs((p(i)-7.5)/0.3)+1;
if x(i)>=7.5
f(i)=7.5/x(i)+1;
else if x(i)<7.5&x(i)>=5
f(i)=30/x(i)-2;
else if x(i)<5&x(i)>=3
f(i)=15/(2*x(i))+2.5;
else if x(i)<3&x(i)>=2
f(i)=6/x(i)+3;
else
f(i)=12/x(i);
end
end
end
end
if y(i)<=2
h(i)=1+y(i)/2;
else if y(i)>2&y(i)<=4
h(i)=2+(y(i)-2)/2;
else if y(i)>4&y(i)<=6
h(i)=3+(y(i)-4)/2;
else if y(i)>6&y(i)<=10
h(i)=4+(y(i)-6)/4;
else if y(i)>10&y(i)<15
h(i)=5+(y(i)-10)/5;
else
h(i)=0.4*y(i);
end
end
end
end
end
if z(i)<=0.15
j(i)=1+z(i)/0.15;
else if z(i)>0.15&z(i)<=0.5
j(i)=2+(z(i)-0.15)/0.35;
else if z(i)>0.4&z(i)<=1
j(i)=3+(z(i)-0.5)/0.5;
else if z(i)>1&z(i)<=1.5
j(i)=4+(z(i)-1)/0.5;
else if z(i)>1.5&z(i)<2
j(i)=5+(z(i)-10)/0.5;
else
j(i)=3*z(i);
end
end
end
end
end
t(i)=fix((0.228*f(i)+0.382*h(i)+0.39*j(i))*0.9+0.1*h(i));%评价的最终结果end
2
干流I，II，III类水的拟合曲线
干流IV，V类拟合曲线
问题二附录
（注：可编辑下载，若有不当之处，请指正，谢谢!）。