线线平行、线面平行、面面平行讲义-2023学年高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册

线线平行、线面平行、面面平行
证明线线平行的方法： 1. 平行四边形的对边 2. 同位角相等 3. 同旁内角互补 4. 内错角相等 5. 三角形中位线 6. 梯形中位线 7. 梯形两底边
8. 平行于同一条直线（基本事实4平行的传递性） 9. 垂直于同一条直线 10. 分线段对应成比例 11. 线面平行的性质定理 12.
面面平行的性质定理
线线平行
面面平行
线面平行
13. 垂直于同一个平面（线面垂直的性质定理）
证明线面平行的步骤：
找：在平面内找到或作出一条与已知直线平行的直线 证：证明与已知直线平行 结论：由判定定理得出结论 证明面面平行的方法： 定义法： 1. 无公共点 2. 判定定理 3. 转化为线线平行 4. 平行平面传递性
空间等角定理
文字语言
如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补
图形语言
作用
判断或证明两个角相等或互补
例1.如图所示，在空间四边形ABCD(不共面的四边形称为空间四边形)中，E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA的中点.
(1)求证：四边形EFGH是平行四边形；
(2)如果AC＝BD，求证：四边形EFGH是菱形.
变式.如图，已知在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是棱CD，AD的中点.
(1)求证：四边形MNA1C1是梯形；
(2)求证：∠DNM＝∠D1A1C1.
例2.如图，在斜三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，CA ＝CB ，D ，E 分别是AB ，B 1C 的中点.
求证：DE ∥平面ACC 1A 1.
变式1.如图，S 是平行四边形ABCD 所在平面外一点，M ，N 分别是SA ，BD 上的点，且AM SM ＝DN NB .
求证：MN ∥平面SBC .
变式2.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，点E为AD的中点，点F在CD上，若EF∥平面AB1C，求线段EF的长度.
变式3.如图所示，P为矩形ABCD所在平面外一点，矩形对角线交点为O，M为PB的中点，下列结论正确的个数为（）
①//
OM平面PCD
OM平面PBC②//
③//
OM平面PDA ④//
OM平面PBA
A．1个B．2个C．3个D．4个
例3.已知在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M是AA1的中点，N是BB1的中点.求证：平面MDB1∥平面ANC.
例4.如图，已知平面α∥平面β，点P是平面α，β外的一点(不在α与β之间)，直线PB，PD分别与α，β相交于点A，B和C，D.
(1)求证：AC∥BD；
(2)已知P A＝4，AB＝5，PC＝3，求PD的长.
练习
1.如图是正方体的平面展开图．关于这个正方体，以下判断不正确的是（）
A．BM DE
CN平面AFB
∥B．//
C．ED与NF所成的角为60︒D．EN BC
∥
2.如图所示，D，E，F分别为三棱锥S­ABC的棱SA，SB，SC的中点，则下列说法错误的是（）
A．DE//平面ABC B．EF//平面ABC
C．平面DEF//平面ABC D．SA//BC
3.在正方体1111
-中，过11,,
ABCD A B C D
A C B三点的平面与底面ABCD的交线为l，则直线l与11
A C的位置关系为______.（填“平行”“相交”或“异面”）
4.如图，在棱长为1的正方体ABCD­A1B1C1D1中，M，N分别是A1D1，A1B1的中点，过直线BD的平面α∥平面AMN，则平面α截该正方体所得截面的面积为（）
A．2B．9
8
C．3D．6
2
5.如图，三棱锥P ABC
-中，M是PC的中点，E是AM的中点，点F在线段PB上，满足//
EF平面ABC，则
BF FP=_______．
:
6.如图，在四棱锥P ABCD
-中，底面ABCD为平行四边形，M是PC的中点，在DM上取一点G，过点G和AP作平面，交平面BDM于GH，点H在线段BD上.求证：//
AP GH.
7.在正方体1111ABCD A B C D -中，,,M N E 分别是11,,AB DD AA 的中点．
(1)
证明：平面//MNE 平面1BCD ；(2)求直线MN 与1D C 所成角的正切值．
8.已知正方体1111ABCD A B C D -中，P ､Q 分别为对角线BD ､1
CD 上的点，且
12
3CQ BP QD PD ==
．
（1）求证：//PQ 平面11A D DA ；
（2）若R 是AB 上的点，AR
AB 的值为多少时，能使平面//PQR 平面11A D DA ？请给出证明．
9.如图，在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 为等腰梯形，//AD BC ，
22
DA
AB BC CD ===
=，M 为PC 上一点，且2PM MC =．
(1)求证：//PA 平面DMB ；
(2)若PAD △为正三角形，PC PD =，求异面直线PC 与AB 所成角的余弦值；
(3)若点P 到底面ABCD 的距离为3，求三棱锥P DMB -的体积．
10.查①②两个命题，①//m l m α⊂⎫
⎪
⎬⎪⎭ ⇒l ∥α;②////l m m α⎫⎪⎬⎪⎭
⇒l ∥α.，它们都缺少同
一个条件，补上这个条件就可以使其构成真命题(其中l ，m 为直线，α为平面)，则此条件为_____.
11。