2020-2021学年高一数学单元知识梳理：三角函数

2020-2021 学年高一数学单元知识梳理：三角函数1．在任意角和弧度制的学习中，要区分开角的各种定义，如：锐角一定是第一象限角，而第一象限角不全是锐角，概念要搞清；角度制和弧度制表示角不能混用，如：α＝2kπ ＋30°，k∈Z，这种表
示法不正确． 2．任意角的三角函数，首先要考虑定义域，其次要深刻认识三角函
数符号的含义，sinα ＝≠sin×α；诱导公式的记忆要结合三角函数的定义去记
忆． 3．同角三角函数的基本关系式sin 2 α＋cos 2 α＝1 及＝tanα，必须牢记这两
个基本关系式，并能应用它们进行三角函2 2 3 1 tan tan tan tan
2 1 cos2 2 1 cos2数的求值、化简、证明，在应用中，注意掌握解题的
技巧，能灵活运用公式．在应用平方关系求某个角的另一个三角函数值时，要注
意根式前面的符号的确定． 4．三角函数的诱导公式诱导公式一至六不仅要正确、熟练地掌握其记忆的诀窍，更要能灵活地运用． (1)－α 角的三角函数是把负角转
化为正角；(2)2kπ＋α(k∈Z)角的三角函数是化任意角为[0,2π)内的角；(3) ±α，
π±α，±α，2π－α 角的三角函数是化非锐角为锐角； (4)化负为正→化大为小→化
为锐角； (5)记忆规律：奇变偶同，象限定号． 5．正弦函数、余弦函数的图象与
性质 (1)五点法作图是画三角函数图象的基本方法，要切实掌握，作图时自变量要
用弧度制，作出的图象要正规． (2)奇偶性、单调性、最值、周期是三角函数的重
要性质，f(x＋T)＝f(x)应强调的是自变量 x 本身加常数才是周期，如 f(2x＋T)＝
f(2x)，T 不是 f(2x)的周期．解答三角函数的单调性的题目一定要注意复合函数单
调性法则，更要注意定义域． 6．使用本章公式时，应注意公式的正用、逆用以及
变形应用．如两角和与差的正切公式tan(α±β)＝，其变形公式：tanα±tanβ＝
tan(α±β)(1∓tanαtanβ)应用广泛；公式cos2α＝cos 2 α－sin 2 α＝2cos 2 α－1＝1
－2sin 2 α 的变形公式：1＋cos2α＝2cos 2 α，1－cos2α＝2sin 2 α，cos 2 α＝，
sin 2 α＝常用来升幂或降幂． 7．函数 y＝Asin(ωx＋φ) 主要掌握由函数 y＝sinx
的图象到函数 y＝Asin(ωx＋φ)的图象的平移、伸缩等变换．注意各种变换对图象
的影响，注意各物理量的意义，A，ω，φ 与各种变换的关系． 8．三角函数的应
用 (1)根据图象建立解析式；tan 2 4sin 2cos 5cos 3sin (2)根
据解析式作出图象； (3)将实际问题抽象为与三角函数有关的函数模型； (4)利用
收集到的数据作出散点图，并根据散点图进行函数模拟．在建立三角函数模型的
时候，要注意从数据的周而复始的特点以及数据变化趋势两个方面来考虑．一、
三角函数变形的常见方法在进行三角函数式的化简或求值时，细心观察题目的特征，灵活、恰当地选用公式，统一角、统一函数、降低次数是三角函数关系式变
形的出发点．在本章所涉及的变形中，常用的变形方法有切化弦、弦化切和“1”的
代换． 1．切化弦当三角函数式中三角函数名称较多时，往往把三角函数化为弦，再化简变形．【典例 1】求证：sinα（1+tanα）+cosα（1+ 1 ????）= 1 ???? +
1 ????．【解析】证明：右边＝sinα（1+tanα）+cosα（1+ 1 ????）＝
sinα+ ???2????? +cosα+ ???2? ???? ＝sinα+ 1−???2? ???? +cosα+ 1−???2? ???? = 1 ???? + 1 ???? =左边，得证． 2．弦化切已知tanα 的值，求关于sinα，cosα 的齐次分式(sinα，cosα 的次数相同)的值，可将求值式变为关于tanα 的代数式，此方法亦称
为“弦化切”．【典例 2】已知，求下列代数式的值．（1）；1 1 1 2 2 sin sin cos cos 4 3 2 4sin 2cos 4tan 2 4 2 2 6 5cos 3sin 3tan 5 3 2 5 11
1 1 1
2 2 sin sin cos cos 4
3 2
2 2 2 2 1 1 1 sin sin cos cos 4
3 2 sin cos 2 2 1 1 1 tan tan
4 3 2 tan 1 2 2 2 1 1 1 2 2 4 3 2 1 13 30 （2）．【解析】（1）．（2）【典例 3】已知2cos2α+3cosαsinα﹣3sin2α＝1，α∈（− 3? 2 ，﹣π），求：（1）tanα；（2）2????−3???? 4????−9???? ．【解析】∵2cos2α+3cosαsinα﹣3sin2α＝1，α∈（− 3? 2 ，﹣π），∴cos2α+3cosαsinα﹣
4sin2α＝0，∴1+3tanα﹣4tan2α＝0，解得tanα＝1（舍）或tanα= − 1 4．∴tanα=
− 1 4．（2）2????−3???? 4????−9???? = 2????−3 4????−9 = 2×(− 1 4)−3 4×(− 1 4)−9 = − 7 20 3．“1”的代换在三角函数中，有时会含有常数 1，常数 1 虽然非常简单，
但有些三角函数式的化简却需要利用三角函数公式将 1 代换为三角函数式，常见
的代换方法：1＝sin 2 α＋cos 2 α 等．【典例 4】已知tan2α＝2tan2β+1，求证：sin2β＝2sin2α﹣1．【解答】∴tan2 α＝2tan2 β+1， t an2 α+1＝2（tan2 β+1）
即 ???2?+???2? ???2? =2 ???2?+???2? ???2? ，可得： 1 ???2? = 2 ???2? 可得：cos2 β
＝2cos2 α ∴1﹣sin2 β＝2（1﹣sin2 α）即sin2 β＝2sin2 α﹣1，得证．二、求三角函数值域与最值的常见类型求三角函数的值域或最值主要依据是利用三角函数的
图象或三角函数的有界性，这就要求我们必须掌握好三角函数的图象和性
质． 1．形如 y＝asinx＋b(a≠0)型的函数求解形如 y＝asinx＋b(或 y＝acosx＋b)的
函数的最值或值域问题时，利用正、余弦函数的有界性(－1≤sinx，cosx≤1)求解，
注意对 a 正、负的讨论．【典例 5】已知 y＝asinx+b 的最大值为 3，最小值为﹣1，求 a，b 的值．【解答】解：∵y＝αsinx+b 的最大值为 3，最小值为﹣1，∴当 a＞0 时，{? + ? = 3 −? + ? = −1 ，解得 a＝2，b＝1；当 a＜0 时，{−? + ? = 3 ? + ? = −1 ，
解得 a＝﹣2，b＝1．∴a＝±2，b＝1．【典例 6】已知函数 y＝3﹣4cos（2x+ ?
3 ），x∈[− ? 3 ，? 6 ]，求该函数的最大值，最小值及相应的 x 值．【解析】函数
y＝3﹣4cos（2x+ ? 3 ），由于x∈[− ? 3 ，? 6 ]，sin 7 sin8 cos15 cos7 sin8 sin15
4cos70 tan 20 所以：−? ≤ 2? + ? 3 ≤ 2? 3 当 x＝0 时，函数 ymin＝﹣1 当 x＝﹣π 时，函数 ymax＝7 2．形如 y＝asin 2 x＋bsinx＋c(a≠0)型
的函数求解形如 y＝asin 2 x＋bsinx＋c(或 y＝acos 2 x＋bcosx＋c)，x∈D 的函数的
值域或最值时，通过换元，令 t＝sinx(或 cosx)，
将原函数转化为关于 t 的二次函数，利用配方法求值域或最值即可．求解过程中要注意 t＝sinx(或 cosx)的有界性．【典例 7】求函数 y＝sin2x+2cosx(? 3 ≤ ? ≤ 2? 3 )
的最大值和最小值．【解析】函数的解析式：y＝sin2x+2cosx＝﹣cos2x+2cosx+1，∵? 3 ≤ ? ≤ 2? 3 ，∴− 1 2 ≤ ???? ≤ 1 2 ，结合复合型二次函数的性质可得：二次函数
开口向下，对称轴为 cosx＝1，则函数的最小值为：−(− 1 2)2 + 2 × (− 1 2) + 1 = −
1 4 ；则函数的最大值为：−(1 2)
2 + 2 × 1 2 + 1 = 7 4 ．三、三角函数的化简在具
体实施过程中，应着重抓住“角”的统一．通过观察角、函数名、项的次数等，找到突破口，利用切化弦、升幂、降幂、逆用公式等手段将其化简．最后结果应为：(1) 能求值尽量求值；(2)三角函数名称尽量少；(3)项数尽量少；(4)次数尽量低；(5)
分母、根号下尽量不含三角函数．【典例 8】（2020·驻马店市基础教学研究室高
一期末（理））化简求值：（1）；（2） .sin 7 sin8 cos15 cos7 sin8 sin15
sin 15 8 sin8 cos15 cos 15 8 sin8 sin15
sin15 cos8 cos15 cos8 tan 45 30
tan 45 tan 30 1 tan 45 tan 30 3 1 3 3 1 1 3 2
3 4cos70 tan 20 4cos70 cos 20 sin 20 cos 20 4sin 20 cos
20 sin 20 cos 20 2sin 40 sin 20 cos 20 2cos50 sin 50 30 cos 20 3 3 sin 50 cos50 2 2 cos 20 3 sin
50 60 cos 20 3 3 12 5 13 ，cos 2 ＜
【解析】（1） . （2） . 四、三角函数求值三角函数求值主要有三种类型，即：(1)“给角求值”，一般给出的角都是非特殊角，从表面看较难，但仔细观察就会发
现这类问题中的角与特殊角都有一定的关系，如和或差为特殊角，当然还有可能
需要运用诱导公式． (2)“给值求值”，即给出某些角的三角函数式的值，求另外一
些三角函数的值，这类求值问题关键在于结合条件和结论中的角，合理拆、配角．当然在这个过程中要注意角的范围．(3)“给值求角”，本质上还是“给值求值”，只不过往往求出的是特殊角的值，在求出角之前还需结合函数的单调性确定角，
必要时还要讨论角的范围．【典例 9】已知cosα ，且 0＜β＜α ，（1）求tan2α
的值；（2）求cosβ． 3 12 5 13 ，cos 2 ＜ 2 4 1 5
cos 4 3 sin cos 2 2 24 1 7 tan tan 12 13 2 ＜
2 5 1 1
3 cos 3 12
4
5 5
6 5 13 5 13 65 tan sin tan sin tan sin tan sin 2 2 2 2 2 tan sin tan tan
cos tan sin tan sin tan sin tan sin
2 2 tan 1 cos tan sin tan sin 2 2 tan sin
tan sin tan sin tan sin tan sin 【解析】（1）∵cosα ，且 0＜β＜α ，∴sinα ，tanα ，∴tan2α ．（2）∵cos （α﹣β），0＜β＜α ，∴sin（α﹣β），cosβ＝cos[α﹣（α﹣β）]＝cosαcos（α﹣β）+sinαsin（α﹣β）．五、三角恒等证明三角恒等式的证明，就是应用三角公式，通过适当的恒
等变换，消除三角恒等式两端结构上的差异，这些差异有以下几方面：①角的差异；②三角函数名称的差异；③三角函数式结构形式上的差异．针对上面的差异，选择合适的方法进行等价转化．【典例 10】求证： . 【解析】∵右边＝＝左边，
∴原等式成立. 六、三角函数的图象三角函数的图象是研究三角函数性质的基础，
又是三角函数性质的具体体现．在平时的考查中，主要体现在三角函数图象的变
换和解析式的确定，以及通过对图象的描绘、观察来讨论函数的有关性质．【典
例 11】如图，是函数 y＝Asin（ωx+φ）+k（A＞0，ω＞0）的一段图象．（1）求
此函数解析式；（2）分析一下该函数是如何通过 y＝sinx 变换得来的？【解答】解：（1）由图象知A= − 1 2 −（﹣1）= 1 2 ，k= −1 2+(−3 2) 2 = −1， T＝2×（ 2?
3 − ? 6 ）＝π，∴ω= 2? ? =2，∴y= 1 2 sin（2x+φ）﹣1．再由五点法作图可得当
x= ? 6 时，2× ? 6 +φ= ? 2 ，∴φ= ? 6 ，∴所求函数解析式为 y= 1 2 sin（2x+ ? 6 ）﹣1．（2）把 y＝sinx 向左平移? 6 个单位，得到 y＝sin（x+ ? 6 ）；然后纵坐标保
持不变、横坐标缩短为原来的1 2 ，得到 y＝sin（2x+ ? 6 ）；再横坐标保持不变，纵坐标变为原来的 1 2 得到 y= 1 2 sin（2x+ ? 6 ）；最后把函数 y= 1 2 sin（2x+ ?
6 ）的图象向下平移 1 个单位，得到 y= 1 2 sin（2x+ ? 6 ）﹣1 的图象．七、三角
函数的性质 1．三角函数的性质，重点应掌握函数 y＝sinx，y＝cosx，y＝tanx 的
定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性，在此基础上，掌握函数 y＝Asin(ωx＋φ)，y＝Acos(ωx＋φ)及 y ＝Atan(ωx＋φ)的相关性质． 2．该热点是三角函数的重
中之重，考查的形式也不唯一，主、客观题均有体现，在难度上较前两热点有所
增加，主观题以中档题为主，知识间的联系相对加大．【典例12】已知函数f（x）
＝logacos（2x− ? 3 ）（其中 a＞0，且a≠1）．（1）求它的定义域；（2）求它
的单调区间；（3）判断它的奇偶性；（4）判断它的周期性，如果是周期函数，
求出它的周期．【解答】（1）解???(2? − ? 3)＞0得，− ? 2 + 2??＜2? − ? 3 ＜? 2 + 2??，? ∈ ?；∴− ? 12 + ??＜?＜5? 12 + ??，? ∈ ?；∴f（x）的定义域为(− ? 12 + ??，5?
12 + ??)，? ∈ ?；（2）设? = ???(2? − ? 3)，g（t）＝logat；解− ? 2 + 2??＜2? − ? 3
≤ 0 + 2??得，− ? 12 + ??＜? ≤ ? 6 + ??，k∈Z；解0 + 2??＜2? − ? 3 ＜? 2 + 2??得，? 6 + ??＜?＜5? 12 + ??，? ∈ ?；∴t= ???(2? − ? 3)在(− ? 12 + ??，? 6 + ??]上单调递增，
在(? 6 + ??，5? 12 + ??)上单调递减；①若 a＞1，则 g（t）为增函数；∴f（x）的
单调增区间为(− ? 12 + ??，? 6 + ??]，k∈Z，单调减区间为(? 6 + ??，5? 12 + ??)，
k∈Z；②若 0＜a＜1，则 g（t）为减函数；∴f（x）的单调递增区间为(? 6 + ??，5?
12 + ??)，? ∈ ?，单调减区间为(− ? 12 + ??，? 6 + ??]，? ∈ ?；（3）f（x）的定义域不关于原点对称，∴为非奇非偶函数；（4）? = ???(2? − ? 3)为周期函数，周期为π；∴f（x）为周期函数，周期为π．。