高中数学知识点总结之三角函数篇

第三章 三角函数、解三角形

第1讲 任意角和弧度制及任意角的三角函数

一、必记3个知识点 1．角的概念

(1)分类⎩

⎪⎨⎪⎧

按旋转方向不同分为正角、负角、零角.

按终边位置不同分为象限角和轴线角.

(2)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S ＝{β|β＝α＋k ·360°，k ∈Z }．

2．弧度的定义和公式

(1)定义：长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad.

(2)公式：①弧度与角度的换算：360°＝2π弧度；180°＝π弧度；②弧长公式：l ＝|α|r ；③扇形面积公式：S 扇形＝12lr 和1

2

|α|r 2.

3．任意角的三角函数

(1)定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (x ，y )，那么sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝y

x

(x ≠0)．

(2)几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示．正弦线的起点都在x 轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是(1,0)．

如图中有向线段MP ，OM ，AT 分别叫做角α的正弦线，余弦线和正切线． 二、必明3个易误区

1．易混概念：第一象限角、锐角、小于90°的角是概念不同的三类角．第一类是象限角，第二、第三类是区间角．

2．利用180°＝π rad 进行互化时，易出现度量单位的混用．

3．三角函数的定义中，当P (x ，y )是单位圆上的点时有sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝y x ，

但假设不是单位圆时，如圆的半径为r ，那么sin α＝y r ，cos α＝x r ，tan α＝y

x .

三、必会2个方法

1．三角函数值在各象限的符号规律概括为：一全正、二正弦、三正切、四余弦； 2．对于利用三角函数定义解题的题目，如果含有参数，一定要考虑运用分类讨论，而在求解简单的三角不等式时，可利用单位圆及三角函数线，表达了数形结合的思想．

考点一

角的集合表示及象限角的判定

1.给出以下四个命题：

①－3π4是第二象限角；②4π

3是第三象限角；③－400°是第四象限角；④－315°是第一象

限角．其中正确的命题有( )

A ．1个

B ．2个

C ．3个

D ．4个

解析：选C －3π4是第三象限角，故①错误；4π3＝π＋π3，从而4π

3是第三象限角，故②正

确；－400°＝－360°－40°，从而③正确；－315°＝－360°＋45°，从而④正确．

2．设集合M ＝⎩

⎨⎧ x ⎪⎪⎭

⎬⎫

x ＝k 2·180°＋45°，k ∈Z ，N ＝⎩

⎨⎧⎭

⎬⎫x ⎪⎪

x ＝k 4

·180°＋45°，k ∈Z ，那么( )

A ．M ＝N

B ．M ⊆N

C ．N ⊆M

D ．M ∩N ＝∅

解析：选B 法一：由于M ＝⎩

⎨⎧

x ⎪⎪⎭

⎬⎫

x ＝k 2

·180°＋45°，k ∈Z ＝{…，－45°，45°，135°，225°，…}，

N ＝⎩

⎨⎧⎭

⎬⎫x ⎪⎪

x ＝k

4

·180°＋45°，k ∈Z ＝{…，－45°，0°，45°，90°，135°，180°，225°，…}，显然有M ⊆N ，应选B.

法二：由于M 中，x ＝k

2·180°＋45°＝k ·90°＋45°＝45°·(2k ＋1)，2k ＋1是奇数；而N 中，

x ＝k 4

·180°＋45°＝k ·45°＋45°＝(k ＋1)·45°，k ＋1是整数，因此必有M ⊆N ，应选B. 3．终边在直线y ＝3x 上的角的集合为________．

解析：终边在直线y ＝3x 上的角的集合为{α|α＝k π＋π3，k ∈Z }．答案：{α|α＝k π＋π

3，

k ∈Z }

4．在－720°～0°范围内找出所有与45°终边相同的角为________．

解析：所有与45°有相同终边的角可表示为：β＝45°＋k ×360°(k ∈Z )，那么令－720°≤45°＋k ×360°<0°，

得－765°≤k ×360°<－45°，解得－765360≤k <－45

360，从而k ＝－2或k ＝－1，代入得β＝

－675°或β＝－315°.

答案：－675°或－315° [类题通法]

1．利用终边相同角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k 赋值来求得所需角．

2．角α的终边位置，确定形如kα，π±α等形式的角终边的方法：先表示角α的范围，

再写出kα，π±α等形式的角范围，然后就k 的可能取值讨论所求角的终边位置．

[典例] (1)角α的终边上一点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫sin 2π3，cos 2π

3，那么角α的最小正值为( ) A.5π6 B.2π3 C.5π3 D.11π

6

(2)(2021·临川期末)α是第二象限角，其终边上一点P (x ，5)，且cos α＝2

4

x ，那么sin ⎝⎛⎭

⎫α＋π

2＝________. [解析] (1)由题意知点P 在第四象限，根据三角函数的定义得cos α＝sin 2π3＝3

2，故α＝2k π－π6(k ∈Z )，所以α的最小正值为11π6

.

(2)由题意得cos α＝

x 5＋x 2＝2

4

x ，解得x ＝0或x ＝3或x ＝－ 3. 又α是第二象限角，∴x ＝－ 3.即cos α＝－64，sin ⎝⎛⎭⎫α＋π2＝cos α＝－64

. [答案] (1)D (2)－64

[类题通法]

用定义法求三角函数值的两种情况

(1)角α终边上一点P 的坐标，那么可先求出点P 到原点的距离r ，然后用三角函数的定义求解；

(2)角α的终边所在的直线方程，那么可先设出终边上一点的坐标，求出此点到原点的距离，然后用三角函数的定义来求相关问题．

[针对训练]：角α的终边在直线y ＝－3x 上，求10sin α＋3cos α

的值．

解：设α终边上任一点为P (k ，－3k )，那么r ＝k 2＋(－3k )2＝10|k |.当k >0时，r ＝10k ，

∴sin α＝

－3k 10k ＝－310，1cos α

＝10 k k ＝10，∴10sin α＋3

cos α＝－310＋310＝0；

当k <0时，r ＝－10k ，∴sin α＝－3k －10k ＝310，1

cos α＝－10k k ＝－10，

∴10sin α＋3cos α＝310－310＝0.综上，10sin α＋3

cos α

＝0.

[典例]