辽宁省瓦房店市高三数学上学期第二次月考试题 理

2017——2018高三上学期第二次月考数学（理） 试卷
第Ⅰ卷
一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知2sin cos 0θθ+=，则tan 2θ=（ ）
A ．
43 B ．43- C.45- D ．45
2.函数21()x g x x -=在区间1
[,2]2
上的最小值是（ ）
A ．-1
B ．0 C.-2 D ．
3
2
3．设a ，b 是实数，则“0||||>>a b ”是“
1>a
b
”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件
4．已知f (x )＝x 3＋ax 2
＋(a ＋6)x ＋1既有极大值又有极小值，则a 的取值范围为( )
A ．a ＜－1或a ＞2
B ．－3＜a ＜6
C ．－1＜a ＜2
D ．a ＜－3或a ＞6 5不等式220ax bx ++>的解集为{12}x x -<<，则不等式220x bx a ++>的解集为（） A ．{1x <-或1}2x > B ．1
{1}2
x x -<< C. {21}x x -<< D ．{2x <-或1}x >
6某几何体的三视图如图所示，则该几何体中，面积最大的侧面的面积为( ) A
．
B
．
C
．
D ．3
7已知等差数列{}n a 的公差0d
≠，且1313,,a a a 成等比数列，若11,n a S =为数列
{}n a 的前n 项和，则
216
3
n n S a ++的最小值为( )
（A ）4 （B ）3（C
）2（D ）9
2
8已知点A (－2,0)，B (2,0)，若圆(x －3)2＋y 2＝r 2
(r >0)上存在点P (不同于点A ，B )使得PA ⊥
PB ，则实数r 的取值范围是( )
A ．(1,5)
B ．[1,5]
C ．(1,3]
D ．[3,5]
9.将函数1()cos(2)4f x x θ=
+（||2πθ<）的图象向右平移512
π个单位后得到函数()g x 的图象，若()g x 的图象关于直线9
x π
=对称，则θ=（ ）
A ．
718π B ．18π C.18π- D ．718
π
-
10. 已知0a b >>，则41
a a
b a b
++
+-的最小值为（） A
．
4 C.
． 11.已知PC 为球O 的直径，A ，B 是球面上两点，且2AB =，4
APC BPC π∠=∠=若球O 的体积为323
π，则棱锥
A PBC -的体积为（ ）
A
． B
12. 直线,PA PB 分别为与半径为1的圆O 相切于点,A B ，2,2(1)PO PM PA PB λλ==+-，若
点M 在圆O 的内部（不包括边界），则实数λ的取值范围是（）
A ．(1,1)-
B ．2(0,)3 C.1
(,1)3 D ．(0,1)
第Ⅱ卷 二填空题：(每题5分）
13.在等差数列{a n }中，已知a 3＋a 8＝10，则3a 5＋a 7＝_______. 14.设曲线2
211x y x +=
+在点3
(2,)5
--处的切线与直线510ax y +-=垂直，则a =—— 15.将函数)2
)(2sin()(π
ϕϕ<+=x x f 的图象向左平移
6
π
个单位后的图形关于原点对称，则函数f (x )在[0,
]2
π
上的最小值为______.
16变量y x ,满足约束条件22
2441x
y x y x y ⎧+≥⎪
+≤⎨⎪-≥-⎩
，则目标函数33z x y =+-的取值范围是_____.
三．解答题：（17题10分，其余各题12分）解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 四．17. 已知2()lg 2ax
f x x
+=-（1a ≠-）是奇函数. （1）求a 的值； （2）若4()()14x g x f x =++，求
11
()()22
g g +-的值.
18.
已知函数21
()cos )cos()2
f x x x x ππ=-+-
，x R ∈. （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期及其图象的对称轴方程；
（Ⅱ）在锐角ABC ∆中，内角A ，B ，C ，的对边分别为a ，b ，c ，已知()1f A =-，3a =，
sin sin b C a A =，求ABC ∆的面积.
19已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且n S ，n a ，2
1
成等差数列． （Ⅰ）证明数列{}n a 是等比数列；
（Ⅱ）若3log 2+=n
n a b ，求数列⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧+11n n b b 的前n 项和n T ． 20如图，直三棱柱ABC A B C -111中，AB BC =，ABC ∠=︒120，Q 是AC 上的点，
//AB 1平面BC Q 1．
（Ⅰ）确定点Q 在AC 上的位置；
（Ⅱ）若QC 1与平面BB C C 11
，求二面角Q BC C --1的余
弦值．
21．已知以点C ⎝
⎛⎭
⎪⎫t ，2t (t ∈R ，t ≠0)为圆心的圆与x 轴交于点O ，A ，与y 轴交于点O ，B ，其
中O 为原点。

(1)求证：△OAB 的面积为定值；
(2)设直线y ＝－2x ＋4与圆C 交于点M ，N ，若|OM |＝|ON |，求圆C 的方程。

22. 已知函数2
()2ln 311f x x x x =--. （1）求函数()y f x =的单调区间；
（2）若关于x 的不等式2
()(3)(213)1f x a x a x ≤-+-+恒成立，证明：
0a >且1
2ln 3a a +≥
2017——2018高三上学期第二次月考数学（理） 试卷 一选择题：
1.已知2sin cos 0θθ+=，则tan 2θ=（ B ）
A ．
43 B ．43- C.45- D ．45
2函数21()x g x x -=在区间1
[,2]2
上的最小值是（ B ）
A ．-1
B ．0 C.-2 D ．
3
2
3．设a ，b 是实数，则“0||||>>a b ”是“
1>a
b
”的（ B ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件
4．已知f (x )＝x 3＋ax 2
＋(a ＋6)x ＋1既有极大值又有极小值，则a 的取值范围为(D)
A ．a ＜－1或a ＞2
B ．－3＜a ＜6
C ．－1＜a ＜2
D ．a ＜－3或a ＞6 5不等式220ax bx ++>的解集为{12}x x -<<，则不等式220x bx a ++>的解集为（B ） A ．{1x <-或1}2x > B ．1
{1}2
x x -<< C. {21}x x -<< D ．{2x <-或1}x >
6某几何体的三视图如图所示，则该几何体中，面积最大的侧面的面积为( B )
A
． B
． C
． D ．3（ B ）
7已知等差数列{}n a 的公差0d ≠，且1313,,a a a 成等比数列，若11,n a S =为数列{}n a 的前n
项和，则216
3
n n S a ++的最小值为(A)
（A ）4
（B ）3
（C
）2
（D ）
92
8已知点A (－2,0)，B (2,0)，若圆(x －3)2
＋y 2
＝r 2
(r >0)上存在点P (不同于点A ，B )使得PA ⊥
PB ，则实数r 的取值范围是( A )
A ．(1,5)
B ．[1,5]
C ．(1,3]
D ．[3,5]
9.将函数1()cos(2)4f x x θ=
+（||2πθ<）的图象向右平移512
π个单位后得到函数()g x 的图象，若()g x 的图象关于直线9
x π
=对称，则θ=（ D ）
A ．
718π B ．18π C.18π- D ．718
π
-
10. 已知0a b >>，则41
a a
b a b
++
+-的最小值为（D ） A
．
4 C.
． 11.已知PC 为球O 的直径，A ，B 是球面上两点，且2AB =，4
APC BPC π∠=∠=若球O 的体积为
323
π，则棱锥A PBC -的体积为（ B ）
A
． B
12. 直线,PA PB 分别为与半径为1的圆O 相切于点,A B ，2,2(1)PO PM PA PB λλ==+-，若
点M 在圆O 的内部（不包括边界），则实数λ的取值范围是（B ）
A ．(1,1)-
B ．2(0,)3 C.1
(,1)3 D ．(0,1)
二填空题：
13.在等差数列{a n }中，已知a 3＋a 8＝10，则3a 5＋a 7＝__20______. 14.设曲线2
211x y x +=
+在点3(2,)5
--处的切线与直线510ax y +-=垂直，则a =-2.5 15.将函数)2
)(2sin()(π
ϕϕ<+=x x f 的图象向左平移
6
π
个单位后的图形关于原点对称，则函数f (x )在[0,
]2
π
上的最小值为___
2
3-___. 16变量y x ,满足约束条件22
2441
x y x y x y ⎧+≥⎪+≤⎨⎪-≥-⎩
，则目标函数33
z
x y =+-的取值范围是
_3,92⎡⎤⎢⎥⎣⎦_____.
三 解答题： 17. 已知2()lg 2ax
f x x
+=-（1a ≠-）是奇函数. （1）求a 的值；
（2）若4()()14x g x f x =+
+，求
11
()()22g g +-的值. 解：（1）因为2()lg 2ax
f x x
+=-是奇函数，所以()()0f x f x +-=，
即22lg
lg 022ax ax
x x
+-+=-+，整理得22244a x x -=-，又1a ≠-，所以1a =. （2）设4()14x
h x =+，因为1
2
142
-=，所以11()()422h h -+=.
因为()f x 是奇函数，所以11()()022
f f +-=，所以11()()044
22g g +-=+=
18.已知函数21
()cos )cos()2
f x x x x ππ=-+-，x R ∈.
（Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期及其图象的对称轴方程；
（Ⅱ）在锐角ABC ∆中，内角A ，B ，C ，的对边分别为a ，b ，c ，已知()1f A =-，3a =，
sin sin b C a A =，求ABC ∆的面积.
解：（1）原式可化为，
，
，
，…………………………………………………2分
故其最小正周期，………………………………………………3分 令，
解得，……………………………………………………5分
即函数
图象的对称轴方程为，
. …………………………………………………………6分
（2）由（1），知，
因为，所以
. ………………………………8分
又，
故得，解得. ……………………………………………10分 由正弦定理及
，得
. 故.…………………………………………………12分
19已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且n S ，n a ，2
1
成等差数列． （Ⅰ）证明数列{}n a 是等比数列；
（Ⅱ）若3log 2+=n n a b ，求数列⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧+11n n b b 的前n 项和n T ．
（Ⅰ）证明：由题意知212+
=n n S a 当1=n 时，有2
1,212111=∴+=a a a 当2≥n 时，2
1
2,21211-=-
=--n n n n a S a S ，两式相减得，122--=n n n a a a ，即)2(21≥=-n a a n n 由于}{n a 为正项数列，01≠∴-n a ，于是
)2(21
≥=-n a a n n
即数列}{n a 是以
2
1
为首项，2为公比的等比数列； （Ⅱ）由（Ⅰ）知21
122
--=⋅=n n n a a
132log 22+=+=∴-n b n n 2
1
11)2)(1(111+-+=++=∴
+n n n n b b n n
)
2(22121)2111()4131()3121(+=+-=+-+++-+-=∴n n
n n n T n
20如图，直三棱柱ABC A B C -111中，AB BC =，ABC ∠=︒120，Q 是AC 上的点，
//AB 1平面BC Q 1．
（Ⅰ）确定点Q 在AC 上的位置；
（Ⅱ）若QC 1与平面BB C C 11
Q BC C --1的余弦
值．
解：因为直线AB 1∥平面BC 1Q ，AB 1平面AB 1C ，平面
BC 1Q ∩平面AB 1C ＝PQ ，
所以AB 1∥PQ ．因为P 为B 1C 的中点，且AB 1∥PQ ， 所以，Q 为AC 的中点． …4分 （Ⅱ）如图建立空间直角坐标系． 设AB ＝BC ＝a ，BB 1＝b ，则
面BC 1C 的法向量为m ＝(1，0，0)．
B (0，0，0)，
C 1(0，a ，b )，Q (34a ， 1
4a ，0)，
＝(0，a ，b )，＝(－
34a ， 3
4
a ，
b )． 因QC 1与面BC 1C 所成角的正弦值为
2
4
， 故|m ·QC 1→|___________|m |·|QC 1→|＝3
4a ___________Ö________ 3 4
a 2＋
b 2＝24，解得b ＝32
a .
…8分
设平面C 1BQ 的法向量n ＝(x ，y ，z )，则
即⎩
⎪⎨⎪⎧－34ax ＋ 3 4ay ＋3
2az ＝0，ay ＋3
2
az ＝0，
取n ＝(1，－3，2)．
…10分
所以有cos m ，n ＝
m ·n |m |·|n |＝2
4
．
故二面角Q -BC 1-C 的余弦值为
2
4
． 12分 21．已知以点C ⎝
⎛⎭
⎪⎫t ，2t (t ∈R ，t ≠0)为圆心的圆与x 轴交于点O ，A ，与y 轴交于点O ，B ，其
中O 为原点。

(1)求证：△OAB 的面积为定值；
(2)设直线y ＝－2x ＋4与圆C 交于点M ，N ，若|OM |＝|ON |，求圆C 的方程。

(1)证明：∵圆C 过原点O ，且|OC |2＝t 2
＋4t
2。

∴圆C 的方程是(x －t )2
＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫y －2t 2＝t 2＋4t 2，令x ＝0，得y 1＝0，y 2＝4t
；
令y ＝0，得x 1＝0，x 2＝2t ，∴S △OAB ＝12|OA |·|OB |＝12×|4
t |×|2t |＝4
即△OAB 的面积为定值。

(2)∵|OM |＝|ON |，|CM |＝|CN |，
∴OC 垂直平分线段MN 。

∵k MN ＝－2，∴k OC ＝12。

∴2t ＝1
2t ，解得t ＝2或t ＝－2。

当t ＝2时，
圆心C 的坐标为(2,1)，|OC |＝5，
此时C 到直线y ＝－2x ＋4的距离d ＝
15<5，
圆C 与直线y ＝－2x ＋4相交于两点。

当t ＝－2时，圆心C 的坐标为(－2，－1)，|OC |＝5， 此时C 到直线y ＝－2x ＋4的距离d ＝
95>5。

圆C 与直线y ＝－2x ＋4不相交， ∴t ＝－2不符合题意，舍去。

∴圆C 的方程为(x －2)2
＋(y －1)2
＝5。

22. 已知函数2
()2ln 311f x x x x =--. （1）求函数()y f x =的单调区间；
（2）若关于x 的不等式2
()(3)(213)1f x a x a x ≤-+-+恒成立，证明：0a >且1
2ln 3a a +≥
（1）解：因为2(61)(2)
'()611x x f x x x x
-+=
--=-
， 由于0x >，令'()0f x >得106x <<；令'()0f x <得1
6
x >，
所以()f x 在1(0,)6上单调递增，在1
(,)6
+∞上单调递减.
（2）证明：令2
2
()()(3)(213)12ln (22)1g x f x a x a x x ax a x =-----=-+--，
所以222(22)2
'()2(22)ax a x g x ax a x x
-+-+=-+-=.
当0a ≤时，因为0x >，所以'()0g x >.所以()g x 是(0,)+∞上的递增函数， 又因为(1)221310g a a a =-+--=-+>，
所以关于x 的不等式2
()(3)(213)1f x a x a x ≤-+-+不能恒成立， 因此，0a >.
当0a >时，2
1
2()(1)
2(22)2'()a x x ax a x a g x x x
--+-+-+==，
令'()0g x =，得1x a =，所以当1(0,)x a ∈时，'()0g x >；当1
(,)x a ∈+∞时，'()0g x <，
因此函数()g x 在1(0,)a 上是增函数，在1
(,)a
+∞上是递减函数.
故函数()g x 的最大值为1111
()2ln 32ln 30g a a a a a
=+-=--≤，
即1
2ln 3a a
-≥.。