4.2第四章 固体中原子及分子的运动
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414置换式固溶体中的扩散互扩散与柯肯达尔效应如果将一块钢和一块纯铁焊接在一起由于两种材料的碳含量不相同碳原子将从钢中向纯铁中不断扩散碳是溶解在铁晶格的间隙中形成的间隙固溶体这种迁移不会引起原来钢或纯铁基体中晶格数量和位置的变化这属于一种间隙扩散类型
4.2 扩散的微观理论
4.2.1 随机行走与扩散
因为 所以
(H U V P)
代入D=d2P
可得：
令 则
扩散系数与温度之间的关系
式中Do称为扩散常数，只与扩散机制和材料有关； ΔU是间隙扩散时溶质原子跳跃所需额外的热力学 内能，该迁移能等于间隙原子的扩散激活能Q。
空位扩散机制
扩散机制：在置换固溶体中，由于晶格中存在空位，空位周围 的原子(包括溶剂和溶质原子)由热运动可能进入空位，即原子 利用空位最后达到迁移，当存在化学位梯度时，溶质原子就会 发生定向的扩散迁移，这是置换原子扩散的主要方式。 扩散进行有两个要求条件，一是有空位存在，二是空位周围的 原子从原来的平衡位置进入空位也要一定的激活能。
晶体缺陷对扩散起着快速通道的作用称为短 路扩散。在实际生产中这几种扩散同时进行， 并且在温度较低时，所起的作用更大。
4.3 扩散机制
1、交换机制
直接交换机制：相邻的两个原子互换 了位置。
然而由于这种正常位置上的原子对调 位置需要克服的能垒很高，引起附近 点阵原子的强烈畸变，因而无论在理 论上或是实验上，它都是失败的。
后来把这种扩散偶中由于扩散系数不同而引起对接面移动 的现象称为柯肯达尔效应。
发生柯肯达尔效应原因：溶质和溶剂原子扩散速率不同。
标记漂移产生的示意图
达肯方程
标志物
在柯肯达尔效应中，假定标记面的 移动速度计为vm，相对观察者，原 子的扩散可进行如下的分析。
(1)原子相对标记面的迁移 设迁移速度为vd，相应引起的移动 通量为JAd。
图 环形换位扩散模型
2、间隙机制
(1) 间隙扩散是小的间隙原子，扩散时由一个间隙位置跃 迁到另一个间隙位置。H、N、C 间隙型溶质原子。间隙 原子换位时，必须从基体原子之间挤过去，这就要求间隙 原子具有足够的激活能来克服基体原子造成的势垒。
(2) 置换型溶质原子间隙机制扩散方式： a. 推填机制 (间接间隙机制）：一个填隙原子把近邻的、 在晶格结点上的原子推到附近的间隙中，而自己填到被推 出去的原子的原来位置 b. 挤列机制：一个间隙原子挤入一列原子中
即
代入D=d2P
可得：
令 所以
式中扩散激活能Q=Uv+U，由此表明，置换扩 散或自扩散除了需要原子迁移能U外还比间隙 型扩散增加了一项空位形成能Uv。实验证明，
置换扩散或自扩散的激活能均比间隙扩散激活 能要大，如表所示。
某些扩散系统的D0与Q(近似值)
对于间隙型扩散、置换型扩散及纯金属的自扩散都可导 出D：
空位机制
图 面心立方晶体的空位扩散机制
柯肯达尔(Kirkendall)效应
Kirkendall在1947做过如下实验， 在Cu－30%Zn的合金两边焊上纯 铜，并在焊缝处加入一些细的Mo 丝作标记，如图所示。
Kirkendall–Smigelskas
先测定标记之间的距离，放置 在785℃下保温(为加快扩散速度 )。经过一天(24hr)后再测量，发 现标记之间的距离缩短了 0.0015cm；经过56天后，标记之 间的距离缩短了0.0124cm。
原子扩散随机行走(random walk)，也称“醉步” 是指扩散原子的行走是向各个方向随机跳跃的。 其扩散距离与扩散时间的平方根成正比。
Rn2 2.45 Dt
假定原子的跳动频率是Γ，即每秒跳动Γ次，则t秒内跳动的次数
n= Γt
因此
Rn2 tr2
可以证明
Rn2 Dt γ是由物质结构决定的几何参数
lnD lnD0
k=-Q/R
ln
D
ln
D0
Q RT
1/T
扩散系数与温度的关系
Ag的自扩散系数D与1/T的关系
从图中可以看出： (1) 单晶体的扩散系数表征晶内Dl；而多晶体
的D是晶内扩散和晶界扩散共同作用的表象 扩散系数。 (2) 对Ag来说 700ºC以上 D单晶≈D多；700ºC 以下 D单晶<D多晶。 (3) 晶界扩散比晶内扩散快的多。而对于间隙 固溶体,溶质原子半径小易扩散，其Dl ≈ Db。
假如Cu，Zn原子的扩散系数相等，等量的Cu，Zn原子互 扩散，由于Zn的原子尺寸大于Cu，纯Cu部分的晶格常数 可能增大，黄铜部分可能减小，就会使钼丝向黄铜部分移 动。但是计算值只有观察值的1/5~1/10。可见点阵常数的 变化不是钼丝移动的主要原因。
实验说明：通过钼丝平面的Zn原子的扩散流大于Cu原子 的扩散流。这一现象在许多合金系如Au-Ni，Cu-Ni，CuZn，Fe-Ni，Ag-Zn，Ni-Co等组成的扩散偶中被发现，而 且标志物总是朝着含低熔点组元较多的一方移动，相对而 言，低熔点组元扩散快，高熔点组元扩散慢。
(2)标记面的移动速度为vm, 相 应引起的移动通量为JAm。
则原子相对于地面的移动速度
vt=vm+vd
高熔点A 低熔点B t=0
y y'
1 O
2
x' v
x
达肯方程
对于观察者（或者地面）来说，A原子相对观察者 的总迁移通量是两个移动通量的叠加：
(J A )t J Ad J Am
其中，纯由原子扩散引起的扩散通量可由Fick第
间隙扩散机制
扩散机制：溶质原子存在晶格的间隙中，如Fe中
的C、N、H等元素，扩散过程是间隙原子从所在的 间隙，挤过晶格原子的空隙，到达相邻的另一个间 隙。
对于间隙型扩散，设原子的振动频率为 ，溶 质原子最邻近的间隙位置数为z (即间隙配位数)，
则 应是，z，以及具有跳跃条件的原子分数 exp(G/kT)的乘积，即
NA
J
(n1 n2 )P
Ar NA
d2P d
dx
与菲克第一定律对比，可知：D=Pd2
从微观分析表明，扩散系数与扩散方向相邻晶面 的面间距d、原子的跃迁频率Γ、跃迁几率P的关 系。 前两项取决于固溶体的结构，而Γ除了与物 质本身性质相关，还与温度密切相关。
2、扩散系数（diffusion coefficient）
)
d 2
dx
D d2
dx
其中 D D1x2 D2 x1 为互扩散系数
D1，D2分别叫组元A和B的本征扩散系数。从实际 意义上看，扩散方程中的D对于置换型溶质扩散来 说就是互扩散系数 。通过测定互扩散系数，可以 求得本征扩散系数。
图 直接换位扩散模型
1. 交换机制
环形交换机制，其所涉及到的能量远小于直接交换。 不管是直接交换还是环形交换扩散需要两个或两个以上的
原子协同跳动，所需能量较高。结果是垂直于扩散方向平 面的净通量等于0，即扩散原子是等量互换。这种互换机 制不可能出现柯肯达尔效应。金属液体或非晶体中可能容 易实现。
D = Doexp（－Q / RT） （Ahrrenius equation） 注：(1) Do为扩散常数,与△S有关,其数值可查。R为气 体常数，其值为8.31J/（mol.K）
(2) Q为每摩尔原子扩散的激活能(activation energy of diffusion)。对于间隙型扩散,Q为原子跳跃所需要的迁 移能△U；对于置换型扩散或自扩散，Q包括原子迁移 能△U和空位形成能△Uv。Q数值可查。
则
Dt tr2
D 1 r 2 r 2 1 r 2 三维
6
爱因斯坦方程
4.2.2 原子的跳跃和扩散系数
1.原子跳跃频率（jump frequency） 原子扩散必须克服一定的能垒,其大小
△G = G2－G1，只有那些自由能超过G2的 原子才能发生跳跃（jump migration） 。
晶体中的扩散机制 a-直接交换 b-环形交换 c-空位 d-间隙 e-推填 f-挤列
3. 空位机制 与柯肯达尔效应
晶体中总有一定数量的空位，其数量随温度升高而增加。 从热力学上讲，在一定温度下，空位数目具有一个平衡值。 这些空位的存在使原子迁移更容易，故大多数情况下，原 子扩散是借助空位机制 。柯肯达尔效应最重要的意义就是 支持了空位扩散机制。
n(G>G2)=Nexp(－G2/kT)
同样，自由能大于G1的原子数为：
n(G>G1)=Nexp(－G1/kT)
则：
n(G G2 ) e (G2 G1 )/ kT n(G G1 )
由于G1处于平衡位置即最低自由能，所以n(G>G1)= N， 则上式可以写成：
G G n(G G2 ) exp(
当组元A和B的扩散系数相等时，标记漂移速度为零
达肯方程
(J A )t
D1
d 1
dx
1vm
由以上各式可得
(J A )t
D1
d 1
dx
1( D1
D2）ddxx1
( D1 x2
D2 x1 )
d 1
dx
D
d 1
dx
同理可得
(JB )t
( D1x2
D2
x1
(3) R为气体常数，T为绝对温度（K）
(4) 不同扩散机制的扩散系数表达形式相同，但D0和 Q值不同。
3. 扩散激活能
扩散激活能：原子跃迁时所需克服周围原子对其束缚的势垒。
间隙扩散激活能与扩散 系数的关系 D=D0exp(-Q/RT)
D0：扩散常数。 空位扩散激活能与扩散 系数的关系
D=D0exp(-△E/kT) △E=△Ef(空位形成
功)+△Em（原子迁移 激活能）。
晶体中原子扩散机制不同,其扩散激活能 （activation energy）不同。但可以通过实验求得扩 散激活能Q。其方法如下：D=D0exp(-Q/RT)
lnD = lnDo－Q/(R·T)
由实验确定lnD与1/T的关系。若lnD～1/T呈直线关 系,可用外推法求出lnDo，直线的斜率为－Q/R。 一般Do与Q和T无关，只与扩散机制及材料有关。
1、2之间晶面间距为d，
由晶面1跳到晶面2及由晶 面2跳到晶面1的几率P相同
则在时间间隔dt内由晶面1跳到晶面2及由晶面2 跳到晶面1的溶质原子数分别为
N1-2=n1Pdt
N2-1= n2Pdt
设n1>n2，则晶面2净增加的溶质原子数为
N1-2 -N2-1 =（n1－n2）Pdt
即
N12 N21 Ar n1 n2 PtAr Jt
NA
NA
J (n1 n2 )PAr NA
1、2之间晶面间距为d ，可得质量浓度：
ρ1=n1Ar/NAd； ρ 2=n2Ar/NAd 量纲
而从连续分布来看，2面上的质量浓度又可表示为：
2
1
d
dx
d
n2
n1
d
dx
d2
NA Ar
代入式 J n1 n2 PAr 中，有：
即
vm (1
2 )
D1
d 1
dx
D2
d 2
dx
vm
D1
dx1 dx
D2
dx2 dx
D1
dx1 dx
D2
d (1 x1) dx
(D1 D2）ddxx1
同理 其中vm ( ຫໍສະໝຸດ 2 -D1）ddxx2x1
1 1 2
x2
2 1 2
分别表示组元A和组元B的摩尔分数，并有 x1 x2 1
温度 T 时晶体中平衡的空位摩尔分数：
式中，UV为空位形成能； Sv为熵增值。
在置换固溶体或纯金属中，若配位数为 Z0，则空位周围原子所占分数应为
设扩散原子跳入空位所需的自由能G＝U－TS。 那么，原子跳跃频率应是原子的振动频率，空
位周围原子所占分数Z0Xv和具有跳跃条件的原子
所占分数exp(－G/kT)的乘积，
一定律求出
J
Ad
D1
d1
dx
由于标记面移动引起的扩散通量 J Am 1v m
扩散总通量为（对于固定坐标）
(J A )t
D1
d 1
dx
1vm
同理可得
(JB )t
D2
d 2
dx
2vm
达肯方程
在扩散过程中，假设密度保持不变，则 (J A )t (JB )t
考虑间隙固溶体的情况，间隙原子扩散一般都是 从一个间隙位置跳动到另一个间隙位置，即发生 间隙扩散。从1跳到2位置，需要挤开旁边的两个 原子，所以产生阻力，形成所谓“能垒”，只有 自由能超过G2的原子才能发生跳动。
1 2
G2
G1
1
2
位置
根据麦克斯韦—波尔兹曼定律，在N个溶质 原子中，自由能大于G2的原子数为：
2
1) exp( G )
N
kT
kT
这个数值表示了在 T 温度下具有跳跃 条件的原子分数。
在一块含有n个原子的晶体中，在dt 时间内共跳跃m次，则每个原子在单位 时间内跳跃次数(称为跳跃频率)为：
Г= m/n·dt
设1面和2面的横截面积均为单位面积，
分别含溶质原子n1和n2，
1
2
原子跳动频率均为，
4.2 扩散的微观理论
4.2.1 随机行走与扩散
因为 所以
(H U V P)
代入D=d2P
可得：
令 则
扩散系数与温度之间的关系
式中Do称为扩散常数，只与扩散机制和材料有关； ΔU是间隙扩散时溶质原子跳跃所需额外的热力学 内能，该迁移能等于间隙原子的扩散激活能Q。
空位扩散机制
扩散机制：在置换固溶体中，由于晶格中存在空位，空位周围 的原子(包括溶剂和溶质原子)由热运动可能进入空位，即原子 利用空位最后达到迁移，当存在化学位梯度时，溶质原子就会 发生定向的扩散迁移，这是置换原子扩散的主要方式。 扩散进行有两个要求条件，一是有空位存在，二是空位周围的 原子从原来的平衡位置进入空位也要一定的激活能。
晶体缺陷对扩散起着快速通道的作用称为短 路扩散。在实际生产中这几种扩散同时进行， 并且在温度较低时，所起的作用更大。
4.3 扩散机制
1、交换机制
直接交换机制：相邻的两个原子互换 了位置。
然而由于这种正常位置上的原子对调 位置需要克服的能垒很高，引起附近 点阵原子的强烈畸变，因而无论在理 论上或是实验上，它都是失败的。
后来把这种扩散偶中由于扩散系数不同而引起对接面移动 的现象称为柯肯达尔效应。
发生柯肯达尔效应原因：溶质和溶剂原子扩散速率不同。
标记漂移产生的示意图
达肯方程
标志物
在柯肯达尔效应中，假定标记面的 移动速度计为vm，相对观察者，原 子的扩散可进行如下的分析。
(1)原子相对标记面的迁移 设迁移速度为vd，相应引起的移动 通量为JAd。
图 环形换位扩散模型
2、间隙机制
(1) 间隙扩散是小的间隙原子，扩散时由一个间隙位置跃 迁到另一个间隙位置。H、N、C 间隙型溶质原子。间隙 原子换位时，必须从基体原子之间挤过去，这就要求间隙 原子具有足够的激活能来克服基体原子造成的势垒。
(2) 置换型溶质原子间隙机制扩散方式： a. 推填机制 (间接间隙机制）：一个填隙原子把近邻的、 在晶格结点上的原子推到附近的间隙中，而自己填到被推 出去的原子的原来位置 b. 挤列机制：一个间隙原子挤入一列原子中
即
代入D=d2P
可得：
令 所以
式中扩散激活能Q=Uv+U，由此表明，置换扩 散或自扩散除了需要原子迁移能U外还比间隙 型扩散增加了一项空位形成能Uv。实验证明，
置换扩散或自扩散的激活能均比间隙扩散激活 能要大，如表所示。
某些扩散系统的D0与Q(近似值)
对于间隙型扩散、置换型扩散及纯金属的自扩散都可导 出D：
空位机制
图 面心立方晶体的空位扩散机制
柯肯达尔(Kirkendall)效应
Kirkendall在1947做过如下实验， 在Cu－30%Zn的合金两边焊上纯 铜，并在焊缝处加入一些细的Mo 丝作标记，如图所示。
Kirkendall–Smigelskas
先测定标记之间的距离，放置 在785℃下保温(为加快扩散速度 )。经过一天(24hr)后再测量，发 现标记之间的距离缩短了 0.0015cm；经过56天后，标记之 间的距离缩短了0.0124cm。
原子扩散随机行走(random walk)，也称“醉步” 是指扩散原子的行走是向各个方向随机跳跃的。 其扩散距离与扩散时间的平方根成正比。
Rn2 2.45 Dt
假定原子的跳动频率是Γ，即每秒跳动Γ次，则t秒内跳动的次数
n= Γt
因此
Rn2 tr2
可以证明
Rn2 Dt γ是由物质结构决定的几何参数
lnD lnD0
k=-Q/R
ln
D
ln
D0
Q RT
1/T
扩散系数与温度的关系
Ag的自扩散系数D与1/T的关系
从图中可以看出： (1) 单晶体的扩散系数表征晶内Dl；而多晶体
的D是晶内扩散和晶界扩散共同作用的表象 扩散系数。 (2) 对Ag来说 700ºC以上 D单晶≈D多；700ºC 以下 D单晶<D多晶。 (3) 晶界扩散比晶内扩散快的多。而对于间隙 固溶体,溶质原子半径小易扩散，其Dl ≈ Db。
假如Cu，Zn原子的扩散系数相等，等量的Cu，Zn原子互 扩散，由于Zn的原子尺寸大于Cu，纯Cu部分的晶格常数 可能增大，黄铜部分可能减小，就会使钼丝向黄铜部分移 动。但是计算值只有观察值的1/5~1/10。可见点阵常数的 变化不是钼丝移动的主要原因。
实验说明：通过钼丝平面的Zn原子的扩散流大于Cu原子 的扩散流。这一现象在许多合金系如Au-Ni，Cu-Ni，CuZn，Fe-Ni，Ag-Zn，Ni-Co等组成的扩散偶中被发现，而 且标志物总是朝着含低熔点组元较多的一方移动，相对而 言，低熔点组元扩散快，高熔点组元扩散慢。
(2)标记面的移动速度为vm, 相 应引起的移动通量为JAm。
则原子相对于地面的移动速度
vt=vm+vd
高熔点A 低熔点B t=0
y y'
1 O
2
x' v
x
达肯方程
对于观察者（或者地面）来说，A原子相对观察者 的总迁移通量是两个移动通量的叠加：
(J A )t J Ad J Am
其中，纯由原子扩散引起的扩散通量可由Fick第
间隙扩散机制
扩散机制：溶质原子存在晶格的间隙中，如Fe中
的C、N、H等元素，扩散过程是间隙原子从所在的 间隙，挤过晶格原子的空隙，到达相邻的另一个间 隙。
对于间隙型扩散，设原子的振动频率为 ，溶 质原子最邻近的间隙位置数为z (即间隙配位数)，
则 应是，z，以及具有跳跃条件的原子分数 exp(G/kT)的乘积，即
NA
J
(n1 n2 )P
Ar NA
d2P d
dx
与菲克第一定律对比，可知：D=Pd2
从微观分析表明，扩散系数与扩散方向相邻晶面 的面间距d、原子的跃迁频率Γ、跃迁几率P的关 系。 前两项取决于固溶体的结构，而Γ除了与物 质本身性质相关，还与温度密切相关。
2、扩散系数（diffusion coefficient）
)
d 2
dx
D d2
dx
其中 D D1x2 D2 x1 为互扩散系数
D1，D2分别叫组元A和B的本征扩散系数。从实际 意义上看，扩散方程中的D对于置换型溶质扩散来 说就是互扩散系数 。通过测定互扩散系数，可以 求得本征扩散系数。
图 直接换位扩散模型
1. 交换机制
环形交换机制，其所涉及到的能量远小于直接交换。 不管是直接交换还是环形交换扩散需要两个或两个以上的
原子协同跳动，所需能量较高。结果是垂直于扩散方向平 面的净通量等于0，即扩散原子是等量互换。这种互换机 制不可能出现柯肯达尔效应。金属液体或非晶体中可能容 易实现。
D = Doexp（－Q / RT） （Ahrrenius equation） 注：(1) Do为扩散常数,与△S有关,其数值可查。R为气 体常数，其值为8.31J/（mol.K）
(2) Q为每摩尔原子扩散的激活能(activation energy of diffusion)。对于间隙型扩散,Q为原子跳跃所需要的迁 移能△U；对于置换型扩散或自扩散，Q包括原子迁移 能△U和空位形成能△Uv。Q数值可查。
则
Dt tr2
D 1 r 2 r 2 1 r 2 三维
6
爱因斯坦方程
4.2.2 原子的跳跃和扩散系数
1.原子跳跃频率（jump frequency） 原子扩散必须克服一定的能垒,其大小
△G = G2－G1，只有那些自由能超过G2的 原子才能发生跳跃（jump migration） 。
晶体中的扩散机制 a-直接交换 b-环形交换 c-空位 d-间隙 e-推填 f-挤列
3. 空位机制 与柯肯达尔效应
晶体中总有一定数量的空位，其数量随温度升高而增加。 从热力学上讲，在一定温度下，空位数目具有一个平衡值。 这些空位的存在使原子迁移更容易，故大多数情况下，原 子扩散是借助空位机制 。柯肯达尔效应最重要的意义就是 支持了空位扩散机制。
n(G>G2)=Nexp(－G2/kT)
同样，自由能大于G1的原子数为：
n(G>G1)=Nexp(－G1/kT)
则：
n(G G2 ) e (G2 G1 )/ kT n(G G1 )
由于G1处于平衡位置即最低自由能，所以n(G>G1)= N， 则上式可以写成：
G G n(G G2 ) exp(
当组元A和B的扩散系数相等时，标记漂移速度为零
达肯方程
(J A )t
D1
d 1
dx
1vm
由以上各式可得
(J A )t
D1
d 1
dx
1( D1
D2）ddxx1
( D1 x2
D2 x1 )
d 1
dx
D
d 1
dx
同理可得
(JB )t
( D1x2
D2
x1
(3) R为气体常数，T为绝对温度（K）
(4) 不同扩散机制的扩散系数表达形式相同，但D0和 Q值不同。
3. 扩散激活能
扩散激活能：原子跃迁时所需克服周围原子对其束缚的势垒。
间隙扩散激活能与扩散 系数的关系 D=D0exp(-Q/RT)
D0：扩散常数。 空位扩散激活能与扩散 系数的关系
D=D0exp(-△E/kT) △E=△Ef(空位形成
功)+△Em（原子迁移 激活能）。
晶体中原子扩散机制不同,其扩散激活能 （activation energy）不同。但可以通过实验求得扩 散激活能Q。其方法如下：D=D0exp(-Q/RT)
lnD = lnDo－Q/(R·T)
由实验确定lnD与1/T的关系。若lnD～1/T呈直线关 系,可用外推法求出lnDo，直线的斜率为－Q/R。 一般Do与Q和T无关，只与扩散机制及材料有关。
1、2之间晶面间距为d，
由晶面1跳到晶面2及由晶 面2跳到晶面1的几率P相同
则在时间间隔dt内由晶面1跳到晶面2及由晶面2 跳到晶面1的溶质原子数分别为
N1-2=n1Pdt
N2-1= n2Pdt
设n1>n2，则晶面2净增加的溶质原子数为
N1-2 -N2-1 =（n1－n2）Pdt
即
N12 N21 Ar n1 n2 PtAr Jt
NA
NA
J (n1 n2 )PAr NA
1、2之间晶面间距为d ，可得质量浓度：
ρ1=n1Ar/NAd； ρ 2=n2Ar/NAd 量纲
而从连续分布来看，2面上的质量浓度又可表示为：
2
1
d
dx
d
n2
n1
d
dx
d2
NA Ar
代入式 J n1 n2 PAr 中，有：
即
vm (1
2 )
D1
d 1
dx
D2
d 2
dx
vm
D1
dx1 dx
D2
dx2 dx
D1
dx1 dx
D2
d (1 x1) dx
(D1 D2）ddxx1
同理 其中vm ( ຫໍສະໝຸດ 2 -D1）ddxx2x1
1 1 2
x2
2 1 2
分别表示组元A和组元B的摩尔分数，并有 x1 x2 1
温度 T 时晶体中平衡的空位摩尔分数：
式中，UV为空位形成能； Sv为熵增值。
在置换固溶体或纯金属中，若配位数为 Z0，则空位周围原子所占分数应为
设扩散原子跳入空位所需的自由能G＝U－TS。 那么，原子跳跃频率应是原子的振动频率，空
位周围原子所占分数Z0Xv和具有跳跃条件的原子
所占分数exp(－G/kT)的乘积，
一定律求出
J
Ad
D1
d1
dx
由于标记面移动引起的扩散通量 J Am 1v m
扩散总通量为（对于固定坐标）
(J A )t
D1
d 1
dx
1vm
同理可得
(JB )t
D2
d 2
dx
2vm
达肯方程
在扩散过程中，假设密度保持不变，则 (J A )t (JB )t
考虑间隙固溶体的情况，间隙原子扩散一般都是 从一个间隙位置跳动到另一个间隙位置，即发生 间隙扩散。从1跳到2位置，需要挤开旁边的两个 原子，所以产生阻力，形成所谓“能垒”，只有 自由能超过G2的原子才能发生跳动。
1 2
G2
G1
1
2
位置
根据麦克斯韦—波尔兹曼定律，在N个溶质 原子中，自由能大于G2的原子数为：
2
1) exp( G )
N
kT
kT
这个数值表示了在 T 温度下具有跳跃 条件的原子分数。
在一块含有n个原子的晶体中，在dt 时间内共跳跃m次，则每个原子在单位 时间内跳跃次数(称为跳跃频率)为：
Г= m/n·dt
设1面和2面的横截面积均为单位面积，
分别含溶质原子n1和n2，
1
2
原子跳动频率均为，