苏科版八年级《轴对称图形》拔高题

苏科版八年级《轴对称图形》拔高题
一．解答题（共20小题）
1．（2017秋•太仓市期中）如图，已知在△ABC中，BA＝AC＝2且∠BAC＝120°，点D 在直线BC上运动，画出点D在运动中使得△ABD为等腰三角形的所有的位置并求相应的AD的长．
2．（2015秋•苏州期末）已知，如图，∠ABC＝∠ADC＝90°，M、N分别是AC、BD的中点．
（1）求证：MN⊥BD；
（2）在边AD上能否找到一点P，使得PB＝PD？请说明理由．
3．（2015秋•九台市期末）如图，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD＝CD、BE＝CF．（1）求证：AD平分∠BAC；
（2）直接写出AB+AC与AE之间的等量关系．
4．（2016秋•吴中区期中）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，AE是过A的一条直线，且B，C在AE的两侧，D在A，E之间，BD⊥AE于D，CE⊥AE于E，求证：BD ＝DE+CE．
5．（2014秋•涞水县期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝100°，点D在BC边上，△ABD、△AFD关于直线AD对称，∠FAC的角平分线交BC边于点G，连接FG．（1）求∠DFG的度数．
（2）设∠BAD＝θ，当θ为何值时，△DFG为等腰三角形？
6．（2020春•重庆期末）如图（1），已知锐角△ABC中，CD、BE分别是AB、AC边上的高，M、N分别是线段BC、DE的中点．
（1）求证：MN⊥DE．
（2）连结DM，ME，猜想∠A与∠DME之间的关系，并证明猜想．
（3）当∠A变为钝角时，如图（2），上述（1）（2）中的结论是否都成立，若结论成立，直接回答，不需证明；若结论不成立，说明理由．
7．（2020•温州模拟）如图，△ABC中，∠ABC＝∠ACB，点D在BC所在的直线上，点E 在射线AC上，且AD＝AE，连接DE．
（1）如图①，若∠B＝∠C＝35°，∠BAD＝80°，求∠CDE的度数；
（2）如图②，若∠ABC＝∠ACB＝75°，∠CDE＝18°，求∠BAD的度数；
（3）当点D在直线BC上（不与点B、C重合）运动时，试探究∠BAD与∠CDE的数量关系，并说明理由．
8．（2019秋•东台市期末）在等边△ABC的两边AB、AC所在直线上分别有两点M、N，D 为△ABC外一点，且∠MDN＝60°，∠BDC＝120°，BD＝DC．探究：当M、N分别在直线AB、AC上移动时，BM、NC、MN之间的数量关系及△AMN的周长Q与等边△ABC 的周长L的关系．
（1）如图1，当点M、N边AB、AC上，且DM＝DN时，BM、NC、MN之间的数量关系是；此时＝；
（2）如图2，点M、N在边AB、AC上，且当DM≠DN时，猜想（I）问的两个结论还成立吗？若成立请直接写出你的结论；若不成立请说明理由．
（3）如图3，当M、N分别在边AB、CA的延长线上时，探索BM、NC、MN之间的数量关系如何？并给出证明．
9．（2019秋•北仑区期末）如图，△ABC中，∠C＝90°，AB＝5cm，BC＝3cm，若动点P 从点C开始，按C→A→B→C的路径运动，且速度为每秒1cm，设出发的时间为t秒．（1）出发2秒后，求△ABP的周长．
（2）问t为何值时，△BCP为等腰三角形？
（3）另有一点Q，从点C开始，按C→B→A→C的路径运动，且速度为每秒2cm，若P、
Q两点同时出发，当P、Q中有一点到达终点时，另一点也停止运动．当t为何值时，直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分？
10．（2019秋•海州区期中）如图，在△ACB中，∠ACB＝90°，∠A＝75°，点D是AB的中点．将△ACD沿CD翻折得到△A′CD，连接A′B．
（1）求证：CD∥A′B；
（2）若AB＝4，求A′B2的值．
11．（2019春•广陵区校级期中）发现（1）如图1，把△ABC沿DE折叠，使点A落在点A’处，请你判断∠1+∠2与∠A有何数量关系，直接写出你的结论，不必说明理由
思考（2）如图2，BI平分∠ABC，CI平分∠ACB，把△ABC折叠，使点A与点I重合，若∠1+∠2＝100°，求∠BIC的度数；
拓展（3）如图3，在锐角△ABC中，BF⊥AC于点F，CG⊥AB于点G，BF、CG交于点H，把△ABC折叠使点A和点H重合，试探索∠BHC与∠1+∠2的关系，并证明你的结论．
12．（2019•广陵区校级二模）如图，将矩形ABCD先过点A的直线L1翻折，点DA的对应点D′刚好落在边BC上，直线L1交DC于点F；再将矩形ABCD沿过点A的直线L2翻折，使点B的对应点G落在AD′上，EG的延长线交AD于点H．
（1）当四边形AED′H是平行四边形时，求∠AD′H的度数．
（2）当点H与点D刚好重合时，试判断△AEF的形状，并说明理由．
13．（2018秋•江阴市期中）如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1．请同学们利用网格线进行画图：
（1）在图1中，画一个顶点为格点、面积为5的正方形；
（2）在图2中，已知线段AB、CD，画线段EF，使它与AB、CD组成轴对称图形；（要求画出所有符合题意的线段）
（3）在图3中，找一格点D，满足：①到CB、CA的距离相等；②到点A、C的距离相等．
14．（2012•淮安）阅读理解
如图1，△ABC中，沿∠BAC的平分线AB1折叠，剪掉重复部分；将余下部分沿∠B1A1C 的平分线A1B2折叠，剪掉重复部分；…；将余下部分沿∠B n A n C的平分线A n B n+1折叠，点B n与点C重合，无论折叠多少次，只要最后一次恰好重合，∠BAC是△ABC的好角．小丽展示了确定∠BAC是△ABC的好角的两种情形．情形一：如图2，沿等腰三角形ABC 顶角∠BAC的平分线AB1折叠，点B与点C重合；情形二：如图3，沿∠BAC的平分线AB1折叠，剪掉重复部分；将余下部分沿∠B1A1C的平分线A1B2折叠，此时点B1与点C 重合．
探究发现
（1）△ABC中，∠B＝2∠C，经过两次折叠，∠BAC是不是△ABC的好角？（填“是”或“不是”）．
（2）小丽经过三次折叠发现了∠BAC是△ABC的好角，请探究∠B与∠C（不妨设∠B ＞∠C）之间的等量关系．根据以上内容猜想：若经过n次折叠∠BAC是△ABC的好角，则∠B与∠C（不妨设∠B＞∠C）之间的等量关系为．
应用提升
（3）小丽找到一个三角形，三个角分别为15°、60°、105°，发现60°和105°的两个角都是此三角形的好角．
请你完成，如果一个三角形的最小角是4°，试求出三角形另外两个角的度数，使该三角形的三个角均是此三角形的好角．
15．（2011•房山区一模）已知：等边三角形ABC
（1）如图1，P为等边△ABC外一点，且∠BPC＝120°．试猜想线段BP、PC、AP之间的数量关系，并证明你的猜想；
（2）如图2，P为等边△ABC内一点，且∠APD＝120°．求证：PA+PD+PC＞BD．
16．（2009•益阳）如图，△ABC中，已知∠BAC＝45°，AD⊥BC于D，BD＝2，DC＝3，求AD的长．
小萍同学灵活运用轴对称知识，将图形进行翻折变换，巧妙地解答了此题．
请按照小萍的思路，探究并解答下列问题：
（1）分别以AB、AC为对称轴，画出△ABD、△ACD的轴对称图形，D点的对称点为E、F，延长EB、FC相交于G点，证明四边形AEGF是正方形；
（2）设AD＝x，利用勾股定理，建立关于x的方程模型，求出x的值．
17．（2007•太原）数学课上，同学们探究下面命题的正确性：顶角为36°的等腰三角形具有一种特性，即经过它某一顶点的一条直线可把它分成两个小等腰三角形．为此，请你解答问题（1）．
（1）已知：如图①，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，直线BD平分∠ABC交AC于点D．求证：△ABD与△DBC都是等腰三角形；
（2）在证明了该命题后，小乔发现：下面两个等腰三角形如图②、③也具有这种特性．请你在图②、图③中分别画出一条直线，把它们分成两个小等腰三角形，并在图中标出所有等腰三角形两个底角的度数；
（3）接着，小乔又发现：其它一些非等腰三角形也具有这样的特性，即过它其中一个顶点画一条直线可以将原三角形分成两个小等腰三角形．请你画出两个不同类型且具有这种特性的三角形的示意图，并在图中标出可能的各内角的度数．（说明：要求画出的两个三角形不相似，且不是等腰三角形．）
（4）请你写出两个符合（3）中一般规律的非等腰三角形的特征．18．（2007•辽宁）如图，已知等边三角形ABC中，点D，E，F分别为边AB，AC，BC的中点，M为直线BC上一动点，△DMN为等边三角形（点M的位置改变时，△DMN也随之整体移动）．
（1）如图1，当点M在点B左侧时，请你判断EN与MF有怎样的数量关系？点F是否在直线NE上？都请直接写出结论，不必证明或说明理由；
（2）如图2，当点M在BC上时，其它条件不变，（1）的结论中EN与MF的数量关系是否仍然成立？若成立，请利用图2证明；若不成立，请说明理由；
（3）若点M在点C右侧时，请你在图3中画出相应的图形，并判断（1）的结论中EN 与MF的数量关系是否仍然成立？若成立，请直接写出结论，不必证明或说明理由．
19．（2007•临沂）如图，已知矩形ABCD．
（1）在图中作出△CDB沿对角线BD所在的直线对折后的△C′DB，C点的对应点为C′（用尺规作图，保留清晰的作图痕迹，简要写明作法）；
（2）设C′B与AD的交点为E，若△EBD的面积是整个矩形面积的，求∠DBC的度数．
20．（2007•无锡）（1）已知△ABC中，∠A＝90°，∠B＝67.5°，请画一条直线，把这个三角形分割成两个等腰三角形．（请你选用下面给出的备用图，把所有不同的分割方法都画出来．只需画图，不必说明理由，但要在图中标出相等两角的度数）
（2）已知△ABC中，∠C是其最小的内角，过顶点B的一条直线把这个三角形分割成了两个等腰三角形，请探求∠ABC与∠C之间的关系．
苏科版八年级《轴对称图形》拔高题
参考答案与试题解析
一．解答题（共20小题）
1．（2017秋•太仓市期中）如图，已知在△ABC中，BA＝AC＝2且∠BAC＝120°，点D 在直线BC上运动，画出点D在运动中使得△ABD为等腰三角形的所有的位置并求相应的AD的长．
【解答】解：共有4个点满足条件．
过A作AH⊥BC于H
∵AB＝AC＝2，∠BAC＝120°
∴∠ABH＝30°
∴AH＝BH＝3
①如图D1，△ABD1中AB＝BD1＝2
∴D1H＝BD1+BH＝2+3
∴Rt△AD1H中AD12＝D1H2+AH2＝3+（3+2）2＝24+12＝（3+）2
∴AD1＝3+
②如图D2，△ABD2中AD2＝BD2设AD2＝x D2H＝BH﹣BD2＝3﹣x
∴Rt△AD2H中AD22＝AH2+D2H2x2＝3+（3﹣x）2
∴x＝2
∴AD2＝2．
③如图D3，△ABD3中AB＝BD3＝2
∴HD3＝2﹣3
Rt△AD3H中AD32＝AH2+HD32＝3+（2﹣3）2＝24﹣12＝（3﹣）2
∴AD3＝3﹣
④如图D4，D4与C重合，AB＝AC＝AD4＝2．
2．（2015秋•苏州期末）已知，如图，∠ABC＝∠ADC＝90°，M、N分别是AC、BD的中点．
（1）求证：MN⊥BD；
（2）在边AD上能否找到一点P，使得PB＝PD？请说明理由．
【解答】解：（1）连接BM、CM，
∵∠ABC＝∠ADC＝90°，M是AC的中点，
∴BM＝AC，DM＝AC，
∴BM＝DM，又N为BD的中点，
∴MN⊥BD；
（2）作线段BD的垂直平分线交AD于P，
根据线段垂直平分线上的点与线段两个端点的距离相等可知，
PB＝PD．
3．（2015秋•九台市期末）如图，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD＝CD、BE＝CF．（1）求证：AD平分∠BAC；
（2）直接写出AB+AC与AE之间的等量关系．
【解答】（1）证明：∵DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
∴∠E＝∠DFC＝90°，
∴△BDE与△CDE均为直角三角形，
∵
∴△BDE≌△CDF，
∴DE＝DF，即AD平分∠BAC；
（2）AB+AC＝2AE．
证明：∵BE＝CF，AD平分∠BAC，
∴∠EAD＝∠CAD，
∵∠E＝∠AFD＝90°，
∴∠ADE＝∠ADF，
在△AED与△AFD中，
∵，
∴△AED≌△AFD，
∴AE＝AF，
∴AB+AC＝AE﹣BE+AF+CF＝AE+AE＝2AE．
4．（2016秋•吴中区期中）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，AE是过A的一条直线，且B，C在AE的两侧，D在A，E之间，BD⊥AE于D，CE⊥AE于E，求证：BD ＝DE+CE．
【解答】证明：∵∠CAE+∠BAD＝90°，∠BAD+∠ABD＝90°，
∴∠CAE＝∠ABD．
∵∠ADB＝∠AEC＝90°，AB＝AC，
∴△ABD≌△CAE．
∴AD＝CE，BD＝AE．
∵AE＝AD+DE＝CE+DE，
∴BD＝DE+CE．
5．（2014秋•涞水县期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝100°，点D在BC边上，△ABD、△AFD关于直线AD对称，∠FAC的角平分线交BC边于点G，连接FG．（1）求∠DFG的度数．
（2）设∠BAD＝θ，当θ为何值时，△DFG为等腰三角形？
【解答】解：（1）∵AB＝AC，∠BAC＝100°，
∴∠B＝∠C＝40°．
∵△ABD和△AFD关于直线AD对称，
∴△ADB≌△ADF，
∴∠B＝∠AFD＝40°，AB＝AF∠BAD＝∠FAD＝θ，
∴AF＝AC．
∵AG平分∠FAC，
∴∠FAG＝∠CAG．
在△AGF和△AGC中，
，
∴△AGF≌△AGC（SAS），
∴∠AFG＝∠C．
∵∠DFG＝∠AFD+∠AFG，
∴∠DFG＝∠B+∠C＝40°+40°＝80°．
答：∠DFG的度数为80°；
（2）当GD＝GF时，
∴∠GDF＝∠GFD＝80°．
∵∠ADG＝40°+θ，
∴40°+80°+40°+θ+θ＝180°，
∴θ＝10°．
当DF＝GF时，
∴∠FDG＝∠FGD．
∵∠DFG＝80°，
∴∠FDG＝∠FGD＝50°．
∴40°+50°+40°+2θ＝180°，
∴θ＝25°．
当DF＝DG时，
∴∠DFG＝∠DGF＝80°，
∴∠GDF＝20°，
∴40°+20°+40°+2θ＝180°，
∴θ＝40°．
∴当θ＝10°，25°或40°时，△DFG为等腰三角形．
6．（2020春•重庆期末）如图（1），已知锐角△ABC中，CD、BE分别是AB、AC边上的高，M、N分别是线段BC、DE的中点．
（1）求证：MN⊥DE．
（2）连结DM，ME，猜想∠A与∠DME之间的关系，并证明猜想．
（3）当∠A变为钝角时，如图（2），上述（1）（2）中的结论是否都成立，若结论成立，直接回答，不需证明；若结论不成立，说明理由．
【解答】（1）证明：如图（1），连接DM，ME，
∵CD、BE分别是AB、AC边上的高，M是BC的中点，
∴DM＝BC，ME＝BC，
∴DM＝ME，
又∵N为DE中点，
∴MN⊥DE；
（2）在△ABC中，∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A，
∵DM＝ME＝BM＝MC，
∴∠BMD+∠CME＝（180°﹣2∠ABC）+（180°﹣2∠ACB），＝360°﹣2（∠ABC+∠ACB），
＝360°﹣2（180°﹣∠A），
＝2∠A，
∴∠DME＝180°﹣2∠A；
（3）结论（1）成立，结论（2）不成立，
理由如下：在△ABC中，∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠BAC，
∵DM＝ME＝BM＝MC，
∴∠BME+∠CMD＝2∠ACB+2∠ABC，
＝2（180°﹣∠BAC），
＝360°﹣2∠BAC，
∴∠DME＝180°﹣（360°﹣2∠BAC），
＝2∠BAC﹣180°．
7．（2020•温州模拟）如图，△ABC中，∠ABC＝∠ACB，点D在BC所在的直线上，点E 在射线AC上，且AD＝AE，连接DE．
（1）如图①，若∠B＝∠C＝35°，∠BAD＝80°，求∠CDE的度数；
（2）如图②，若∠ABC＝∠ACB＝75°，∠CDE＝18°，求∠BAD的度数；
（3）当点D在直线BC上（不与点B、C重合）运动时，试探究∠BAD与∠CDE的数量关系，并说明理由．
【解答】解：（1）∵∠B＝∠C＝35°，
∴∠BAC＝110°，
∵∠BAD＝80°，
∴∠DAE＝30°，
∴∠ADE＝∠AED＝75°，
∴∠CDE＝180°﹣35°﹣30°﹣75°＝40°；
（2）∵∠ACB＝75°，∠CDE＝18°，
∴∠E＝75°﹣18°＝57°，
∴∠ADE＝∠AED＝57°，
∴∠ADC＝39°，
∵∠ABC＝∠ADB+∠DAB＝75°，
∴∠BAD＝36°；
（3）设∠ABC＝∠ACB＝y°，∠ADE＝∠AED＝x°，∠CDE＝α，∠BAD＝β
①如图1，当点D在点B的左侧时，∠ADC＝x°﹣α，
∴，
（1）﹣（2）得2α﹣β＝0，
∴2α＝β；
②如图2，当点D在线段BC上时，∠ADC＝x°+α，
∴，
（2）﹣（1）得α＝β﹣α，
∴2α＝β；
③如图3，当点D在点C右侧时，∠ADC＝x°﹣α，
∴，
（2）﹣（1）得2α﹣β＝0，
∴2α＝β．
综上所述，∠BAD与∠CDE的数量关系是2∠CDE＝∠BAD．
8．（2019秋•东台市期末）在等边△ABC的两边AB、AC所在直线上分别有两点M、N，D 为△ABC外一点，且∠MDN＝60°，∠BDC＝120°，BD＝DC．探究：当M、N分别在直线AB、AC上移动时，BM、NC、MN之间的数量关系及△AMN的周长Q与等边△ABC 的周长L的关系．
（1）如图1，当点M、N边AB、AC上，且DM＝DN时，BM、NC、MN之间的数量关
系是BM+NC＝MN；此时＝；
（2）如图2，点M、N在边AB、AC上，且当DM≠DN时，猜想（I）问的两个结论还成立吗？若成立请直接写出你的结论；若不成立请说明理由．
（3）如图3，当M、N分别在边AB、CA的延长线上时，探索BM、NC、MN之间的数量关系如何？并给出证明．
【解答】解：（1）如图1，BM、NC、MN之间的数量关系BM+NC＝MN．
此时．（2分）．
理由：∵DM＝DN，∠MDN＝60°，
∴△MDN是等边三角形，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A＝60°，
∵BD＝CD，∠BDC＝120°，
∴∠DBC＝∠DCB＝30°，
∴∠MBD＝∠NCD＝90°，
∵DM＝DN，BD＝CD，
∴Rt△BDM≌Rt△CDN，
∴∠BDM＝∠CDN＝30°，BM＝CN，
∴DM＝2BM，DN＝2CN，
∴MN＝2BM＝2CN＝BM+CN；
∴AM＝AN，
∴△AMN是等边三角形，
∵AB＝AM+BM，
∴AM：AB＝2：3，
∴＝；
（2）猜想：结论仍然成立．（3分）．
证明：在NC的延长线上截取CM1＝BM，连接DM1．（4分）∵∠MBD＝∠M1CD＝90°，BD＝CD，
∴△DBM≌△DCM1，
∴DM＝DM1，∠MBD＝∠M1CD，M1C＝BM，
∵∠MDN＝60°，∠BDC＝120°，
∴∠M1DN＝∠MDN＝60°，
∴△MDN≌△M1DN，
∴MN＝M1N＝M1C+NC＝BM+NC，
∴△AMN的周长为：AM+MN+AN＝AM+BM+CN+AN＝AB+AC，
∴＝；
（3）证明：在CN上截取CM1＝BM，连接DM1．（4分）
可证△DBM≌△DCM1，
∴DM＝DM1，（5分）
可证∠M1DN＝∠MDN＝60°，
∴△MDN≌△M1DN，
∴MN＝M1N，（7分）．
∴NC﹣BM＝MN．（8分）．
9．（2019秋•北仑区期末）如图，△ABC中，∠C＝90°，AB＝5cm，BC＝3cm，若动点P 从点C开始，按C→A→B→C的路径运动，且速度为每秒1cm，设出发的时间为t秒．（1）出发2秒后，求△ABP的周长．
（2）问t为何值时，△BCP为等腰三角形？
（3）另有一点Q，从点C开始，按C→B→A→C的路径运动，且速度为每秒2cm，若P、Q两点同时出发，当P、Q中有一点到达终点时，另一点也停止运动．当t为何值时，直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分？
【解答】解：（1）如图1，由∠C＝90°，AB＝5cm，BC＝3cm，
∴AC＝4，动点P从点C开始，按C→A→B→C的路径运动，且速度为每秒1cm，
∴出发2秒后，则CP＝2，
∵∠C＝90°，
∴PB＝＝，
∴△ABP的周长为：AP+PB+AB＝2+5+＝7．
（2）①如图2，若P在边AC上时，BC＝CP＝3cm，
此时用的时间为3s，△BCP为等腰三角形；
②若P在AB边上时，有三种情况：
i）如图3，若使BP＝CB＝3cm，此时AP＝2cm，P运动的路程为2+4＝6cm，
所以用的时间为6s，△BCP为等腰三角形；
ii）如图4，若CP＝BC＝3cm，过C作斜边AB的高，根据面积法求得高为2.4cm，
作CD⊥AB于点D，
在Rt△PCD中，PD＝＝＝1.8，
所以BP＝2PD＝3.6cm，
所以P运动的路程为9﹣3.6＝5.4cm，
则用的时间为5.4s，△BCP为等腰三角形；
ⅲ）如图5，若BP＝CP，此时P应该为斜边AB的中点，P运动的路程为4+2.5＝6.5cm 则所用的时间为6.5s，△BCP为等腰三角形；
综上所述，当t为3s、5.4s、6s、6.5s时，△BCP为等腰三角形
（3）如图6，当P点在AC上，Q在AB上，则PC＝t，BQ＝2t﹣3，
∵直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分，
∴t+2t﹣3＝3，
∴t＝2；
如图7，当P点在AB上，Q在AC上，则AP＝t﹣4，AQ＝2t﹣8，
∵直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分，
∴t﹣4+2t﹣8＝6，
∴t＝6，
∴当t为2或6秒时，直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分．
10．（2019秋•海州区期中）如图，在△ACB中，∠ACB＝90°，∠A＝75°，点D是AB的中点．将△ACD沿CD翻折得到△A′CD，连接A′B．
（1）求证：CD∥A′B；
（2）若AB＝4，求A′B2的值．
【解答】解：（1）∵∠ACB＝90°，点D是AB的中点
∴AD＝BD＝CD＝AB．
∴∠ACD＝∠A＝75°．
∴∠ADC＝30°．
∵△A′CD由△ACD沿CD翻折得到，
∴△A′CD≌△ACD．
∴AD＝AD，∠A′DC＝∠ADC＝30°．
∴AD＝A′D＝DB，∠ADA′＝60°．
∴∠A′DB＝120°．
∴∠DBA′＝∠DA′B＝30°．
∴∠ADC＝∠DBA'．
∴CD∥A′B．
（2）连接AA′
∵AD＝A′D，∠ADA′＝60°，
∴△ADA′是等边三角形．
∴AA′＝AD＝AB，∠DAA′＝60°．
∴∠AA′B＝180°﹣∠A′AB﹣∠ABA′＝90°．
∵AB＝4，
∴AA′＝2．
∴由勾股定理得：A′B2＝AB2﹣AA′2＝42﹣22＝12．
11．（2019春•广陵区校级期中）发现（1）如图1，把△ABC沿DE折叠，使点A落在点A’处，请你判断∠1+∠2与∠A有何数量关系，直接写出你的结论，不必说明理由
思考（2）如图2，BI平分∠ABC，CI平分∠ACB，把△ABC折叠，使点A与点I重合，若∠1+∠2＝100°，求∠BIC的度数；
拓展（3）如图3，在锐角△ABC中，BF⊥AC于点F，CG⊥AB于点G，BF、CG交于点H，把△ABC折叠使点A和点H重合，试探索∠BHC与∠1+∠2的关系，并证明你的结论．
【解答】解：（1）∠1+∠2＝2∠A；
理由：根据翻折的性质，∠ADE＝（180°﹣∠1），∠AED＝（180°﹣∠2），
∵∠A+∠ADE+∠AED＝180°，
∴∠A+（180﹣∠1）+（180﹣∠2）＝180°，
整理得2∠A＝∠1+∠2；
（2）由（1）∠1+∠2＝2∠A，得2∠A＝100°，
∴∠A＝50°
∵IB平分∠ABC，IC平分∠ACB，
∴∠IBC+∠ICB＝（∠ABC+∠ACB）＝（180°﹣∠A）＝90°﹣∠A，
∴∠BIC＝180°﹣（∠IBC+∠ICB）＝180°﹣（90°﹣∠A）＝90°+×50°＝115°；
（3）∵BF⊥AC，CG⊥AB，
∴∠AFH+∠AGH＝90°+90°＝180°，
∠FHG+∠A＝180°，
∴∠BHC＝∠FHG＝180°﹣∠A，
由（1）知∠1+∠2＝2∠A，
∴∠A＝（∠1+∠2），
∴∠BHC＝180°﹣（∠1+∠2）．
12．（2019•广陵区校级二模）如图，将矩形ABCD先过点A的直线L1翻折，点DA的对应点D′刚好落在边BC上，直线L1交DC于点F；再将矩形ABCD沿过点A的直线L2翻折，使点B的对应点G落在AD′上，EG的延长线交AD于点H．
（1）当四边形AED′H是平行四边形时，求∠AD′H的度数．
（2）当点H与点D刚好重合时，试判断△AEF的形状，并说明理由．
【解答】解：（1）如图1中，∵四边形AED′H是平行四边形，
∴AG＝GD，
∵EH⊥AD，
∴四边形AED′H是菱形，
∴∠AD′H＝∠AD′B，
∵△AEG是由△AEB翻折得到，
∴AB＝AG＝D′G，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝90°，
∴∠AD′B＝30°，
∴∠AD′H＝30°．
（2）结论：△AEF是等腰直角三角形．
理由：如图2中，连接DD′．
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠ADD′＝∠DD′C，AB＝DC，∠B＝∠C＝90°，∵AD＝AD′，
∴∠ADD′＝∠AD′D，
∴∠DD′A＝∠DD′C，
在△DD′G和△DD′C中，
，
∴△DD′G≌△DD′C，
∴DG＝DC＝AB＝AG，
∵∠AGD＝90°，
∴∠GAD＝∠GDA＝∠AD′E＝∠DED′＝45°，
∴EG＝GD′＝BE＝CD′，
∵∠AD′B+∠FD′C＝90°，
∴∠FD′C＝′D′FC＝45°，
∴CD′＝CF＝BE，
∵∠CED＝∠CDE＝45°，
∴EC＝CD＝AB，
在△ABE和△ECF中，
，
∴△ABE≌△ECF，
∴AE＝EF，∠BAE＝∠CEF，
∵∠BAE+∠AEB＝90°，
∴∠AEB+∠CEF＝90°，
∴∠AEF＝90°，
∴△AEF是等腰直角三角形．
13．（2018秋•江阴市期中）如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1．请同学们利用网格线进行画图：
（1）在图1中，画一个顶点为格点、面积为5的正方形；
（2）在图2中，已知线段AB、CD，画线段EF，使它与AB、CD组成轴对称图形；（要求画出所有符合题意的线段）
（3）在图3中，找一格点D，满足：①到CB、CA的距离相等；②到点A、C的距离相等．
【解答】解：（1）如图1所示：正方形即为所求；
（2）如图2，红色线段有2条都是符合题意的答案；
（3）如图3，点D即为所求．
14．（2012•淮安）阅读理解
如图1，△ABC中，沿∠BAC的平分线AB1折叠，剪掉重复部分；将余下部分沿∠B1A1C 的平分线A1B2折叠，剪掉重复部分；…；将余下部分沿∠B n A n C的平分线A n B n+1折叠，点B n与点C重合，无论折叠多少次，只要最后一次恰好重合，∠BAC是△ABC的好角．小丽展示了确定∠BAC是△ABC的好角的两种情形．情形一：如图2，沿等腰三角形ABC 顶角∠BAC的平分线AB1折叠，点B与点C重合；情形二：如图3，沿∠BAC的平分线AB1折叠，剪掉重复部分；将余下部分沿∠B1A1C的平分线A1B2折叠，此时点B1与点C 重合．
探究发现
（1）△ABC中，∠B＝2∠C，经过两次折叠，∠BAC是不是△ABC的好角？是（填“是”或“不是”）．
（2）小丽经过三次折叠发现了∠BAC是△ABC的好角，请探究∠B与∠C（不妨设∠B ＞∠C）之间的等量关系．根据以上内容猜想：若经过n次折叠∠BAC是△ABC的好角，则∠B与∠C（不妨设∠B＞∠C）之间的等量关系为∠B＝n∠C．
应用提升
（3）小丽找到一个三角形，三个角分别为15°、60°、105°，发现60°和105°的两个角都是此三角形的好角．
请你完成，如果一个三角形的最小角是4°，试求出三角形另外两个角的度数，使该三角形的三个角均是此三角形的好角．
【解答】解：（1）△ABC中，∠B＝2∠C，经过两次折叠，∠BAC是△ABC的好角；
理由如下：小丽展示的情形二中，如图3，
∵沿∠BAC的平分线AB1折叠，
∴∠B＝∠AA1B1；
又∵将余下部分沿∠B1A1C的平分线A1B2折叠，此时点B1与点C重合，
∴∠A1B1C＝∠C；
∵∠AA1B1＝∠C+∠A1B1C（外角定理），
∴∠B＝2∠C，∠BAC是△ABC的好角．
故答案是：是；
（2）∠B＝3∠C；如图所示，在△ABC中，沿∠BAC的平分线AB1折叠，剪掉重复部分；将余下部分沿∠B1A1C的平分线A1B2折叠，剪掉重复部分，将余下部分沿∠B2A2C的平分线A2B3折叠，点B2与点C重合，则∠BAC是△ABC的好角．
证明如下：∵根据折叠的性质知，∠B＝∠AA1B1，∠C＝∠A2B2C，∠A1B1C＝∠A1A2B2，∴根据三角形的外角定理知，∠A1A2B2＝∠C+∠A2B2C＝2∠C；
∵根据四边形的外角定理知，∠BAC+∠B+∠AA1B1﹣∠A1B1C＝∠BAC+2∠B﹣2∠C＝180°，
根据三角形ABC的内角和定理知，∠BAC+∠B+∠C＝180°，
∴∠B＝3∠C；
由小丽展示的情形一知，当∠B＝∠C时，∠BAC是△ABC的好角；
由小丽展示的情形二知，当∠B＝2∠C时，∠BAC是△ABC的好角；
由小丽展示的情形三知，当∠B＝3∠C时，∠BAC是△ABC的好角；
故若经过n次折叠∠BAC是△ABC的好角，则∠B与∠C（不妨设∠B＞∠C）之间的等量关系为∠B＝n∠C；
（3）由（2）知设∠A＝4°，
∵∠B是好角，
∴∠B＝4n°；
∵∠A是好角，
∴∠C＝m∠B＝4mn°，其中m、n为正整数得4+4n+4mn＝180
∴如果一个三角形的最小角是4°，三角形另外两个角的度数是4、172；8、168；16、160；44、132；88°、88°．
15．（2011•房山区一模）已知：等边三角形ABC
（1）如图1，P为等边△ABC外一点，且∠BPC＝120°．试猜想线段BP、PC、AP之间的数量关系，并证明你的猜想；
（2）如图2，P为等边△ABC内一点，且∠APD＝120°．求证：PA+PD+PC＞BD．
【解答】猜想：AP＝BP+PC，
（1）证明：延长BP至E，使PE＝PC，连接CE，
∵∠BPC＝120°，
∴∠CPE＝60°，又PE＝PC，
∴△CPE为等边三角形，
∴CP＝PE＝CE，∠PCE＝60°，
∵△ABC为等边三角形，
∴AC＝BC，∠BCA＝60°，
∴∠ACB＝∠PCE，
∴∠ACB+∠BCP＝∠PCE+∠BCP，
即：∠ACP＝∠BCE，
∴△ACP≌△BCE（SAS），
∴AP＝BE，
∵BE＝BP+PE，
∴AP＝BP+PC．
（2）证明：在AD外侧作等边△AB′D，
则点P在三角形ADB′外，连接PB'，B'C，
∵∠APD＝120°∴由（1）得PB′＝AP+PD，
在△PB′C中，有PB′+PC＞CB′，
∴PA+PD+PC＞CB′，
∵△AB′D、△ABC是等边三角形，
∴AC＝AB，AB′＝AD，
∠BAC＝∠DAB′＝60°，
∴∠BAC+∠CAD＝∠DAB′+∠CAD，
即：∠BAD＝∠CAB′，
∴△AB′C≌△ADB，
∴CB′＝BD，
∴PA+PD+PC＞BD．
16．（2009•益阳）如图，△ABC中，已知∠BAC＝45°，AD⊥BC于D，BD＝2，DC＝3，求AD的长．
小萍同学灵活运用轴对称知识，将图形进行翻折变换，巧妙地解答了此题．
请按照小萍的思路，探究并解答下列问题：
（1）分别以AB、AC为对称轴，画出△ABD、△ACD的轴对称图形，D点的对称点为E、F，延长EB、FC相交于G点，证明四边形AEGF是正方形；
（2）设AD＝x，利用勾股定理，建立关于x的方程模型，求出x的值．
【解答】（1）证明：由题意可得：△ABD≌△ABE，△ACD≌△ACF．（1分）
∴∠DAB＝∠EAB，∠DAC＝∠FAC，又∠BAC＝45°．
∴∠EAF＝90°．（3分）
又∵AD⊥BC，
∴∠E＝∠ADB＝90°，∠F＝∠ADC＝90°．（4分）
又∵AE＝AD，AF＝AD，
∴AE＝AF．（5分）
∴四边形AEGF是正方形．（6分）
（2）解：设AD＝x，则AE＝EG＝GF＝x，（7分）
∵BD＝2，DC＝3，
∴BE＝2，CF＝3．
∴BG＝x﹣2，CG＝x﹣3．（9分）
在Rt△BGC中，BG2+CG2＝BC2
∴（x﹣2）2+（x﹣3）2＝52（11分），
∴（x﹣2）2+（x﹣3）2＝52，化简得，x2﹣5x﹣6＝0．
解得x1＝6，x2＝﹣1（舍），
所以AD＝x＝6（12分）．
17．（2007•太原）数学课上，同学们探究下面命题的正确性：顶角为36°的等腰三角形具
有一种特性，即经过它某一顶点的一条直线可把它分成两个小等腰三角形．为此，请你解答问题（1）．
（1）已知：如图①，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，直线BD平分∠ABC交AC于点D．求证：△ABD与△DBC都是等腰三角形；
（2）在证明了该命题后，小乔发现：下面两个等腰三角形如图②、③也具有这种特性．请你在图②、图③中分别画出一条直线，把它们分成两个小等腰三角形，并在图中标出所有等腰三角形两个底角的度数；
（3）接着，小乔又发现：其它一些非等腰三角形也具有这样的特性，即过它其中一个顶点画一条直线可以将原三角形分成两个小等腰三角形．请你画出两个不同类型且具有这种特性的三角形的示意图，并在图中标出可能的各内角的度数．（说明：要求画出的两个三角形不相似，且不是等腰三角形．）
（4）请你写出两个符合（3）中一般规律的非等腰三角形的特征．
【解答】（1）证明：在△ABC中，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C，
∵∠A＝36°，
∴∠ABC＝∠C＝（180°﹣∠A）＝72°，（1分）
∵BD平分∠ABC，∴∠1＝∠2＝36°
∴∠3＝∠1+∠A＝72°，
∴∠1＝∠A，∠3＝∠C，
∴AD＝BD，BD＝BC，
∴△ABD与△BDC都是等腰三角形．
（2）解：如下图所示：
（3）解：如图所示：
（4）解：
特征一：直角三角形（直角边不等）；
特征二：2倍内角关系，在△ABC中，∠A＝2∠B，0°＜∠B＜45°，其中，∠B≠30°；
18．（2007•辽宁）如图，已知等边三角形ABC中，点D，E，F分别为边AB，AC，BC的中点，M为直线BC上一动点，△DMN为等边三角形（点M的位置改变时，△DMN也随之整体移动）．
（1）如图1，当点M在点B左侧时，请你判断EN与MF有怎样的数量关系？点F是否在直线NE上？都请直接写出结论，不必证明或说明理由；
（2）如图2，当点M在BC上时，其它条件不变，（1）的结论中EN与MF的数量关系是否仍然成立？若成立，请利用图2证明；若不成立，请说明理由；
（3）若点M在点C右侧时，请你在图3中画出相应的图形，并判断（1）的结论中EN 与MF的数量关系是否仍然成立？若成立，请直接写出结论，不必证明或说明理由．
【解答】解：（1）判断：EN与MF相等（或EN＝MF），点F在直线NE上，
（2）成立．
连接DF，NF，证明△DBM和△DFN全等（AAS），
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC＝BC．
又∵D，E，F是三边的中点，
∴EF＝DF＝BF．
∵∠BDM+∠MDF＝60°，∠FDN+∠MDF＝60°，
∴∠BDM＝∠FDN，
在△DBM和△DFN中，，
∴△DBM≌△DFN，
∴BM＝FN，∠DFN＝∠FDB＝60°，
∴NF∥BD，
∵E，F分别为边AC，BC的中点，
∴EF是△ABC的中位线，
∴EF∥BD，
∴F在直线NE上，
∵BF＝EF，
∴MF＝EN．
（3）如图③，MF与EN相等的结论仍然成立（或MF＝NE成立）．连接DF、DE，
由（2）知DE＝DF，∠NDE＝∠FDM，DN＝DM，
在△DNE和△DMF中，
∴△DNE≌△DMF，
∴MF＝NE．
19．（2007•临沂）如图，已知矩形ABCD．
（1）在图中作出△CDB沿对角线BD所在的直线对折后的△C′DB，C点的对应点为C′（用尺规作图，保留清晰的作图痕迹，简要写明作法）；
（2）设C′B与AD的交点为E，若△EBD的面积是整个矩形面积的，求∠DBC的度数．
【解答】解：（1）作法：①作∠MBD＝∠CBD，
②在BM上截取BC′＝BC，连接C′D，则△C′BD就是所求作的三角形；
＝S矩形，得：
（2）由S
△BED
S△BED＝S△ABD
＝2S△ABD，
∴3S
△BED
∵AD∥BC，
∴∠CBD＝∠ADB，
又∵∠EBD＝∠DBC，
∴∠EBD＝∠EDB，
∴BE＝ED＝2AE，
又∵∠A＝90°，
∴∠ABE＝30°，
∴∠DBC＝30°．
20．（2007•无锡）（1）已知△ABC中，∠A＝90°，∠B＝67.5°，请画一条直线，把这个三角形分割成两个等腰三角形．（请你选用下面给出的备用图，把所有不同的分割方法都画出来．只需画图，不必说明理由，但要在图中标出相等两角的度数）
（2）已知△ABC中，∠C是其最小的内角，过顶点B的一条直线把这个三角形分割成了两个等腰三角形，请探求∠ABC与∠C之间的关系．
【解答】解：（1）如图（共有2种不同的分割法）．
（2）设∠ABC＝y，∠C＝x，过点B的直线交边AC于D．在△DBC中，
①若∠C是顶角，如图1，则∠CBD＝∠CDB＝90°﹣x，∠A＝180°﹣x﹣y．
而∠ADB＞90°，此时只能有∠A＝∠ABD，即180°﹣x﹣y＝y﹣（90°﹣x）
即3x+4y＝540°，即∠ABC＝135°﹣∠C；
②若∠C是底角，
第一种情况：如图2，当DB＝DC时，则∠DBC＝x，△ABD中，∠ADB＝2x，∠ABD＝y﹣x．
由AB＝AD，得2x＝y﹣x，此时有y＝3x，即∠ABC＝3∠C．
由AB＝BD，得180°﹣x﹣y＝2x，此时3x+y＝180°，即∠ABC＝180°﹣3∠C．
由AD＝BD，得180°﹣x﹣y＝y﹣x，此时y＝90°，即∠ABC＝90°，∠C为小于等于45°的任意锐角．
第二种情况，如图3，当BD＝BC时，∠BDC＝x，∠ADB＝180°﹣x＞90°，此时只能有AD＝BD，
从而∠A＝∠ABD＝∠C＜∠C，这与题设∠C是最小角矛盾．
∴当∠C是底角时，BD＝BC不成立．
综上，∠ABC与∠C之间的关系是：∠ABC＝135°﹣∠C或∠ABC＝180°﹣3∠C或∠ABC＝3∠C或∠ABC＝90°，∠C是小于45°的任意角
考点卡片
1．等式的性质
（1）等式的性质
性质1、等式两边加同一个数（或式子）结果仍得等式；
性质2、等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式．
（2）利用等式的性质解方程
利用等式的性质对方程进行变形，使方程的形式向x＝a的形式转化．
应用时要注意把握两关：
①怎样变形；
②依据哪一条，变形时只有做到步步有据，才能保证是正确的．
2．平行线的判定
（1）定理1：两条直线被第三条所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行．简单说成：同位角相等，两直线平行．
（2）定理2：两条直线被第三条所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．简单说成：内错角相等，两直线平行．
（3）定理3：两条直线被第三条所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．简单说成：同旁内角互补，两直线平行．
（4）定理4：两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行．
（5）定理5：在同一平面内，如果两条直线同时垂直于同一条直线，那么这两条直线平行．3．三角形三边关系
（1）三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边．
（2）在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．
（3）三角形的两边差小于第三边．
（4）在涉及三角形的边长或周长的计算时，注意最后要用三边关系去检验，这是一个隐藏的定时炸弹，容易忽略．
4．三角形内角和定理
（1）三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角．每个三角形都有三个内角，且每个内角均大于0°且小于180°．
（2）三角形内角和定理：三角形内角和是180°．
（3）三角形内角和定理的证明
证明方法，不唯一，但其思路都是设法将三角形的三个内角移到一起，组合成一个平角．在转化中借助平行线．
（4）三角形内角和定理的应用
主要用在求三角形中角的度数．①直接根据两已知角求第三个角；②依据三角形中角的关系，用代数方法求三个角；③在直角三角形中，已知一锐角可利用两锐角互余求另一锐角．5．三角形的外角性质
（1）三角形外角的定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角．三角形共有六个外角，其中有公共顶点的两个相等，因此共有三对．
（2）三角形的外角性质：
①三角形的外角和为360°．
②三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．
③三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角．
（3）若研究的角比较多，要设法利用三角形的外角性质②将它们转化到一个三角形中去．（4）探究角度之间的不等关系，多用外角的性质③，先从最大角开始，观察它是哪个三角形的外角．
6．全等三角形的判定与性质
（1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
（2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．
7．角平分线的性质
角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
注意：①这里的距离是指点到角的两边垂线段的长；②该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，有时不必证明全等；③使用该结论的前提条件是图中有角平分线，有垂直角平分线的性质语言：如图，∵C在∠AOB的平分线上，CD⊥OA，CE⊥OB∴CD＝CE。