(人教版新课标)九年级数学第21章《一元二次方程》知识小结

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一元二次方程是初中数学的重要内容，在初中数学中占有重要的地位，它和二次函数的联系非常密切．这部分内容是各地考试热点和同学们容易出错的地方，是历年各地中考的必考内容之一，在试卷中占有较大的分值比例．考试中不仅基础题会考
查，更重要的是后面的综合题也会重点考查，一般以函数等知识为背景进行综合考查，因此同学们应对这部分内容予以高度重视． 【知识网络】
【知识解读】
1．一元二次方程的定义
只含有一个未知数，并且未知数的次数是二次的整 式方程，叫做一元二次方程．它的一般形式：20ax bx c ++=（0a ≠）
． （1）判断一个方程是不是一元二次方程时应抓住三点：①只含有一个未知数；②未知数的最高次数是2；③方程是整式方程（即含有未知数的式子是整式）．三者必须同时满足，否则就不是一元二次方程．
（2）20ax bx c ++=（a ，b ，c 为常数，0a ≠）称为一元二次方程的一般形式，其中0a ≠是定义中的一部分，不可缺少，否则就不是一元二次方程． 2ax 叫做二次项，a 叫做二次项系数，二者是不同的概念，不可混淆．
2．一元二次方程的解法
注意事项：
解一元二次方程常见的思维误区是忽略几个关键：用因式分解法解方程的关键是先使方程的右边为0；用公式法解方程的关键是先把一元二次方程化为一般形式，正确写出a、b、c的值；用直接开平方法解方程的关键是先把方程化为(mx-n) 2=h的形式；用配方法解方程的关键是先把二次项系数化为1，再把方程的两边都加上一次项系数一半的平方.
解具体的一元二次方程时，要分析方程的特征，灵活选择方法．公式法是解一元二次方程的通法，而配方法又是公式法的基础（公式法是直接利用了配方法的结论）．分解因式法可解某些特殊形式的一元二次方程．掌握各种方法的基本思想是正确解方程的根本．一般说来，先特殊后一般，即先考虑分解因式法，后考虑公式法．没有特别说明，一般不用配方法．
4．一元二次方程的是实际应用
方程是解决实际问题的有效模型和工具，解方程的技能训练要与实际问题相联系，在解决问题的过程中体会解方程的技巧，理解方程的解的含义．
利用方程解决实际问题的关键是找出问题中的等量关系，找出题目中的已知量与未知量，分析已知量与未知量的关系，再通过等量关系，列出方程，求解方程，并能根据方程的解和具体问题的实际意义，检验解的合理性．
列一元二次方程解应用题的一般步骤可归纳为审、设、列、解、验、答．
审：读懂题目，弄清题意，明确哪些是已知量，哪些是未知量，以及它们之间的等量关系；
设：设元，也就是设未知数；
列：列方程，这是非常重要的关键步骤，一般先找出能够表达应用题全部含义的一个相等关系，然后列代数式表示相等关系中的各个量，就得到含有未知数的等式，即方程；
解：解方程，求出未知数的值；
验：检验方程的解能否保证实际问题有意义；
答：写出答语．
相等关系的寻找应从以下几方面入手：
①分清本题属于哪一类型的应用题，如行程问题，则其基本数量关系应明确（v t s
=
）．
②注意总结各类应用题中常用的等量关系．如工作量（工程）问题．常常是以工作量为基础得到相等关系（如各部分工作量之和等于整体1等）．
③注意语言与代数式之间的转化．题目中多数条件是通过语言给出的，我们要善于将这些语言转化为我们列方程所需要的代数式．
④从语言叙述中寻找相等关系．如甲比乙大5应理解为“甲=乙＋5”等．
⑤在寻找相等关系时，还应从基本的生活常识中得出相等关系．
总之，找出相等关系的关键是审题，审题是列方程的基础，找相等关系是列方程解应用题的关键．【易错点】
一、忽视一元二次方程定义中的条件
例 1 关于x的一元二次方程（0
1
)12
2=
-
+
+
+a
x
x
a的一个根为0，则a=_______.
错解：∵0是一元二次方程的根，∴将0
=
x代入方程得,0
1
2=
-
a∴1±
=
a。

剖析：因为方程为一元二次方程，所以二次项系数a+1不等于0，即a不等于-1.错解忽视了二次项系数不为零的规定，故正确答案应为a=1.
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二、用公式法解方程，忽视化方程为一般形式 例2 解方程842=-x x 错解： ∵
1684)4(4,
8,4,12
2
<-=⨯--=-=-==ac b c b a
∴原方程无解。

剖析：用公式法解一元二次方程时，先要将方程化为一般形式，再确定c b a ,,的值，最后代入公式求解。

上面的解法就是没有将方程化为一般形式致错。

正解：原方程可化为0842=--x x
∵
.
48)8(4)4(4,
8,4,12
2
=-⨯--=--=-==ac b c b a
三、忽视等式性质中的条件
例3 一元二次方程2)2(-=-x x x 的解是（ ）
（Ａ）１ （Ｂ）１或２ （Ｃ）０ （Ｄ）０或２
错解：方程两边除以2-x 得1=x ，故应选Ａ。

剖析：若方程两边有公因式，只有在满足公因式不为零时，才能约去公因式，否则，就会违背等式的性质，以至造成方程失根。

四、概念模糊致错
例4 已知方程032=++m x x 有整数根，m 是非负整数，求方程的整数根。

错解：∵方程有整数根，∴,0432
≥-m ∴4
9
≤
m ， 又∵m 是非负整数，∴m ＝１或２ 当m ＝１时，方程为0132=++x x ，易得，
方程无整数解；
当2=m 时，方程为0232=++x x ，解得
2,121-=-=x x
故方程的整数解为2,121-=-=x x 。

剖析：以上错解是因对“非负整数”的概念模糊不清，仅求出了m 是正整数时的根，而漏掉了m 为零时
的根。

五、忽视方程有根的具体含义
例5关于x 的方程012)1(2
=+--x x k 有实数
根，则k 的取值范围是__________.
错解:因方程有实数根,所以⎩⎨⎧≥---≠-0
)1(4)2(0
12
k k ,解得2≤k 且1≠k .。