编程教学-哈夫曼树及其应用

4
A 2
C
2
1
1
B
D
下面对哈夫曼树进行编码，每一个结点的左分支上 面标1，右分支上面标0。
0
7
1
3
04
A
2
2
C
1
1
B
D
下面对哈夫曼树进行编码，每一个结点的左分支上 面标1，右分支上面标0。
0
7
1
3
04
1
A
2
2
C
1
1
B
D
下面对哈夫曼树进行编码，每一个结点的左分支上 面标1，右分支上面标0。
0
7
1
4
2
2
3
C
A
1
1
B
D
对于字符串“ABACCDA”，共有7个字符，4种字符。 其中A、B、C、D出现的次数分别为3、1、2、1。根 据权值{3，1，2，1} 构造哈夫曼树
3
4
A 2
C
2
1
1
B
D
对于字符串“ABACCDA”，共有7个字符，4种字符。 其中A、B、C、D出现的次数分别为3、1、2、1。根 据权值{3，1，2，1} 构造哈夫曼树
从根结点到各个叶子结点，所经分支上面的0、1 序列，就是该叶子结点所代表字符的编码。
0
7
1
3
04
1
A 2
C
2
0
1
1
1
B
D
A：0 B：110 C：10 D：11
从根结点到各个叶子结点，所经分支上面的0、1 序列，就是该叶子结点所代表字符的编码。
0
7
1
3
04
1
A 2
C
2
0
1
1
1
B
D
A：1 B：110 C：10 D：111
AB C D 00 01 10 11
0
1
0
10
1
A
B
C
D
1.各种编码方式
（2）变长编码 当A、B、C、D按照如下形式进行编码时。
AB C D 0 110 10 111
那么字符串“ABACCDA”的编码将为 “0110010101110”，总长度为13位，比第二种方 式又要短。
采取这种变长编码方式，需要遵循一个原则， 即每一个字符的编码都不应该是另一个字符编码 的前缀。否则就会出现二义性。
WPL=w1*L1+w2*L2+w3*L3+w4*L4
那么如何选择L1、L2、L3、L4的值，使得WPL最 小呢？
1.各种编码方式
（3）哈夫曼编码
可以看出，该公式与哈夫曼树满足的公式一模 一样，那么我们可以采取构造哈夫曼树的方式来求 编码的长度。
对于字符串“ABACCDA”，共有7个字符，4种字符。 其中A、B、C、D出现的次数分别为3、1、2、1。根 据权值{3，1，2，1} 构造哈夫曼树
B
D
E
如左边树的路径长度为： C Len(A-B)+ Len(A-C)+ Len(A-
D)+ Len(A-E)+ Len(A-F)+ Len(A-G)
F
G
=1+1+2+2+3+3=12
A
B7
C
5
D
E3
4
F
G
1
2
结点的权值：在某些应用 中，树中结点往往要和 一定的数值联系起来， 那么这个数值通常称为 该结点的权值，简称权。
0
7
1
3
04
1
A 2
C
2
0
1
1
1
B
D
A：0
从根结点到各个叶子结点，所经分支上面的0、1 序列，就是该叶子结点所代表字符的编码。
0
7
1
3
04
1
A 2
C
2
0
1
1
1
B
D
A：0 B：1
从根结点到各个叶子结点，所经分支上面的0、1 序列，就是该叶子结点所代表字符的编码。
0
7
1
3
04
1
A 2
C
2
0
1
1
1
B
D
0
0
3
7
0
0
0
4
8
0
0
0
5
14
0
0
0
6
23
0
0
0
7
3
9
0
0
8
11
0
0
0
9
-
0
0
0
10
-
0
0
0
11
-
0
0
0
12
-
0
0
0
13
-
0
0
0
14
-
0
0
0
15
-
0
0
0
weight parent lchild rchild
1
5
9
0
0
2
29
0
0
0
3
7
0
0
0
4
8
0
0
0
5
14
0
0
0
6
23
0
0
0
7
3
9
0
0
8
11
0
0
0
9
8
这八个权值作为叶子结点，最终形成的哈夫曼树 应共有2*8-1=15个结点。采用双亲孩子表示法 来存储哈夫曼树。
（2）初始化
weight parent lchild rchild
1
5
0
0
0
2
29
0
0
0
3
7
0
0
0
4
8
0
0
0
5
14
0
0
0
6
23
0
0
0
7
3
0
0
0
8
11
0
0
0
9
-
0
0
0
10
-
0
0
0
11
-
0
0
1.各种编码方式
（1）定长编码---根据出现的字符种数进行编码 字符串“ABACCDA”中共出现4种字符，那么
可以用2位表示。
AB C D 00 01 10 11
那么字符串“ABACCDA”的编码将为 “00010010101100”，总长度为7*2=14位
1.各种编码方式
（1）定长编码---根据出现的字符种数进行编码 这种编码方式可以对应到二叉树，如右图所式
18
7
11
5
6
2
4
（2）哈夫曼算法的语言描述
① 根据给定的n个权值{w1,w2,…,wn}构成n棵二叉 树的集合F={T1,T2,…,Tn},其中每棵二叉树Ti中 只有一个带权为wi的根结点，其左右子树为空。
② 在F中选取两棵根结点的权值最小的树作为左右 子树构造一棵新的二叉树，且置新的二叉树的根 结点的权值为其左右子树上根结点的权值之和。
过程。
当权值为{7，5，2，4}时，构造哈夫曼树。
2
4
5
7
当权值为{7，5，2，4}时，构造哈夫曼树。
6
2
4
5
7
当权值为{7，5，2，4}时，构造哈夫曼树。
5
6
7
2
4
当权值为{7，5，2，4}时，构造哈夫曼树。
11
5
6
7
2
4
当权值为{7，5，2，4}时，构造哈夫曼树。
7
11
5
6
2
4
当权值为{7，5，2，4}时，构造哈夫曼树。
③ 在F中删除这两棵树，同时将新得到的二叉树加 入F中。
④ 重复②和③，直到F只含一棵树为止。这棵树便 是哈夫曼树。
6.6.2 哈夫曼编码
对于字符串“ABACCDA”，共有7个字 符，4种字符。其中A、B、C、D出现的次 数分别为3、1、2、1。
现在要对字符串进行0、1编码，有哪 些方法？哪一种编码的长度最短？
也可以看出，每一个可用的编码都可以转化成二叉树的形式， 这样编码理论便可以与二叉树的一些性质结合起来，就可 以应用二叉树的理论知识来解决编码问题。
1.各种编码方式
（3）哈夫曼编码 假设编码过程中有以下对应关系：
字符
ABCD
权重（字符出现次数） w1 w2 w3 w4
编码长度
L1 L2 L3 L4
那么总的编码长度为：
之所以会出现二义性，是因为出现了A的编码是C 的编码的前缀； B的编码是D的编码的前缀.
1.各种编码方式
（2）变长编码
这样,这些编码恢复成二叉树的形式时,不会形成A,B,C,D恰好 为二叉树的叶子结点,如右图
AB C D 0 11 01 111
0
A 1
1 1
C
B
1
D
1.各种编码方式
从上面的分析可以看出，一个可用的编码必须满足每个字符 的编码不能是其他编码的前缀。
1.各种编码方式
（2）变长编码 这种编码方式也可以对应到二叉树，如右图所式
AB C D 0 110 10 111
0
1
A
0
1
C
0
1
B
D
1.各种编码方式
（2）变长编码 如当A、B、C、D按照如下形式进行编码时。 AB C D 0 11 01 111 请将“0111”翻译成字符串。试一试，有哪些
翻译方式。
2
1
1
2
3
B
D
C
A
对于字符串“ABACCDA”，共有7个字符，4种字符。 其中A、B、C、D出现的次数分别为3、1、2、1。根 据权值{3，1，2，1} 构造哈夫曼树
2
2
3
C
A
1
1
B
D
对于字符串“ABACCDA”，共有7个字符，4种字符。 其中A、B、C、D出现的次数分别为3、1、2、1。根 据权值{3，1，2，1} 构造哈夫曼树
3
04
1
A 2
C
2 0
1
1
B
D
下面对哈夫曼树进行编码，每一个结点的左分支上 面标1，右分支上面标0。
0
7
1
3
04
1
A 2
C
2
0
1
1
1
B
D
从根结点到各个叶子结点，所经分支上面的0、1 序列，就是该叶子结点所代表字符的编码。
0
7
1
3
04
1
A 2
C
2
0
1
1
1
B
D
从根结点到各个叶子结点，所经分支上面的0、1 序列，就是该叶子结点所代表字符的编码。
2
29
0
0
0
步
3
7
0
0
0
4
8
0
0
0
5
14
0
0
0
6
23
0
0
0
7
3
9
0
0
8
11
0
0
0
9
8
0
1
7
10
-
0
0
0
11
-
0
0
0
12
-
0
0
0
13
-
0
0
0
14
-
0
0
0
15
-
0
0
0
weight parent lchild rchild
1
5
9
0
0
2
29
0
0
0
3
3
1
2
1
A
B
C
D
对于字符串“ABACCDA”，共有7个字符，4种字符。 其中A、B、C、D出现的次数分别为3、1、2、1。根 据权值{3，1，2，1} 构造哈夫曼树
1
1
2
3
B
D
C
A
对于字符串“ABACCDA”，共有7个字符，4种字符。 其中A、B、C、D出现的次数分别为3、1、2、1。根 据权值{3，1，2，1} 构造哈夫曼树
7
3
4
A 2
C
2
1
1
B
D
下面对哈夫曼树进行编码，每一个结点的左分支上 面标0，右分支上面标1。
7
3
4
A 2
C
2
1
1
B
D
下面对哈夫曼树进行编码，每一个结点的左分支上 面标1，右分支上面标0。
0
7
3
A 2
C
4 2
1
1
B
D
下面对哈夫曼树进行编码，每一个结点的左分支上 面标1，右分支上面标0。
0
7
1
3
0
0
0
10
-
0
0
0
11
-
0
0
0
12
-
0
0
0
13
-
0
0
0
14
-
0
0
0
15
-
0
0
0
weight parent lchild rchild
1
5
9
0
0
2
29
0
0
0
3
7
0
0
0
4
8
0
0
0
5
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0
0
0
6
23
0
0
0
7
3
9
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0
8
11
0
0
0
9
8
0
1
0
10
-
0
0
0
11
-
0
0
0
12
-
0
0
0
13
-
0
0
0
14
-
0
0
0
15
-
0
如左图。
A
B7
C
5
D
E3
4
F
G
1
2
结点的带权路径长度：该 结点到根结点的路径长 度与该结点上权的乘积。
如结点E的带权路径长度 为:Len(E-A)*3=2*3=6
A
B
C
w4
D
E
w1
F
G
w2
w3
树的带权路径长度： 树中所有叶子结点的 带权路径长度之和。
记作： WPL=w1*L1+w2*L2+…
…+wn*Ln
weight parent lchild rchild
1
5
9
0
0
2
29
0
0
0
3
7
0
0