运筹学-整数规划建模

• 该部门现有资金10万元，问它应如何确定给这 些项目的每年投资额，使到第 5 年末拥有的资 金本利总额为最大? 8
解：1) 设xiA、xiB、xiC、xiD ( i ＝1，2，3，4，5)分别表 示第 i 年年初给项目A，B，C，D的投资额；
变量： 第1年 第2年 第3年 第4年 第5年 A x1A x2A x3A x4A B x1B x2B x3B x4B x5B C x2C D x3D
设决策变量xj为对第j个方案的取（xj=1） 或舍（xj=0），可得到下列整数规划问题， 是0—1规划。
yj
x yj
yj
xij 为整数
例．某公司考虑今后五年内给以下项目投资。
• 项目A：每年年初可以投资，于次年末回收本利 115% ，投资金额必须为1万元的整数倍； • 项目 B ：每年初可购买公债，于当年末归还，并加利 息6%，投资金额必须为1万元的整数倍； • 项目 C：第2年初可以投资，到第5年未能回收本利 140% ，投资金额必须为1万元的整数倍； • 项目D：第3年初可以投资，到第5年未能回收本利 128% ，如果投资金额必须大于2万元；
B2 顾客 B3 仓库固定 运营费 仓库 A1 仓库 A2
顾客需求量 6 6 150 4 5 150 6 5 200 10 11
6.1.2 建模中常用的处理方法（续）
费用:
fi:动用i仓库的固定运营费（租金等） cij:从仓库i到j顾客运送单位货物的运费 约束条件： i)每个顾客的需要量dj必须得到满足； ii)只能从动用的仓库运出货物。
第j项工作)．于是得到一个0--1整数规划问题：
整数规划建模
例．某企业在 A1 地已有工厂，其产品的生产能 力为30 万箱。为扩大生产，拟在 A2，A3，A4， A5地中再选择若干地建厂。已知在 A2 ， A3， A4，A5地建厂的固定成本分别为17.5、30、 37.5、50万元，另外， A1产量及A2，A3，A4， A5建成厂的产量，那时销地的销量以及产地到 销地的单位运价(每万箱运费)如右下表所示。 问应该在哪些地方建厂，在满足销量的前提下， 使得其总的固定成 销地 本和总的运输费用 B B B 产量(千吨) 产地 之和最小? A 8 4 3 30
纯整数线性规划问题：要求全部变量均取整数 混合整数线性规划问题：要求部分变量取值为整数 0-1整数线性规划问题：决策变量取值为0或1
6.1.2 整数规划建模中常用的处理方法 （1）资本预算问题 设有n个投资方案，cj为第j个投资 方案的收益。投资过程共分为m个 阶段，bi为第i个阶段的投资总量， aij为第i阶段第j项投资方案所需要 的资金。目标是在各阶段资金限制 下使整个投资的总收益最大。
23
整数规划建模P305
例P305
S2.1
Aj 各点的设备投资及每年可获利润由于地点不 同都是不一样的，预测情况见下表所示 (单位：万 元)。但投资总额不能超过720万元，问应选择哪几 个销售点，可使年利润为最大?
A1 A2 A3 A4 投资额 100 120 150 80 利润 36 40 50 22
（6-4） x M y 0 i 1 , 2 , , n i i i

i 1
m
yi k
（6-5）
式（6-5）说明，非零分量至多有k个。
6.2
整数规划问题建模
• 整数规划问题的特征： 变量取值范围是离散的，在
经典连续数学中的理论和方法一
般无法直接用来求解整数规划问 题，求解时需要技巧。
9
6.1.2 建模中常用的处理方法（续） （2）指示变量：指示不同情况的出现P139
例.有m个仓库，要决定动用哪些仓库，满足n 个顾客对货物的需要，并决定从各仓库分别 向不同顾客运送多少货物？
1 动用i仓库 令 yi i 1, 2, 0 否则 ( yi 为指示变量) ,m
6.1.2 建模中常用的处理方法（续）
min s .t .

i1
m
n
c
ij
x
ij

j1

m
f 取足够大的数， i y i
i1

x
ij
m
x
ij
d
j
j 1,2 , , n 0
迫使当yi=0时， xij必须为0
1 2 3 1
A2 A3 A4 A5 销量(千吨)
5 4 9 10 30
2 3 7 4 20
3 4 5 2 20
10 20 30 4032
解： 设 xij为从Ai 运往Bj 的运输量(单位千箱)， yi = 1(当Ai 被选中时)或0（当Ai 没被选中时)． Min z = 8x11+4x12+3x13+5x21+2x22+3x23+4x31+3x32 +4x33+9x41+7x42 +5x43+10x51 +4x52+2x53 +17.5y2+30y3+37.5y4+50y5 s.t. x11+ x12+ x13 ≤ 30 ( A1 厂的产量限制) x21+ x22+ x23 ≤ 10y2 ( A2 厂的产量限制) x31+ x32+ x33 ≤ 20y3 ( A3 厂的产量限制) x41+ x42+ x43 ≤ 30y4 ( A4 厂的产量限制) x51+ x52+ x53 ≤ 40y5 ( A5 厂的产量限制) x11+ x21+ x31+ x41 + x51 = 30 ( B1 销地的限制) x12+ x22+ x32+ x42 + x52 = 20 ( B2 销地的限制) x13+ x23+ x33+ x43 + x53 = 20 ( B3 销地的限制) xij ≥ 0 yi为0--1变量，i = 1,2,3,4,5；j = 1,2,3 33
工作 工人 甲 乙 丙 丁 A 15 19 26 19 B 18 23 17 21 C 21 22 16 23 D 24 18 19 17
30
解：令 xij = 1(第 i人完成第j项工作)或0（第 i人不进行 Min z=15x11+18x12+21x13+24x14+19x21+23x22 +22x23+18x24+26x31+17x32+16x33+19x34 +19x41 +21x42+23x43+17x44 s.t. x11+ x12+ x13+ x14= 1 (甲只能干一项工作) x21+ x22+ x23+ x24= 1 (乙只能干一项工作) x31+ x32+ x33+ x34= 1 (丙只能干一项工作) x41+ x42+ x43+ x44= 1 (丁只能干一项工作) x11+ x21+ x31+ x41= 1 ( A工作只能一人干) x12+ x22+ x32+ x42= 1 ( B工作只能一人干) x13+ x23+ x33+ x43= 1 ( C工作只能一人干) x14+ x24+ x34+ x44= 1 ( D工作只能一人干) xij 为0--1变量，i,j = 1,2,3,4 31
①不同时成立的约束条件。设某个模型 问题中的约束条件不必同时成立，有m 个线性不等式约束
ax b
j 1 ij j i n
i 1 ,2 , ,m
对每个约束引入一个指示变量yi，并得 到每个约束左端的一个上界 Mi(i=1,2,…,n)，建立下列不等式：
a x M y b M i 1 , 2 , , m
金属板（吨） 劳动力（人月） 机器设备（台月） 2 2 1 4 3 2 8 4 27 3
整数规划建模
解：设x1，x2， x3 分别为小号容器、中号容器和大号容 器的生产数量。 各种容器的固定费用只有在生产该种容器时才投入， 为了说明固定费用的这种性质，设 yi = 1(当生产第 i种容器, 即 xi ＞ 0 时) 或0（当不生产第 i 种容器即 xi = 0 时） 引入约束 xi ≤ M yi ，i =1，2，3，M充分大，以保证 当 yi = 0 时，xi = 0 。数学模型： Max z = 4x1 + 5x2 + 6x3 - 100y1 - 150y2 - 200y3 s.t. 2x1 + 4x2 + 8x3 ≤ 500 2x1 + 3x2 + 4x3 ≤ 300 x1 + 2x2 + 3x3 ≤ 100 xi ≤ M yi ，i =1，2，3，M充分大 xj ≥ 0 且为整数 yj 为0--1变量，j = 1,2,3
i1

x y
n
y
i
j1 ij i

n
d
j
i 1,2 , , m j 1,2 , , n
j1
0
i 1,2 , , m
0或 1
i 1,2 , , m
6.1.2 建模中常用的处理方法（续）
（3）线性规划模型的附加条件
• 在许多实际问题中，线性规划模型中 的约束条件允许一定范围的放宽或对 个别因素有进一步限制时，常可通过 引入0—1变量来处理。下面介绍几种 情况，作为一种建模思路的启示。
28
• 软件求解演示
整数规划建模
指派问题 有 n 项不同的任务，恰好 n 个人可分别 承担这些任务，但由于每人特长不同，完成各项任务 的效率等情况也不同。现假设必须指派每个人去完成 一项任务，怎样把 n 项任务指派给 n 个人，使得完 成 n 项任务的总的效率最高，这就是指派问题。
例．有4个工人，要分别指派他们完成4项不同的工作， 每人做各项工作所消耗的时间如下表所示，问应如何 指派工作，才能使总的消耗时间为最少。
整数规划建模P305
例P305 S2.1 京成畜产品公司计划在市区的东、西、南、北四区 建立销售门市部，拟议中有10个位置 Aj (j＝1，2， 3，…，10)可供选择，考虑到各地区居民的消费水 平及居民居住密集度，规定： 在东区 A1 ， A2 ，A3 , 3 个点至多选择 2 个； 在西区 A4 ， A5 ，2 个点中至少选 1 个； 在南区 A6 ， A7 ，2 个点中至少选 1 个； 在北区 A8 ， A9 ， A10 ，3 个点中至少选 2 个。
本章内容要点
• 整数规划相关概念 • 整数规划问题的一般特点 • 整数规划建模举例
引例
经济管理当中经常存在人员分派问题，企业中有4个 人可以胜任4项不同工作的任意一项，但是完成工作 的效率有所不同。如表所示：
任 务 A B C D 10 15 15 20 12 10 15 15 13 15 14 13 15 22 17 16 人 甲 乙 丙 丁
j 1 ij j i i i i n
• 显然，当yi=1时，两式等价；当 yi=0时，第二个式子是恒成立，相 当于除去了这个限制。 • 在实际问题中，如果至少有k个约 束成立时，只需附加下列约束：
y
i 1
m
i
k
②最优解中非零分量个数的限制。在许
多实际问题中，对最优解中的非零分量 个数有所限制。类似上述分析可对每个 决策变量xi找到其上界Mi，并引入指示 变量yi。附加下式
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• 软件求解演示
例P305 S2.2 ．高压容器公司制造小、中、大3种尺寸的金 属容器，所用资源为金属板、劳动力和机器 设备，制造一个容器所需的各种资源的数量 如下表所示。每种容器售出所得的利润分别 为 4万元、5万元、6万元。可使用的金属板 有500吨，劳动力有300人月，机器有100台 月。此外，每种容器制造都要支付一笔固定 的费用：小号是l00万元，中号为 150 万元， 大号为200万元。现在要制定一个生产计划， 使获得的利 资源 小号容器 中号容器 大号容器 润为最大。
A5 70 20
A6 90 30
A7 A8 A9 A10 80 140 160 180 25 48 58 61
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解：设：0--1变量 xi = 1 (Ai 点被选用）或 0 (Ai 点没被选用）。 这样我们可建立如下的数学模型： Max z =36x1+40x2+50x3+22x4+20x5+30x6 +25x7+48x8+58x9+61x10 s.t. 100x1+120x2+150x3+80x4+70x5+90x6 +80x7+140x8+160x9+180x10 ≤ 720 x 1 + x2 + x3 ≤ 2 x4 + x5 ≥ 1 x6 + x7 ≥ 1 x8 + x9 + x10 ≥ 2 xj 为0--1变量， j = 1,2,3,……,10
为了使得企业获得最好的经济效益，应该如何分派这 四个人完成四项不同工作？
6.1 整数规划问题的提出
6.1.1 问题特征 变量取值范围是离散的，经典连 续数学中的理论和方法一般无法 直接用来求解整数规划问题。
• 不考虑整数条件，由余下的目标函数和约 束条件构成的规划问题称为整数规划问题 的松弛问题。若松弛问题是一个线性规划 问题，则称该整数规划问题为整数线性规 划问题。 • 整数线性规划问题的分类：