2023年全国统一高考数学试卷(新高考II)(解析版)

2023年全国统一高考数学试卷（新高考Ⅱ）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分。

每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的。

请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上。

1．（5分）在复平面内，（1+3i）（3﹣i）对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】A
【解答】解：（1+3i）（3﹣i）＝3﹣i+9i+3＝6+8i，
则在复平面内，（1+3i）（3﹣i）对应的点的坐标为（6，8），位于第一象限．
故选：A．
2．（5分）设集合A＝{0，﹣a}，B＝{1，a﹣2，2a﹣2}，若A⊆B，则a＝（ ）
A．2B．1C．D．﹣1
【答案】B
【解答】解：依题意，a﹣2＝0或2a﹣2＝0，
当a﹣2＝0时，解得a＝2，
此时A＝{0，﹣2}，B＝{1，0，2}，不符合题意；
当2a﹣2＝0时，解得a＝1，
此时A＝{0，﹣1}，B＝{1，﹣1，0}，符合题意．
故选：B．
3．（5分）某学校为了了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样方法作抽样调查，拟从初中部和高中部两层共抽取60名学生，已知该校初中部和高中部分别有400名和200名学生，则不同的抽样结果共有（ ）
A．种B．种
C．种D．种
【答案】D
【解答】解：∵初中部和高中部分别有400和200名学生，
∴人数比例为400：200＝2：1，
则需要从初中部抽取40人，高中部取20人即可，
则有种．
故选：D．
4．（5分）若f（x）＝（x+a）为偶函数，则a＝（ ）
A．﹣1B．0C．D．1
【答案】B
【解答】解：由＞0，得x＞或x＜﹣，
由f（x）是偶函数，
∴f（﹣x）＝f（x），
得（﹣x+a）ln＝（x+a），
即（﹣x+a）ln＝（﹣x+a）ln（）﹣1＝（x﹣a）ln＝（x+a），∴x﹣a＝x+a，得﹣a＝a，
得a＝0．
故选：B．
5．（5分）已知椭圆C：的左焦点和右焦点分别为F1和F2，直线y＝x+m与C交于点A，B两点，若△F1AB面积是△F2AB面积的两倍，则m＝（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解答】解：记直线y＝x+m与x轴交于M（﹣m，0），
椭圆C：的左，右焦点分别为F1（﹣，0），F2（，0），
由△F1AB面积是△F2AB的2倍，可得|F1M|＝2|F2M|，
∴|﹣﹣x M|＝2|﹣x M|，解得x M＝或x M＝3，
∴﹣m＝或﹣m＝3，∴m＝﹣或m＝﹣3，
联立可得，4x2+6mx+3m2﹣3＝0，
∵直线y＝x+m与C相交，所以Δ＞0，解得m2＜4，
∴m＝﹣3不符合题意，
故m＝．
故选：C．
6．（5分）已知函数f（x）＝ae x﹣lnx在区间（1，2）上单调递增，则a的最小值为（ ）A．e2B．e C．e﹣1D．e﹣2
【答案】C
【解答】解：对函数f（x）求导可得，，
依题意，在（1，2）上恒成立，
即在（1，2）上恒成立，
设，则，
易知当x∈（1，2）时，g′（x）＜0，
则函数g（x）在（1，2）上单调递减，
则．
故选：C．
7．（5分）已知α为锐角，cosα＝，则sin＝（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解答】解：cosα＝，
则cosα＝，
故＝1﹣cosα＝，即＝＝，
∵α为锐角，
∴，
∴sin＝．
故选：D．
8．（5分）记S n为等比数列{a n}的前n项和，若S4＝﹣5，S6＝21S2，则S8＝（ ）A．120B．85C．﹣85D．﹣120
【答案】C
【解答】解：等比数列{a n}中，S4＝﹣5，S6＝21S2，显然公比q≠1，
设首项为a1，则＝﹣5①，＝②，
化简②得q4+q2﹣20＝0，解得q2＝4或q2＝﹣5（不合题意，舍去），
代入①得＝，
所以S8＝＝（1﹣q4）（1+q4）＝×（﹣15）×（1+16）＝﹣85．故选：C．
二、选择题：本大题共小4题，每小题5分，共计20分。

每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。

全部选对得5分，选对但不全得2分，有选错的得0分。

（多选）9．（5分）已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，AB为底面直径，∠APB＝120°，PA＝2，点C在底面圆周上，且二面角P﹣AC﹣O为45°，则（ ）
A．该圆锥的体积为πB．该圆锥的侧面积为4π
C．AC＝2D．△PAC的面积为
【答案】AC
【解答】解：取AC中点D，则OD⊥AC，PD⊥AC，
由二面角的定义可知，二面角P﹣AC﹣O的平面角即为∠PDO＝45°，
对于A，△PAB中，由于PA＝PB＝2，∠APB＝120°，
则PO＝1，，
则OD＝1，，选项A正确．
对于B，，选项B错误．
对于C，，选项C正确．
对于D，，，选项D错误．
故选：AC．
（多选）10．（5分）设O为坐标原点，直线y＝﹣（x﹣1）过抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点，且与C交于M，N两点，l为C的准线，则（ ）
A．p＝2
B．|MN|＝
C．以MN为直径的圆与l相切
D．△OMN为等腰三角形
【答案】AC
【解答】解：直线y＝﹣（x﹣1）过抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点，可得＝1，所以p＝2，
所以A正确；
抛物线方程为：y2＝4x，与C交于M，N两点，
直线方程代入抛物线方程可得：3x2﹣10x+3＝0，
x M+x N＝，
所以|MN|＝x M+x N+p＝，所以B不正确；
M，N的中点的横坐标：，中点到抛物线的准线的距离为：1+＝，
所以以MN为直径的圆与l相切，所以C正确；
3x2﹣10x+3＝0，
不妨可得x M＝3，x N＝，y M＝﹣2，y N＝，
|OM|＝＝，|ON|＝＝，|MN|＝，
所以△OMN不是等腰三角形，所以D不正确．
故选：AC．
（多选）11．（5分）若函数f（x）＝alnx++（a≠0）既有极大值也有极小值，则（ ）A．bc＞0B．ab＞0C．b2+8ac＞0D．ac＜0
【答案】BCD
【解答】解：函数定义域为（0，+∞），
且f′（x）＝﹣﹣＝，
由题意，方程f′（x）＝0即ax2﹣bx﹣2c＝0有两个正根，设为x1，x2，
则有x1+x2＝＞0，x1x2＝＞0，Δ＝b2+8ac＞0，
∴ab＞0，ac＜0，
∴ab•ac＝a2bc＜0，即bc＜0．
故选：BCD．
（多选）12．（5分）在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立．发送0时，收到1的概率为α（0＜α＜1），收到0的概率为1﹣α；发送1时，收到0的概率为β（0＜β＜1），收到1的概率为1﹣β．考虑两种传输方案：单次传输和三次传输．单次传输是指每个信号只发送1次，三次传输是指每个信号重复发送3次．收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码；三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码（例如，若依次收到1，0，1，则译码为1）（ ）
A．采用单次传输方案，若依次发送1，0，1，则依次收到1，0，1的概率为（1﹣α）（1﹣β）2
B．采用三次传输方案，若发送1，则依次收到1，0，1的概率为β（1﹣β）2
C．采用三次传输方案，若发送1，则译码为1的概率为β（1﹣β）2+（1﹣β）3
D．当0＜α＜0.5时，若发送0，则采用三次传输方案译码为0的概率大于采用单次传输方案译码为0的概率
【答案】ABD
【解答】解：采用单次传输方案，若依次发送1，0，1，则依次收到1，0，1的概率为：（1﹣β）（1﹣α）（1﹣β）＝（1﹣α）（1﹣β）2，故A正确；
采用三次传输方案，若发送1，依次收到1，0，1的概率为：（1﹣β）β（1﹣β）＝β（1﹣β）2，故B正确；
采用三次传输方案，若发送1，
则译码为1包含收到的信号为包含两个1或3个1，
故所求概率为：，故C错误；
三次传输方案发送0，译码为0的概率P1＝，
单次传输发送0译码为0的概率P2＝1﹣α，
﹣（1﹣α）3＝
＝（1﹣α）（2α2﹣α）
＝（1﹣α）α（2α﹣1），
当0＜α＜0.5时，P2﹣P1＜0，
故P2＜P1，故D正确．
故选：ABD．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．（5分）已知向量，满足|﹣|＝，|+|＝|2﹣|，则||＝ ．【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵|﹣|＝，|+|＝|2﹣|，
∴，，
∴，∴＝3，
∴．
故答案为：．
14．（5分）底面边长为4的正四棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个底面边长为2，高为3的正四棱锥，所得棱台的体积为　28　．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：如图所示，根据题意易知△SO1A1∽△SOA，
∴＝，又SO1＝3，
∴SO＝6，∴OO1＝3，又上下底面正方形边长分别为2，4，
∴所得棱台的体积为＝28．
故答案为：28．
15．（5分）已知直线x﹣my+1＝0与⊙C：（x﹣1）2+y2＝4交于A，B两点，写出满足“△ABC 面积为”的m的一个值　2（或﹣2或或﹣）　．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：由圆C：（x﹣1）2+y2＝4，可得圆心坐标为C（1，0），半径为r＝2，因为△ABC的面积为，可得S△ABC＝×2×2×sin∠ACB＝，
解得sin∠ACB＝，设∠ACB＝θ所以∴2sinθcosθ＝，
可得＝，∴＝，∴tanθ＝或tanθ＝2，
∴cosθ＝或cosθ＝，
∴圆心到直线x﹣my+1＝0的距离d＝或，
∴＝或＝，
解得m＝±或m＝±2．
故答案为：2（或﹣2或或﹣）．
16．（5分）已知函数f（x）＝sin（ωx+φ），如图，A，B是直线y＝与曲线y＝f（x）的两
个交点，若|AB|＝，则f（π）＝　﹣　．
【答案】﹣．
【解答】解：由题意：设A（x1，），B（x1+，），
由y＝sin（ωx+φ）的图象可知：
f（x1）＝sin（ωx1+φ）＝，故，
f（x2）＝sin[+φ]＝，则，
两式相减得：，
由图可知：T＜，即，解得ω∈（3，6），
∵ω＝4+12（k2﹣k1），k2﹣k1∈Z
∴ω＝4，∴f（x）＝sin（4x+φ），
又f（）＝sin（+φ）＝0，∴+φ＝kπ，k∈Z，
即φ＝﹣+kπ，k∈Z，∵f（0）＝sinφ＜0，
∴当k＝2时，φ＝﹣满足条件，
∴
∴f（π）＝sin（4π﹣）＝﹣．
故答案为：﹣．
四、解答题：本题共小6题，共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（10分）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC面积为，D 为BC的中点，且AD＝1．
（1）若∠ADC＝，求tan B；
（2）若b2+c2＝8，求b，c．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1））D为BC中点，，
则，
过A作AE⊥BC，垂足为E，如图所示：
△ADE中，，，，解得CD＝2，
∴BD＝2，，
故＝＝；
（2），
，
AD＝1，b2+c2＝8，
则，
∴bc cos A＝﹣2①，
，即②，
由①②解得，
∴，
∴bc＝4，又b2+c2＝8，
∴b＝c＝2．
18．（12分）已知{a n}为等差数列，b n＝，记S n，T n为{a n}，{b n}的前n
项和，S4＝32，T3＝16．
（1）求{a n}的通项公式；
（2）证明：当n＞5时，T n＞S n．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）设等差数列{a n}的公差为d，
S n，T n为{a n}{b n}的前n项和，S4＝32，T3＝16，
则，即，解得，
故a n＝5+2（n﹣1）＝2n+3；
（2）证明：由（1）可知，，
，
当n为偶数时，n＞5，
T n＝﹣1+3+•+2（n﹣1）﹣3+14+22+•+4n+6
＝+＝＝，
，
当n为奇数时，n＞5，T n＝T n﹣1+b n＝＝，
T n﹣S n＝，
故原式得证．
19．（12分）某研究小组经过研究发现某种疾病的患病者与未患病者的某项医学指标有明显差异，经过大量调查，得到如下的患病者和未患病者该指标的频率分布直方图：
利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值c，将该指标大于c的人判定为阳性，小于或等于c的人判定为阴性，此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率，记为p （c）；误诊率是将未患病者判定为阳性的概率，记为q（c）．假设数据在组内均匀分布，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率．
（1）当漏诊率p（c）＝0.5%时，求临界值c和误诊率q（c）；
（2）设函数f（c）＝p（c）+q（c）．当c∈[95，105]，求f（c）的解析式，并求f（c）在区间[95，105]的最小值．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）当漏诊率p（c）＝0.5%时，
则（c﹣95）•0.002＝0.5%，解得c＝97.5；
q（c）＝0.01×2.5+5×0.002＝0.035＝3.5%；
（2）当c∈[95，100]时，
f（c）＝p（c）+q（c）＝（c﹣95）•0.002+（100﹣c）•0.01+5×0.002＝﹣0.008c+0.82≥
0.02，
当c∈（100，105]时，f（c）＝p（c）+q（c）＝5×0.002+（c﹣100）•0.012+（105﹣c）•
0.002＝0.01c﹣0.98＞0.02，
故f（c）＝，
所以f（c）的最小值为0.02．
20．（12分）如图，三棱锥A﹣BCD中，DA＝DB＝DC，BD⊥CD，∠ADB＝∠ADC＝60
°，E为BC中点．
（1）证明BC⊥DA；
（2）点F满足，求二面角D﹣AB﹣F的正弦值．
【答案】见试题解答内容
【解答】证明：（1）连接AE，DE，
∵DB＝DC，E为BC中点．
∴DE⊥BC，
又∵DA＝DB＝DC，∠ADB＝∠ADC＝60°，
∴△ACD与△ABD均为等边三角形，
∴AC＝AB，
∴AE⊥BC，AE∩DE＝E，
∴BC⊥平面ADE，
∵AD⊂平面ADE，
∴BC⊥DA．
（2）解：设DA＝DB＝DC＝2，
∴，
∵，AD＝2，
∴AE2+DE2＝4＝AD2，
∴AE⊥DE，
又∵AE⊥BC，DE∩BC＝E，
∴AE⊥平面BCD，
以E为原点，建立如图所示空间直角坐标系，
，，，E（0，0，0），∵，
∴，
∴，，，
设平面DAB与平面ABF的一个法向量分别为，
，
则，令x1＝1，解得y1＝z1＝1，
，令y2＝1，解得x2＝0，z2＝1，
故＝（1，1，1），＝（0，1，1），
设二面角D﹣AB﹣F的平面角为θ，
则|cosθ|＝＝＝，
故sinθ＝，
所以二面角D﹣AB﹣F的正弦值为．
21．（12分）已知双曲线C中心为坐标原点，左焦点为（﹣2，0），离心率为．（1）求C的方程；
（2）记C的左、右顶点分别为A1，A2，过点（﹣4，0）的直线与C的左支交于M，N 两点，M在第二象限，直线MA1与NA2交于P，证明P在定直线上．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）双曲线C中心为原点，左焦点为（﹣2，0），离心率为，
则，解得，
故双曲线C的方程为；
（2）证明：过点（﹣4，0）的直线与C的左支交于M，N两点，
则可设直线MN的方程为x＝my﹣4，M（x1，y1），N（x2，y2），
记C的左，右顶点分别为A1，A2，
则A1（﹣2，0），A2（2，0），
联立，化简整理可得，（4m2﹣1）y2﹣32my+48＝0，
故Δ＝（﹣32m）2﹣4×48×（4m2﹣1）＝256m2+192＞0且4m2﹣1≠0，
，，
直线MA1的方程为，直线NA2方程y＝，
故＝＝
＝
＝
＝，
故，解得x＝﹣1，
所以x P＝﹣1，
故点P在定直线x＝﹣1上运动．
22．（12分）（1）证明：当0＜x＜1时，x﹣x2＜sin x＜x；
（2）已知函数f（x）＝cos ax﹣ln（1﹣x2），若x＝0为f（x）的极大值点，求a的取值范围．
【答案】见试题解答内容
【解答】（1）证明：设g（x）＝x﹣x2﹣sin x，x∈（0，1），
则g′（x）＝1﹣2x﹣cos x，∴g″（x）＝﹣2+sin x＜0，
∴g′（x）在（0，1）上单调递减，
∴g′（x）＜g′（0）＝0，
∴g（x）在（0，1）上单调递减，
∴g（x）＜g（0）＝0，
即x﹣x2﹣sin x＜0，x∈（0，1），
∴x﹣x2＜sin x，x∈（0，1），
设h（x）＝x﹣sin x，x∈（0，1），
则h′（x）＝1﹣cos x＞0，
∴h（x）在（0，1）上单调递增，
∴h（x）＞h（0）＝0，x∈（0，1），
即x﹣sin x＞0，x∈（0，1），
∴sin x＜x，x∈（0，1），
综合可得：当0＜x＜1时，x﹣x2＜sin x＜x；
（2）解：∵f′（x）＝﹣a sin ax+，∴f″（x）＝，
且f′（0）＝0，f″（0）＝﹣a2+2，
①若f″（0）＝2﹣a2＞0，即时，
易知存在t1＞0，使得x∈（0，t1）时，f″（x）＞0，
∴f′（x）在（0，t1）上单调递增，∴f′（x）＞f′（0）＝0，
∴f（x）在（0，t1）上单调递增，这显然与x＝0为函数的极大值点相矛盾，故舍去；
②若f″（0）＝2﹣a2＜0，即a＜或a＞时，
存在t2＞0，使得x∈（﹣t2，t2）时，f″（x）＜0，
∴f′（x）在（﹣t2，t2）上单调递减，又f′（0）＝0，
∴当﹣t2＜x＜0时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；
当0＜x＜t2时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，满足x＝0为f（x）的极大值点，符合题意；
③若f″（0）＝2﹣a2＝0，即a＝±时，∵f（x）为偶函数，
∴只考虑a＝的情况，
此时，x∈（0，1）时，
，
∴f（x）在（0，1）上单调递增，与显然与x＝0为函数的极大值点相矛盾，故舍去．综合可得：a的取值范围为（﹣∞，）∪（，+∞）．。