(复习指导)第3章微专题进阶课3 构造法解f(x)与f′(x)共存问题Word版含解析

构造法解f (x)与f ′(x)共存问题以抽象函数为背景，题设条件或所求结论中具有f (x)与f ′(x)共存的不等式，旨在考查导数运算法则的逆向、变形应用能力的客观题，是近几年高考中的一个热点．解答这类问题的策略是将f (x)与f ′(x)共存的不等式与导数运算法则结合起来，合理构造出相关的可导函数，然后利用函数的性质解决问题．
构造y＝f (x)±g(x)型可导函数
定义在(0，＋∞)上的函数f (x)满足x2f ′(x)>1，f (2)＝5
2，则关于x的不等
式f (e x)<3－1
e x的解集为()
A．(0，e2) B．(e2，＋∞) C．(0，ln 2) D．(－∞，ln 2)
D解析：构造函数F(x)＝f (x)＋1
x.依题意知F′(x)＝f ′(x)－
1
x2
＝
x2f ′(x)－1
x2>0，
即函数F(x)在(0，＋∞)上单调递增．所求不等式可化为F(e x)＝f (e x)＋1
e x<3，而F(2)
＝f (2)＋1
2
＝3，所以e x<2，解得x<ln 2，故不等式的解集为(－∞，ln 2)．
函数f (x)(x∈R)满足f (1)＝1，且f (x)在R上的导函数f ′(x)>1
2，则不等式f
(x)<x＋1
2的解集为________．
(－∞，1)解析：由f ′(x)>
1
2
，可得
⎣
⎢
⎡
⎦
⎥
⎤
f (x)－
1
2x
′＝f ′(x)－1
2>0，即函数F(x)＝f (x)
－1
2x在R上是增函数．又由f (1)＝1可得F(1)＝1
2
，故f (x)<
x＋1
2
＝1
2
＋1
2x，整理得
f (x)－1
2x<
1
2
，即F(x)<F(1)．由函数的单调性可得不等式的解集为(－∞，1)．构造f (x)g(x)型可导函数
设函数f (x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数．当x<0时，f ′(x)g(x)＋f (x)·g′(x)>0，且g(3)＝0，则不等式f (x)g(x)>0的解集是()
A．(－3，0)∪(3，＋∞)
B．(－3，0)∪(0，3)
C．(－∞，－3)∪(3，＋∞)
D．(－∞，－3)∪(0，3)
A解析：构造函数F(x)＝f (x)·g(x)．由题意可知，当x<0时，F′(x)>0，所以F(x)在(－∞，0)上单调递增．又因为f (x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，所以F(x)是定义在R上的奇函数，从而F(x)在(0，＋∞)上单调递增．而F(3)＝f (3)g(3)＝0，所以F(－3)＝－F(3)＝0，结合图象(图略)可知不等式f (x)g(x)>0⇔F(x)>0的解集为(－3,0)∪(3，＋∞)．故选A．
设定义在R上的函数f (x)满足f ′(x)＋f (x)＝3x2e－x，且f (0)＝0，则()
A．f (x)在R上单调递减B．f (x)在R上单调递增
C．f (x)在R上有最大值D．f (x)在R上有最小值
C解析：构造函数F(x)＝e x f (x)，则有F′(x)＝e x[f ′(x)＋f (x)]＝e x·3x2e－x＝3x2，
故F(x)＝x3＋c(c为常数)，所以f (x)＝x3＋c
e x.又
f (0)＝0，所以c＝0，f (x)＝
x3
e x.
f ′(x)
＝3x2－x3
e x
，易知f (x)在区间(－∞，3]上单调递增，在[3，＋∞)上单调递减，f (x)max
＝f (3)＝27
e3
，无最小值．故选C．
构造f (x)
g(x)型可导函数
已知定义域为R的函数f (x)的图象是连续不断的曲线，且f (2－x)＝f (x)e2－2x.当x>1时，f ′(x)>f (x)，则()
A．f (1)>e f (0) B．f (3)<e4f (－1)
C．f (2)<e3f (－1) D．f (3)>e5f (－2)
C 解析：构造函数g (x )＝f (x )
e x
，因为当x >1时，f ′(x )>f (x )，所以g ′(x )＝f ′(x )－f (x )
e x
>0， 可得当x >1时，g (x )单调递增． 因为f (2－x )＝f (x )e
2－2x
，整理得
f (2－x )e 2－x
＝
f (x )
e x
，即g (2－x )＝g (x )，可得函数图象关于x ＝1对称，则g (－1)＝g (3)，所以f (－1)e －1＝f (3)e 3，g (2)＝f (2)
e 2.因为g (2)<g (3)＝g (－1)，所以
f (2)e 2<f (－1)e
－1，化简可得f (2)<e 3f (－1)．故选C ．
(2020·长沙明德中学月考)已知f ′(x )是函数f (x )的导函数，且对任意的实数x 都有f ′(x )＝e x (2x ＋1)＋f (x )，f (0)＝－2，则不等式f (x )<4e x 的解集为( )
A ．(－2,3)
B ．(－3,2)
C ．(－∞，－3)∪(2，＋∞)
D ．(－∞，－2)∪(3，＋∞) B 解析：令G (x )＝
f (x )
e x
， 则G ′(x )＝f ′(x )－f (x )
e x ＝2x ＋1，
所以可设G (x )＝x 2＋x ＋c . 因为G (0)＝f (0)＝－2， 所以c ＝－2，所以G (x )＝f (x )e x ＝x 2＋x －2，则f (x )<4e x 等价于f (x )e
x <4，即x 2
＋x －2<4，
解得－3<x <2，所以不等式的解集为(－3，2)．故选B ．。