人教版九年级下册第28章课时2 余弦与正切(16页)
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1.如图，在平面直角坐标系中，若点 P 坐标为 (3，4)，连接 OP，则
4
OP 与 x 轴正方向所夹锐角 α 的正切值为_____.
3
α
2.在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，AC = 2，BC = 3.
2 13
3 13
3
sinA =_______，cosA
=_______，tanA
=_____，
∠A 的正弦、余弦、正切都是∠A 的锐角三角函数.
注意：由于直角三角形的斜边大于直角边，且各边的边长均
为正数，所以锐角三角函数值都是正实数，且0< sin A <1，0<
cos A <1，tan A >0.
针对训练
3.在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，AB = 13，AC = 12，
5
12
则 tan A = 12 ，tan B = 5 ；
.
∟
则 sin A =
A
C
发现
从上述探究和证明过程中还可以得出什么结论？
B
∠A = 90°-∠B
c
a
∟
A
b
C
sin A =
，cos
B=
，
则 sin A = cos B，即 sin A = cos ( 90°-∠A )
两角互余，余弦值=正弦值
如图,△ABC 和 △DEF 都是直角三角形, 其中∠A=∠D,∠C = ∠F =
邻边 b
C
针对训练
1. 在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，AB = 13，AC = 12，
5
12
则sinA = 13 ，cosA = 13 ；
5
12
sinB = 13 ，cosB = 13 .
B
2. 在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，AB = 3BC，
，cos A =
；
sin B =
，cos B =
90°,则
=
成立吗？为什么？
解：∵ ∠A=∠D,∠C =∠F = 90°,
D
∴ Rt△ABC ∽ Rt△DEF.
∴
∴
=
.
=
.
B
E
F
A
结论：在有一个锐角相等的所有直角三角形中，
这个锐角的对边与邻边的比值是一个常数，与
直角三角形的大小无关．
C
上述所示的可类似正弦的情况，利用相似三
角形的知识可以证明，在三角形中，∠A 确
B
定时，∠A 的对边与邻边的比都是确定的，
A
对边 a
我们把∠A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正
∟
切，记作 tan A，即 tan A =
斜边 c
=
.
邻边 b
C
对于锐角 A 的每一个确定的值，sin A 有唯一确定的值与它对应,
所以 sin A 是 A 的函数.同样地，cos A，tan A 也是 A 的函数.
个常数，与直角三角形的大小无关．
D
∟
形中，这个锐角的邻边与斜边的比值是一
F
上述所示的可类似正弦的情况，利用相似三角
B
形的知识可以证明，在三角形中，∠A 确定时，
∠A 的邻边与斜边的比、∠A 的对边与邻边的比
斜边 c
对边 a
A
∠A 的余弦，记作 cos A，即 cos A =
=
.
∟
都是确定的. 我们把∠A 的邻边与斜边的比叫做
B
4.在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，AB = 3BC，
，tan B =
.
∟
则 tan A =
A
C
发现
如果两个角互余，那么这两个角的正切值有什么关系？
B
tan ∠A = ，tan ∠B =
c
a
∟
A
b
C
.
则 tan ∠A 与 tan ∠B 互为倒
数，
即：tan A ·tan B = 1.
课堂练习
边的比叫做角 A 的正切
性质
锐角∠A的大小确定的情况下，cosA，
tanA为定值，与三角形的大小无关
第二十八章 锐角三角函数
28.1 课时2 余弦与正切
学习目标
1. 认识并理解余弦、正切的概念进而得到锐角三角函数的概念.
2. 能灵活运用锐角三角函数进行相关运算.
新课引入
如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，当锐角 A 确定时，∠A的对
边与斜边的比就随之确定.
那么，其他边之间
B
∟
A
C
的比是否确定了呢？
如图，△ABC 和 △DEF 都是直角三角形，其中 ∠A =∠D，∠C =∠F
AC DF
B
= 90°，则
成立吗？为什么？
AB DE
解： ∵ ∠A=∠D，∠C=∠F=90°
∴△ABC∽△DEF，∠B=∠E
∟
AC DF
.
从而 sinB = sinE，因此
AB DE
A
C
E
总结：在有一个锐角相等的所有直角三角
∴ BC AB2 AC 2 (17k )2 (15k )2 8k，
A
BC 8k
8
，
∴ sin A
AB 17k 17
BC 8k
8
tan A
.
AC 15k 15
B
C
课堂小结
余弦函数
和正切函数
பைடு நூலகம்
余弦
在直角三角形中，锐角 A 的邻边与
斜边的比叫做角 A 的余弦
正切
在直角三角形中，锐角 A 的对边与邻
13
13
2
2 13
3 13
2
sinB =_______，cosB
=_______，tanB
=_____.
13
13
3
B
3
C
2
A
3.如图，在 Rt△ABC 中，∠C =
90°，cosA = ，求
sinA，tanA 的值．
AC 15
，
解：在 Rt△ABC 中，由cos A
AB 17
设 AC = 15k，则 AB = 17k.
4
OP 与 x 轴正方向所夹锐角 α 的正切值为_____.
3
α
2.在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，AC = 2，BC = 3.
2 13
3 13
3
sinA =_______，cosA
=_______，tanA
=_____，
∠A 的正弦、余弦、正切都是∠A 的锐角三角函数.
注意：由于直角三角形的斜边大于直角边，且各边的边长均
为正数，所以锐角三角函数值都是正实数，且0< sin A <1，0<
cos A <1，tan A >0.
针对训练
3.在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，AB = 13，AC = 12，
5
12
则 tan A = 12 ，tan B = 5 ；
.
∟
则 sin A =
A
C
发现
从上述探究和证明过程中还可以得出什么结论？
B
∠A = 90°-∠B
c
a
∟
A
b
C
sin A =
，cos
B=
，
则 sin A = cos B，即 sin A = cos ( 90°-∠A )
两角互余，余弦值=正弦值
如图,△ABC 和 △DEF 都是直角三角形, 其中∠A=∠D,∠C = ∠F =
邻边 b
C
针对训练
1. 在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，AB = 13，AC = 12，
5
12
则sinA = 13 ，cosA = 13 ；
5
12
sinB = 13 ，cosB = 13 .
B
2. 在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，AB = 3BC，
，cos A =
；
sin B =
，cos B =
90°,则
=
成立吗？为什么？
解：∵ ∠A=∠D,∠C =∠F = 90°,
D
∴ Rt△ABC ∽ Rt△DEF.
∴
∴
=
.
=
.
B
E
F
A
结论：在有一个锐角相等的所有直角三角形中，
这个锐角的对边与邻边的比值是一个常数，与
直角三角形的大小无关．
C
上述所示的可类似正弦的情况，利用相似三
角形的知识可以证明，在三角形中，∠A 确
B
定时，∠A 的对边与邻边的比都是确定的，
A
对边 a
我们把∠A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正
∟
切，记作 tan A，即 tan A =
斜边 c
=
.
邻边 b
C
对于锐角 A 的每一个确定的值，sin A 有唯一确定的值与它对应,
所以 sin A 是 A 的函数.同样地，cos A，tan A 也是 A 的函数.
个常数，与直角三角形的大小无关．
D
∟
形中，这个锐角的邻边与斜边的比值是一
F
上述所示的可类似正弦的情况，利用相似三角
B
形的知识可以证明，在三角形中，∠A 确定时，
∠A 的邻边与斜边的比、∠A 的对边与邻边的比
斜边 c
对边 a
A
∠A 的余弦，记作 cos A，即 cos A =
=
.
∟
都是确定的. 我们把∠A 的邻边与斜边的比叫做
B
4.在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，AB = 3BC，
，tan B =
.
∟
则 tan A =
A
C
发现
如果两个角互余，那么这两个角的正切值有什么关系？
B
tan ∠A = ，tan ∠B =
c
a
∟
A
b
C
.
则 tan ∠A 与 tan ∠B 互为倒
数，
即：tan A ·tan B = 1.
课堂练习
边的比叫做角 A 的正切
性质
锐角∠A的大小确定的情况下，cosA，
tanA为定值，与三角形的大小无关
第二十八章 锐角三角函数
28.1 课时2 余弦与正切
学习目标
1. 认识并理解余弦、正切的概念进而得到锐角三角函数的概念.
2. 能灵活运用锐角三角函数进行相关运算.
新课引入
如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，当锐角 A 确定时，∠A的对
边与斜边的比就随之确定.
那么，其他边之间
B
∟
A
C
的比是否确定了呢？
如图，△ABC 和 △DEF 都是直角三角形，其中 ∠A =∠D，∠C =∠F
AC DF
B
= 90°，则
成立吗？为什么？
AB DE
解： ∵ ∠A=∠D，∠C=∠F=90°
∴△ABC∽△DEF，∠B=∠E
∟
AC DF
.
从而 sinB = sinE，因此
AB DE
A
C
E
总结：在有一个锐角相等的所有直角三角
∴ BC AB2 AC 2 (17k )2 (15k )2 8k，
A
BC 8k
8
，
∴ sin A
AB 17k 17
BC 8k
8
tan A
.
AC 15k 15
B
C
课堂小结
余弦函数
和正切函数
பைடு நூலகம்
余弦
在直角三角形中，锐角 A 的邻边与
斜边的比叫做角 A 的余弦
正切
在直角三角形中，锐角 A 的对边与邻
13
13
2
2 13
3 13
2
sinB =_______，cosB
=_______，tanB
=_____.
13
13
3
B
3
C
2
A
3.如图，在 Rt△ABC 中，∠C =
90°，cosA = ，求
sinA，tanA 的值．
AC 15
，
解：在 Rt△ABC 中，由cos A
AB 17
设 AC = 15k，则 AB = 17k.