沪科版九年级数学HK下册精品教学课件 第24章 圆 11 课题：切线的判定定理
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①有公共点，连 圆心，证垂直；
②无公共点，作 垂直，证半径
随堂检测
1. 判断下列命题是否正确.
(1) 经过半径外端的直线是圆的切线.
（ ×）
(2) 垂直于半径的直线是圆的切线.
（）
(3) 过直径的外端点并且垂直于这条直径的直×线是
圆的切线.
（）
(4) 和圆只有一个公共点的直线是圆的切线. √
（）
(5) 过直径一端点且垂直于直径的直线是圆的切线.
（√ ）
√
2.已知：直线AB经过⊙O上的点C，并且OA=OB， CA=CB。
求证：直线AB是⊙O的切线。
分析：由于AB过⊙O上的点C，所以
连接OC，只要证明AB⊥OC即可。
O
证明：连结OC(如图)。 ∵ ⊿OAB中， OA＝OB , CA＝CBA, C B
∴ AB⊥OC。 ∵ OC是⊙O的半径 ∴ AB是⊙O的切线。
是
．
∠FAC＝∠B
仿例4：如图，AB是⊙O的直径，⊙O交BC的中点于 D，DE⊥AC于点E，连接AD，有下列结论：① AD⊥BC；②∠EDA＝∠B；③OA＝AC；④DE是⊙O 的切线．正确的有①②③④．
切线的判定方法
判断一条直线是圆的切线，你现在会哪几种方法?
有以下三种方法
1.定义法：和圆有且只有一个公共点的直线是圆的切 线. 2.数量法（d=r）：圆心到直线的距离等于半径的直线 是圆的切线. 3.判定定理：经过半径外端点且垂直于这条半径的直 线是圆的切线.
3.已知：O为∠BAC平分线上一点，OD⊥AB
于D,以O为圆心，OD为半径作⊙O。 求证：⊙O与AC相切。
证明：过O作OE⊥AC于E。
∵ AO平分∠BAC，OD⊥AB
∴ OE＝OD
A
即圆心O到AC的距离 d = r
∴ AC是⊙O切线。
D
B
O
E C
4. 如图，O 为正方形 ABCD 对角线 AC 上一点，以 O 为 圆心，OA 长为半径的 ⊙O 与 BC 相切于点 M. 求证：CD 与⊙O相切.
∴ AB＝AO，∠ABO＝∠AOB.
A
又∵ BC 为 ⊙O 的直径， ∴∠BAC＝90°＝∠OAP.
∴△ACB≌△APO（ASA）.
C
O
BP
应用举例
范例2：(滨州中考)如图，在△ABC中，AB＝AC，点O在边AB 上，⊙O过点B且分别与边AB，BC相交于点D，E，EF⊥AC， 垂足为F.求证：直线EF是⊙O的切线．
(1)求证：CE是⊙O的切线； (2)判断四边形AOCD是否为菱形？并说明理由．
证明：连接OD. ︵ ︵︵
∵AD＝DC＝BC， ∴∠BOC＝∠DOC＝∠AOD＝60°. ∵OA＝OD＝OC， ∴△AOD、△DOC为等边三角形， ∴∠A＝∠BOC＝60°， ∴OC∥AE， ∴∠ECO＝180°－∠E＝90°， ∴CE是⊙O的切线， (2)是，理由略．
.O
距离d =半径 r
相切
Al
切线条判件定一定：理直线经l 经过过半半径径外端OA点的并外且端垂点直A于. 这条
半径条的件直二线：是直圆线的l 垂切直线于. 半径OA.
应用举例
范例1：如图，点D是∠ABC的角平分 线上一点，已知点D到BC的距离DE＝ 3，现以D为圆心，DE为半径画圆，则 圆D与直线BA的位置关系是 ．
课堂小结
切线的 性质
性质定理 有 1 个公共点
圆的切线垂 直于经过切 点的半径
有切线时常用辅助 线添加方法：
见切线，连切点， 得垂直
d=r
定义法 1 个公共点，则相切
切线的 判定
数量关系法 判定定理
d = r，则相切
经过半径外端点并 且垂直于这条半径 的直线是圆的切线
证切线时常用辅 助线添加方法：
2. 数量法（d=r ）： 圆心到直线的距离等于 半径的直线是圆的切线.
切线具有什么到切线的距离 等于半径.
探究新知
知识模块一 切线的判定定理
如图，在⊙O中，经过半径OA的外端点A作直线 l ⊥OA ，则直线l与⊙O的位置关系怎样？为什么？
显然，圆心到直线的
D．70°
例2 如图，PA 为⊙O 的切线，A 为切点．直线 PO 与 ⊙O 交 于 B、C 两点，∠P＝30°，连接 AO、AB、AC. (1) 求证：△ACB≌△APO；
证明：∵ PA 为 ⊙O 的切线，A 为切点， ∴∠OAP＝90°.
∵∠P＝30°，∴∠AOB＝60°.
又∵ OA＝OB，∴△AOB 为等边三角形.
沪科版 九年级 数学（下）
第24章 圆
11课题 切线的判定定理
导入新课
1.当你在下雨天快速转动雨伞时水飞出的方向是什么方向？ 2.砂轮打磨工件飞出火星的方向是什么方向？
都是沿切线方向飞出的.
回顾直线与圆相切：
判断直线和圆相切 有哪两种办法？
切线
. .O
切点
直线与圆 相切
1. 定义法： 和圆有且只有一个公共 点的直线是圆的切线.
证明：连接OE. ∵AB＝AC，OB＝OE， ∴∠B＝∠C，∠B＝∠OEB， ∴∠C＝∠OEB， ∴OE∥AC， ∴∠OEF＝∠EFC. ∵EF⊥AC，∠EFC＝90°， ∴∠OEF＝90°， ∴EF⊥OE，即EF是⊙O的切线．
仿例：(衡阳中考)如图，AB是⊙O的直径，点C，D 为半圆O的三等分点，过点C作CE⊥AD，交AD的延 长线于点E.
相切
仿例1：如图，⊙O的半径为4cm，BC为直径，若AB ＝10cm，则AC＝ 6 cm时，AC是⊙O的切线．
仿例2：如图，AB为⊙O的直径，点C在圆上， ∠ABC＝40°，当∠BCD＝ 50°时，CD为⊙O的切 线．
仿例3：如图，△ABC内接于⊙O，AB是直径，直线
EF过点A，要使得EF是⊙O的切线，还需添加的条件
知识模块二 切线判定在证明中的应用
例1 如图，点 O 是∠BAC 的边 AC 上的一点，⊙O 与边 AB 相切
于点 D，与线段 AO 相交于点 E，若点 P 是⊙O 上一点，且
∠EPD＝35°，则∠BAC 的度数为
()
A
A．20° B．35° C．55°
解析：连接 OD，如图. ∵⊙O 与边 AB 相切于点 D， ∴ OD⊥AD. ∴∠ADO＝90°. ∵∠EPD＝35°， ∴∠EOD＝2∠EPD＝70°. ∴∠BAC＝90°－∠EOD＝20°.
证明：连接OM，过点O作 ON⊥CD于点N，如图. ∵ ⊙O与BC相切于点M， ∴OM⊥BC. 又∵ON⊥CD，O为正方形ABCD 对角线 AC 上一点， ∴OM＝ON， ∴CD与⊙O相切．
N M
作业布置
完成学生用书对应课时练习
②无公共点，作 垂直，证半径
随堂检测
1. 判断下列命题是否正确.
(1) 经过半径外端的直线是圆的切线.
（ ×）
(2) 垂直于半径的直线是圆的切线.
（）
(3) 过直径的外端点并且垂直于这条直径的直×线是
圆的切线.
（）
(4) 和圆只有一个公共点的直线是圆的切线. √
（）
(5) 过直径一端点且垂直于直径的直线是圆的切线.
（√ ）
√
2.已知：直线AB经过⊙O上的点C，并且OA=OB， CA=CB。
求证：直线AB是⊙O的切线。
分析：由于AB过⊙O上的点C，所以
连接OC，只要证明AB⊥OC即可。
O
证明：连结OC(如图)。 ∵ ⊿OAB中， OA＝OB , CA＝CBA, C B
∴ AB⊥OC。 ∵ OC是⊙O的半径 ∴ AB是⊙O的切线。
是
．
∠FAC＝∠B
仿例4：如图，AB是⊙O的直径，⊙O交BC的中点于 D，DE⊥AC于点E，连接AD，有下列结论：① AD⊥BC；②∠EDA＝∠B；③OA＝AC；④DE是⊙O 的切线．正确的有①②③④．
切线的判定方法
判断一条直线是圆的切线，你现在会哪几种方法?
有以下三种方法
1.定义法：和圆有且只有一个公共点的直线是圆的切 线. 2.数量法（d=r）：圆心到直线的距离等于半径的直线 是圆的切线. 3.判定定理：经过半径外端点且垂直于这条半径的直 线是圆的切线.
3.已知：O为∠BAC平分线上一点，OD⊥AB
于D,以O为圆心，OD为半径作⊙O。 求证：⊙O与AC相切。
证明：过O作OE⊥AC于E。
∵ AO平分∠BAC，OD⊥AB
∴ OE＝OD
A
即圆心O到AC的距离 d = r
∴ AC是⊙O切线。
D
B
O
E C
4. 如图，O 为正方形 ABCD 对角线 AC 上一点，以 O 为 圆心，OA 长为半径的 ⊙O 与 BC 相切于点 M. 求证：CD 与⊙O相切.
∴ AB＝AO，∠ABO＝∠AOB.
A
又∵ BC 为 ⊙O 的直径， ∴∠BAC＝90°＝∠OAP.
∴△ACB≌△APO（ASA）.
C
O
BP
应用举例
范例2：(滨州中考)如图，在△ABC中，AB＝AC，点O在边AB 上，⊙O过点B且分别与边AB，BC相交于点D，E，EF⊥AC， 垂足为F.求证：直线EF是⊙O的切线．
(1)求证：CE是⊙O的切线； (2)判断四边形AOCD是否为菱形？并说明理由．
证明：连接OD. ︵ ︵︵
∵AD＝DC＝BC， ∴∠BOC＝∠DOC＝∠AOD＝60°. ∵OA＝OD＝OC， ∴△AOD、△DOC为等边三角形， ∴∠A＝∠BOC＝60°， ∴OC∥AE， ∴∠ECO＝180°－∠E＝90°， ∴CE是⊙O的切线， (2)是，理由略．
.O
距离d =半径 r
相切
Al
切线条判件定一定：理直线经l 经过过半半径径外端OA点的并外且端垂点直A于. 这条
半径条的件直二线：是直圆线的l 垂切直线于. 半径OA.
应用举例
范例1：如图，点D是∠ABC的角平分 线上一点，已知点D到BC的距离DE＝ 3，现以D为圆心，DE为半径画圆，则 圆D与直线BA的位置关系是 ．
课堂小结
切线的 性质
性质定理 有 1 个公共点
圆的切线垂 直于经过切 点的半径
有切线时常用辅助 线添加方法：
见切线，连切点， 得垂直
d=r
定义法 1 个公共点，则相切
切线的 判定
数量关系法 判定定理
d = r，则相切
经过半径外端点并 且垂直于这条半径 的直线是圆的切线
证切线时常用辅 助线添加方法：
2. 数量法（d=r ）： 圆心到直线的距离等于 半径的直线是圆的切线.
切线具有什么到切线的距离 等于半径.
探究新知
知识模块一 切线的判定定理
如图，在⊙O中，经过半径OA的外端点A作直线 l ⊥OA ，则直线l与⊙O的位置关系怎样？为什么？
显然，圆心到直线的
D．70°
例2 如图，PA 为⊙O 的切线，A 为切点．直线 PO 与 ⊙O 交 于 B、C 两点，∠P＝30°，连接 AO、AB、AC. (1) 求证：△ACB≌△APO；
证明：∵ PA 为 ⊙O 的切线，A 为切点， ∴∠OAP＝90°.
∵∠P＝30°，∴∠AOB＝60°.
又∵ OA＝OB，∴△AOB 为等边三角形.
沪科版 九年级 数学（下）
第24章 圆
11课题 切线的判定定理
导入新课
1.当你在下雨天快速转动雨伞时水飞出的方向是什么方向？ 2.砂轮打磨工件飞出火星的方向是什么方向？
都是沿切线方向飞出的.
回顾直线与圆相切：
判断直线和圆相切 有哪两种办法？
切线
. .O
切点
直线与圆 相切
1. 定义法： 和圆有且只有一个公共 点的直线是圆的切线.
证明：连接OE. ∵AB＝AC，OB＝OE， ∴∠B＝∠C，∠B＝∠OEB， ∴∠C＝∠OEB， ∴OE∥AC， ∴∠OEF＝∠EFC. ∵EF⊥AC，∠EFC＝90°， ∴∠OEF＝90°， ∴EF⊥OE，即EF是⊙O的切线．
仿例：(衡阳中考)如图，AB是⊙O的直径，点C，D 为半圆O的三等分点，过点C作CE⊥AD，交AD的延 长线于点E.
相切
仿例1：如图，⊙O的半径为4cm，BC为直径，若AB ＝10cm，则AC＝ 6 cm时，AC是⊙O的切线．
仿例2：如图，AB为⊙O的直径，点C在圆上， ∠ABC＝40°，当∠BCD＝ 50°时，CD为⊙O的切 线．
仿例3：如图，△ABC内接于⊙O，AB是直径，直线
EF过点A，要使得EF是⊙O的切线，还需添加的条件
知识模块二 切线判定在证明中的应用
例1 如图，点 O 是∠BAC 的边 AC 上的一点，⊙O 与边 AB 相切
于点 D，与线段 AO 相交于点 E，若点 P 是⊙O 上一点，且
∠EPD＝35°，则∠BAC 的度数为
()
A
A．20° B．35° C．55°
解析：连接 OD，如图. ∵⊙O 与边 AB 相切于点 D， ∴ OD⊥AD. ∴∠ADO＝90°. ∵∠EPD＝35°， ∴∠EOD＝2∠EPD＝70°. ∴∠BAC＝90°－∠EOD＝20°.
证明：连接OM，过点O作 ON⊥CD于点N，如图. ∵ ⊙O与BC相切于点M， ∴OM⊥BC. 又∵ON⊥CD，O为正方形ABCD 对角线 AC 上一点， ∴OM＝ON， ∴CD与⊙O相切．
N M
作业布置
完成学生用书对应课时练习