一类椭圆曲线的正整数点

２０２０年第４期㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀青海师范大学学报(自然科学版)J o u r n a l o fQ i n g h a iN o r m a lU n i v e r s i t y
(N a t u r a l S c i e n c e )㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀２０２０N o ４基金项目:甘肃省高等学校创新基金项目(２０２０－B ３６７)收稿日期:２０２０－０８－１７作者简介:冉银霞(１９８９－),女,甘肃白银人,硕士,讲师．研究方向:数论．一类椭圆曲线的正整数点
冉银霞
(陇南师范高等专科学校数信学院,甘肃成县㊀７４２５００
)摘㊀要:利用同余㊁奇偶分析㊁二次同余式及二元二次方程解的结构及解序列的递归性质等初等方法,证明了椭圆曲线
y ２＝x ３＋４９x －１０６的全部整数点为x ,y ()＝(２,０),１１,ʃ４２()．关键词:椭圆曲线;整数点;二元二次方程;同余
中图分类号:O １５６．７㊀㊀㊀㊀文献标识码:A㊀㊀㊀㊀文章编号:１００１－７５４２(２０２０)０４－００１６－０５
１㊀引言
近些年来,确定椭圆曲线的有理点(尤其大整数点)是数论与算术代数几何中十分有趣的问题,这个问题和著名的M o r d e l l －w e i l 定理:椭圆曲线上有理点构成的群是有限生成的,以及著名的S i e g e l 定理:椭圆曲线上的整点只有有限多个均有关[１]．由于椭圆曲线理论集数论㊁代数㊁几何和复变函数论为一体,它具有很强的实用性和应用性．从丢番图方程到密码学,再到理论物理中的弦理论,都可以看到它的身影．尤其椭圆曲线理论在关于素性检测㊁大数分解以及离散对数中的算法更使得椭圆曲线密码(E C C )在近几十年里成为密码领域流行的标准术语,并得到了十分广泛的应用．著名的费马大定理应用了大量极为深奥的椭圆曲线理论而彻底解决．２１世纪７个千禧难题之一的B S D 猜想,
就是与椭圆曲线有理点有关的极具挑战性的难题．同余数问题的本质也与椭圆曲线的算术紧密相关．特别地,其本质是椭圆曲线的B S D 猜想和G o l d f e l d 猜想[２][３]．
本文中我们重点关注椭圆曲线y ２＝x ３＋４９x －１０６的正整数点．早在１９８７年,D．Z a g i e r 在文[４]中询问椭圆曲线y ２＝x ３＋２
７x －６２的最大整数点是否为(２８８４４４０２,１５４９１４５８５５４０)．由于这是一类典型的秩等于１且有大整数点的一种椭圆曲线,
所以该问题对于讨论椭圆曲线的算术性质有着重要的意义．因此,椭圆曲线整点问题对于在不同情况下构造合适的椭圆曲线函数具有重要的理论意义及应用前景[５]．
目前,对一类椭圆曲线y ２＝(x ＋a )(x ２－a
x ＋p )的整点问题,当a ＝－２时,研究结果主要有:当p ＝７,１５,１８,２３,３１,４３,１３９时,已经找到了对应椭圆曲线的全部整数点[６－１５]．下面对a ＝－２,p ＝５
３的情况进行了讨论,得到了如下结论:定理㊀椭圆曲线y ２＝x ３＋４９x －１０６全部整数点x ,y ()＝(２,０),１１,ʃ４２()．２㊀主要引理
引理１[１６]㊀设u ０＋v ０D 是方程u ２－D v ２＝N N ＞０()的某结合类k 的基本解,x ０＋y ０D 是x ２－D y ２＝１的基本解,则有０ɤv ０ɤy ０２(x ０＋１)N ,０ɤu ０ɤ１２
(x ０＋１)N ．引理２[１６]㊀设u ０＋v ０D 是方程u ２－D v ２＝－N N ＞０()的某结合类k 的基本解,x ０＋y ０D 是x ２－D y ２＝１的基本解,则有０＜v ０ɤy ０２(x ０－１)N ,０ɤu ０ɤ１２(x ０－１)N ．引理３[１６]㊀设D ＞０,N ＞０,D 不是平方数,不定方程u ２－D
v ２＝N 或u ２－D v ２＝－N 的解仅有有限个结合类．所有结合类的基本解可由引理１,引理２经有限步求出．设u ０＋v ０D 是类k 的基本解,
则类k 的全
第４期冉银霞 :一类椭圆曲线的正整数点部解u ＋v D 可经u ＋v D ＝ʃu ０＋v ０D ()x ０＋y ０D ()
n 表出,其中x ０＋y ０D 是x ２－D y ２＝１的基本解,n 为整数．引理４[１７]㊀若D 是一个非平凡的正整数,则方程x ２－D y ４＝１,X ,Y ɪN ∗至多有２组解(X ,Y ),而且恰有２组解的充要条件是D ɪ１７８５,２８５６０}{或者２x １和y １都是平方数,其中x １,y １是x ２－D y ２＝１的基本解．
３㊀定理的证明
定理的证明:设椭圆曲线
㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀y ２＝x ３＋４９x －１０６＝x －２()x ２＋２x ＋５３()㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀(１)的整数点为(x ,y ),显然,(x ,y )＝(２,０)是(１)的解．下面讨论方程(１)的非平凡解．设d ＝g c d x －２,x ２＋２x ＋５３(),由于x ２＋２x ＋５３＝x －２()２＋６x －２()＋６１,则d |６１．因此d ＝１,６１．首先,当d ＝１时,可令
㊀㊀㊀㊀㊀㊀x －２＝a ２,x ２＋２x ＋５３＝b ２,y ＝ʃa b ,g c d (a ,b )＝１,a ,b ɪΝ∗．㊀㊀㊀㊀㊀(２)由(２),x ２＋２x ＋５３＝a ２＋３()２＋５２＝b ２,即b ＋a ２＋３()[]b －a ２＋３()[]＝５２,而方程b ＋a ２＋３()[]b －a ２＋３()[]＝５２的整数解为a ,b ()＝３,１４()．经计算,此时椭圆曲线y ２＝x ３＋４
９x －１０６有正整数点x ,y ()＝１１,４２()．所以,当d ＝１时,椭圆曲线y ２＝x ３＋４９x －１０６有正整数点x ,y ()＝１１,４２()．其次,当d ＝６１时,可令x －２＝６１a ２,x ２＋２x ＋５３＝６１b ２,y ＝ʃ６
１a b ,g c d (a ,b )＝１,a ,b ɪΝ∗．易得:６１a ２＋３()２－６１b ２＝－５２．令u ＝６１a ２＋３,v ＝b ,则有u ２－６１v ２＝－５２．由引理２知:０＜v ０ɤ３８０５,０ɤu ０ɤ２３２１０５．经计算u ０,v ０()＝(ʃ３,１),(ʃ３６６３,４６９),(ʃ８２３２,１０５４)满足方程u ２－６１v ２＝－５２．那么由引理３知,方程u ２－６１v ２＝－５
２的整数解有６个结合类且由u ＋v ６１＝ʃ－３＋６１()１７６６３１９０４９＋２２６１５３９８０６１()n ,u ＋v ６１＝ʃ３＋６１()１７６６３１９０４９＋２２６１５３９８０６１()n ,u ＋v ６１＝ʃ－３６６３＋４６９６１()１７６６３１９０４９＋２２６１５３９８０６１()n ,u ＋v ６１＝ʃ３６６３＋４６９６１()１７６６３１９０４９＋２２６１５３９８０６１()n ,u ＋v ６１＝ʃ－８２３２＋１０５４６１()１７６６３１９０４９＋２２６１５３９８０６１()n ,
u ＋v ６１＝ʃ８２３２＋１０５４６１()１７６６３１９０４９＋２２６１５３９８０６１()n ,
n ɪZ 给出．其中１７６６３１９０４９＋２２６１５３９８０６１是P e l l 方程x ２－６１y ２＝１的基本解．于是可以得到x ２－６１y ２＝１解序
列x n ,y n ()的递归序列及序列性质如下:x n ＋m ＝x n x m ＋６１y n y m ,y n ＋m ＝x
m y n ＋y m x n ;x ２n ＝x n ２＋６１y n ２＝２x n ２－１＝１２２y n ２＋１,y ２n ＝２x n y n ;x n ʉ１(m o d ４),y n ʉ０(m o d ４);x n ʉ９,１(m o d １６),y n ʉ１２,８,４,０(m o d １６);x n ʉ－１
,１(m o d ６１);x n ＋２r t ʉ－１()t x n (m o d x r );y n ＋
２r t ʉ－１()t y n (m o d x r )．(Ⅰ)由u ＋v ６１＝ʃ３ʃ６１()１７６６３１９０４９＋２２６１５３９８０６１()
n ＝ʃ３ʃ６１()x n ＋y n
６１()得:u ＝６１a ２＋３＝ʃ３x n ʃ６１y n (),则６１a ２＝ʃ３x n ʃ６１y n ()－３．７
１
青海师范大学学报(自然科学版)２０２０年
第一,㊀当n ʉ１m o d ２()时,有６１m o d ()０ʉ６１a ２＝３x n ＋６１y n －３ʉ３x n －３ʉ－６m o d ６１(),此式为矛值同余式;㊀所以n ʉ０m o d ２(),不妨令n ＝２i ,则６１a ２＝３x n ＋６１y n －３＝３x ２i ＋６１y ２i －３＝３６６y i ２＋３＋１２２x i y i －３＝１２２y i ３y i ＋x i (),即有a ２＝２y i ３y i ＋x i (),由于３y i ＋x i ʉ１m o d ２(),g c d y i ,３y i ＋x i ()＝g c d y i ,x i ()＝１,则由上式有y i ＝２c ２,３y i ＋x i ＝d ２,a ＝２c d ,g c d c ,d ()＝１,于是有:x i ２－２４４c ４＝１,由引理４可以判定该方程仅有解c ＝０,故a ＝０,u ＝３．
第二,当n ʉ１,２,３m o d ４()时,
有１６m o d ()１３,４,５,０ʉ６１a ２＝－３x n －６１y
n －３ʉ６,２,１４m o d １６(),此式为矛值同余式;当n ʉ０m o d ４()时,有６１m o d ()０ʉ６１a ２＝－３x n －６１y n －３ʉ－３x n －３ʉ－６m o d ６１(),此式为矛值同余式．第三,１６m o d ()１３,４,５,０ʉ６１a ２＝３x n －６１y
n －３ʉ１２,２,１４,１０m o d １６(),此式为矛值同余式．第四,１６m o d ()１３,４,５,０ʉ６１a ２＝－３x n ＋６１y
n －３ʉ１４,２,６,１０m o d １６(),此式为矛值同余式;所以,６１a ２＝ʃ３x n ʃ６１y n ()－３仅有整数解a ＝０．经计算,在情形(I )下椭圆曲线y ２＝x ３＋４９x －１０６没有正整数点．(Ⅱ)由u ＋v ６１＝ʃ３６６３ʃ４６９６１()１７６６３１９０４９＋２２６１５３９８０６１()
n ＝ʃ３６６３ʃ４６９６１()x n ＋y n ６１()
得:u ＝６１a ２＋３＝ʃ３６６３x n ʃ４６９ˑ６１y n (),则６１a ２＝ʃ３６６３x n ʃ４６９ˑ６１y
n ()－３．第一,１６m o d ()１３,４,５,０ʉ６１a ２＝３６６３x n ＋４６９ˑ６１y
n －３ʉ６,１０,１４,２m o d １６(),此式为矛值同余式．第二,１６m o d ()１３,４,５,０ʉ６１a ２＝３６６３x n －４６９ˑ６１y n －３ʉ１４,１０,６,２m o d １６(),此式为矛值同余式．第三,㊀当n ʉ１,０m o d ４()时,
有１６m o d ()１３,４,５,０ʉ６１a ２＝－３６６３x n ＋４６９ˑ６１y n －３ʉ１２,８m o d １６(),此式为矛值同余式;当n ʉ２m o d ４()时,有６１m o d ()０ʉ６１a ２＝－３６６３x n ＋４６９ˑ６１y
n －３ʉ－３x n －３ʉ－６m o d ６１(),此式为矛值同余式;故只有n ʉ３m o d ４(),不妨令n ʉ４k ＋３,则x n ＝x １＋２ (２k ＋１)ʉ－１()２k ＋１x １ʉ０m o d x １(),y n ＝y １＋
２ ２k ＋１()ʉ－１()２k ＋１y １ʉ－y １m o d x １(),而x １＝１１ˑ５９ˑ１５２３ˑ１７８７,y １＝２２ˑ３２ˑ５ˑ１３ˑ１２７ˑ７６１,那么５９|x １．由６１a ２＝－３６６３x n ＋４６９ˑ６１y n －３ʉ４６９ˑ６１y n －３ʉ－４６９ˑ６１y
１－３ʉ１７５３７８１７１３m o d x １(),而６１a ２５９æèçöø÷＝２５９æèçöø÷＝－１,但１７５３７８１７１３５９æèçöø÷＝４６５９æèçöø÷＝１．产生矛盾．第四,当n ʉ３,０m o d ４()时,有１６m o d ()１３,４,５,０ʉ６１a ２＝－３６６３x n －４６９ˑ６１y n －３ʉ１２,８m o d １６(),此式为矛值同余式;㊀当n ʉ２m o d ４()时,
有６１m o d ()０ʉ６１a ２＝－３６６３x n －４６９ˑ６１y
n －３ʉ－３x n －３ʉ－６m o d ６１(),此式为矛值同余式;所以,只有n ʉ１m o d ４(),㊀不妨令n ʉ４k ＋１,则x n ＝x １＋２ ２k ʉ－１()２k x １ʉ０m o d x １(),y n ＝y １＋
２ ２k ʉ－１()２k y １ʉy １m o d x １(),而x １＝１１ˑ５９ˑ１５２３ˑ１７８７,y １＝２２ˑ３２ˑ５ˑ１３ˑ１２７ˑ７６１,那么５９|x １．
由８
１
第４期
冉银霞 :一类椭圆曲线的正整数点６１a ２＝－３６６３x n ＋４６９ˑ６１y
n －３ʉ４６９ˑ６１y n －３ʉ４６９ˑ６１y １－３ʉ１２５３７３３０m o d x １(),
而６１a ２５９æèçöø÷＝２５９æèçöø÷＝－１,但１２５３７３３０５９æèçöø÷＝７５９æèçöø÷＝１,产生矛盾．所以,方程６１a ２＝ʃ３６６３x n ʃ４６９ˑ６１y n ()－３无整数解．也即在情形(Ⅱ)下椭圆曲线y ２＝x ３＋４９x －１０６没有正整数点．
(Ⅲ)由u ＋v ６１＝ʃ－８２３２ʃ１０５４６１()１７６６３１９０４９＋２２６１５３９８０６１()n ,得:㊀㊀u ＝６１a ２－３＝ʃ８２３２x n ʃ１０５４ˑ６１y n (),则６１a ２＝ʃ８２３２x n ʃ１０５４ˑ６１y
n ()－３．对６１a ２＝ʃ８２３２x n ʃ１０５４ˑ６１y n ()－３取模１６,得剩余序列的周期为４,其余数均为:１３,５,１３,５．但６１a ２ʉ０,１３,４,５m o d １６()．因而只剩n ʉ１,３m o d ４()．第一,㊀当n ʉ２,０m o d ４()时,㊀有如下矛盾式:６１m o d ()０ʉ６１a ２＝－８２３２x n ʃ１０５４ˑ６１y n ()－３ʉ－３x n －３ʉ－６m o d ６１()．第二,㊀当n ʉ１,３m o d ４()时,㊀不妨令n ʉ２k ＋１,则x n ＝x １＋２k ʉ－１()k x １ʉ０m o d x １(),y n ＝y １＋
２k ʉ－１()k y １m o d x １(),而x １＝１１ˑ５９ˑ１５２３ˑ１７８７,y
１＝２２ˑ３２ˑ５ˑ１３ˑ１２７ˑ７６１,那么５９|x １．由６１a ２＝８２３２x n ʃ１０５４ˑ６１y n －３ʉʃ１０５４ˑ６１y
n －３ʉʃ１０５４ˑ６１y １－３ʉ５５７８７４９,１７６０７４０２９４m o d x １(),
而６１a ２５９æèçöø÷＝２５９æèçöø÷＝－１,但５５７８７４９５９æèçöø÷＝４５９æèçöø÷＝１,１７６０７４０２９４５９æèçöø÷＝４９５９æèçöø÷＝１．矛盾．所以,方程６１a ２＝ʃ８２３２x n ʃ１０５４ˑ６１y
n ()－３均无解．也即在情形(Ⅲ)下椭圆曲线y ２＝x ３＋４９x －１０６没有正整数点．综上(Ⅰ)(Ⅱ)(Ⅲ),当d ＝６１时,椭圆曲线y ２＝x ３＋４
９x －１０６均没有正整数点．因此,椭圆曲线y ２＝x ３＋４９x －１０６的全部整数点为x ,y ()＝(２,０),１１,ʃ４２()．参考文献:
[１]㊀J i a n h o n g Z h a o ．E l l i p t i c C u r v e I n t e g r a l P o i n t s o n y
２＝x ３＋３x －１４[J ]．I O PC o n f e r e n c e S e r i e s :E a r t h a n dE n v i r o n m e n t a l S c i e n c e ,２０１８,１２８(１)．[２]㊀杜先存,胡林云,王婷．椭圆曲线y ２＝(x －２)(x ２＋２
x ＋１５)的整数点[J ]．周口师范学院学报,２０１８,３５(２):１９－２０＋２４．[３]㊀崔保军．椭圆曲线y ２＝x ３＋１
４x －３６的整数点[J ]．内蒙古农业大学学报(自然科学版),２０１８,３９(０３):９０－９３．[４]㊀J i a n h o n g Z h a o ．E l l i p t i cC u r v e I n t e g r a l P o i n t s o n y
２＝x ３＋１９x －４６[J ]．I O PC o n f e r e n c e S e r i e s :M a t e r i a l s S c i e n c e a n dE n g i n e e r i n g ,２０１８,３８２(５)．
[５]㊀吴华明．椭圆曲线y ２＝x ３＋２７x －６２的整数点[J ]．数学学报,２０１０,５３(１):２０５－２０８．[６]㊀崔保军．椭圆曲线y ２＝x ３＋３
９x －８６的整数点[J ]．甘肃高师学报,２０１９,２４(５),１７－１９．[７]㊀崔保军．椭圆曲线y ２＝x ３＋１
３５x －２７８的整数点[J ]．安徽大学学报(自然科学版),２０１９,４３(２):２８－３２．[８]㊀管训贵．椭圆曲线y ２＝x ３＋(m －４)x －２m 的整数点[J ]．数学进展,２０１９,４８(０６):７２１－７３０．[９]㊀王婷,陈子媛,杜先存．椭圆曲线y ２＝(x ＋２)(x ２－２
x ＋７)的正整数点[J ]．河北北方学院学报(自然科学版),２０１９,３５(１):４－７．[１０]赵建红．椭圆曲线y ２＝(x ＋２)(x ２－２
x ＋１５)的正整数点[J ]．数学的实践与认识,２０１９,４９(０１):２８８－２９１．[１１]杜先存,过静．椭圆曲线y ２＝x ３＋２
３x ＋５４的正整数点[J ]．沈阳大学学报(自然科学版),２０１９,３１(３),８１－８３．[１２]过静．椭圆曲线y ２＝x ３＋２７x ＋６２的整数点[J ]．重庆师范大学学报(自然科学版),２０１６,３３(５):５０－５３．[１３]李玉龙,赵建红,万飞．椭圆曲线y ２＝(x ＋２)(x ２－２x ＋４３)的整数点[J ]．数学的实践与认识,２０１８,４８(１２):２８７－２９１．(下转第３１页)
９１
第４期纪小红,等:I S O A－B P 组合优化氨氮预测模型I S O A ＧB PC o m b i n a t i o nO p t i m i z a t i o no fA m m o n i aN i t r o g
e nP r e d i c t i o nm o d e l J IX i a o Ｇh o n g ,P A NY i n g (C o l l e g e o
f P h y s i c s a n dE l e c t r o n i c I n f o r m a t i o n ,Q i n
g
h a iU n
i v e r s i t y f o rN a t i o n a l i t i e s ,X i n i n g ８１０００７,C h i n a )A b s t r a c t :B e c a u s e i t i s e a s y t o f a l l i n t o t h e l o c a l o p t i m u m ,t h e t r a d i t i o n a l B Pn e u r a l n e t w o r k i s l e s s a c Ｇc u r a t e i n t h e p r e d i c t i o no f a m m o n i a －n i t r o g e n i nw a t e r ．H o w e v e r ,t h e s e a g u l l o p t i m i z a t i o na l g o r i t h m p r o Ｇp o s e d r e c e n t l y h a sb e t t e ro p t i m i z a t i o n p e r f o r m a n c e ,w h i c hc a no v e r c o m e i t sd i s a d v a n t a g eo f e a s i l y f a l l i n g i n t o l o c a l o p t i m i z a t i o nw h e n c o m b i n e dw i t hB Pn e u r a l n e t w o r k ．T h i s p a p e rm a i n l y s t u d i e s t h e p r o b l e m s o f B Pn e u r a l n e t w o r k i n t h e p r e d i c t i o n o f a m m o n i a －n i t r o g e n ,a i m i n g a t t h e s h o r t c o m i n g s o f t h e S e a g u l l O p t i Ｇm i z a t i o nA l g o r i t h m (S O A )i t s e l f ,p u t s f o r w a r d a n i m p r o v e d i d e a o f u s i n g t h e c h a o t i c t h o u g h t ,a n d o b t a i n s a n e w p r e d i c t i o nm o d e l t h a t i s I m p r o v e dS e a g u l lO p t i m i z a t i o nA l g o r i t h m (I S O A )t oo p t i m i z e t h eB Pn e u r a l n e t w o r km o d e l ．S i m u l a t i o nr e s u l t s s h o wt h a t t h e p r o p o s e d i m p r o v e da l g o r i t h m h a sas i g n i f i c a n t i m p r o v e Ｇm e n t i n p r e d i c t i o na c c u r a c y a n d c a nb eb e t t e r a p p l i e d i n p r a c t i c e ．K e y w
o r d s :n e u r a l n e t w o r k ;s e a g u l l o p t i m i z a t i o na l g o r i t h m ;p r e d i c t i o no f a m m o n i a －n i t r o g e n (上接第１９页)
[１４]杜先存,赵建红,万飞．椭圆曲线y ２＝(x ＋２)(x ２－２
x ＋p )的整数点[J ]．西南大学学报(自然科学版),２０１７,３９(６):６９－７３．[１５]管训贵．椭圆曲线y ２＝x ３＋(p －４)x －２p 的整数点[J ]．数学进展,２０１４,４３(０４):５２１－５２６．[１６]柯召,孙琦．谈谈不定方程[M ]．哈尔滨工业大学出版社,２０１１,２５－２７．[１７]C O H NJH．T h eD i o p h a n t i n e e q u t i o n y
２＝D x ４＋１(I I I )[J ]．M a t hS c a n d ,１９８７,４２:１８０－１８８．P o s i t i v e i n t e g e r p o i n t s f o r t h e e l l i p
t i c c u r v e R A NY i n Ｇx i a (L o n g n a nT e a c h e r sC o l l e g e ,C o l l e g e o fM a t h e m a t i c s a n d I n f o r m a t i o nS c i e n c e ,G a n s u C h e n g x i a n７４２５００,C h i n a )A b s t r a c t :U s i n g e l e m e n t a r y m e t h o d s i n c l u d i n g t h e p r o p e r t i e so fc o n g r u e n t ,p a r i t y a n a l y s i s ,q u a d r a t i c c o n g r u e n c e ,s t r u c t u r e a n d s e q u e n c e o f s o l u t i o n f o r b i n a r yq u a d r i c e q u a t i o n ,t h e e l l i p t i c c u r v e o n l y h a s p o s i Ｇt i v e i n t e g r a l p o i n t １１,４２()w a s p r o v e d ．K e y w o r d s :e l l i p t i c c u r v e ;i n t e g r a l p o i n t ;b i n a r yq u a d r i c e q u a t i o n ;c o n g r u e n c e １３。