利用导数探究函数的单调性(共10种题型)

利用导数探究函数的单调性

一.求单调区间

例1. 已知函数2()ln (0,1)x f x a x x a a a =+->≠，求函数)(x f 的单调区间 解：()ln 2ln 2(1)ln x x f x a a x a x a a '=-=-++.

则令()()g x f x '=

因为当0,1a a >≠

所以2()2ln 0x g x a a '=+>

所以()f x '在R 上是增函数,

又(0)0f '=,所以不等式()0f x '>的解集为(0,)∞+,

故函数()f x 的单调增区间为(0,)∞+ 减区间为：(0)-∞，

变式：已知()x f x e ax =-，求()f x 的单调区间

解：'()x f x e a =-

当0a ≤时，'()0f x >，()f x 单调递增

当0a >时，由'()0x f x e a =->得：ln x a >，()f x 在(ln ,)a +∞单调递增

由'()0x f x e a =-<得：ln x a <，()f x 在(ln )a -∞，

单调递增 综上所述：当0a ≤时，()f x 的单调递增区间为：-∞+∞（，），无单调递减区间

当0a >时，()f x 的单调递增区间为：(ln ,)a +∞，递减区间为：(ln )a -∞，

二.函数单调性的判定与逆用

例2.已知函数32()25f x x ax x =+-+在11

32

（，）上既不是单调递增函数，也不是单调递减函数，求正整数a 的取值集合

解：2()322f x x ax '=+-

因为函数32()25f x x ax x =+-+在1132（，）上既不是单调递增函数，也不是单调递减函数

所以2()322=0f x x ax '=+-在1132（，）上有解 所以''11()()032

f f <

又*a N ∈

解得：5542

a << 所以正整数a 的取值集合{2}

三.利用单调性求字母取值范围

例3. 已知函数()ln x f x ax x =

-，若函数()y f x =在1+?（，）上是减函数，求实数a 的最小值. 解：因为()ln x f x ax x =

-在1+?（，）上是减函数 所以'2

ln 1()0(ln )x f x a x -=-?在1+?（，）上恒成立 即2ln 1(ln )

x a x -³在1+?（，）上恒成立 令ln ,(1)t x x =>，则0t >

2

1()(0)t h t t t -=> 则max ()a h t ³ 因为222111111()=()()24

t h t t t t t -=

-+=--+ 所以max 1()=(2)4

h t h = 所以14

a ³ 变式：若函数3211()(1)132f x x ax a x =-+-+在区间1,4（）上为减函数，在区间(6,)+?上为增函数，试求实数a 的取值范围.

解：2'()=1f x x ax a -+-

因为函数()y f x =在区间1,4（）

上为减函数，在区间(6,)+?上为增函数 所以''()0(1,4)()0,(6,)f x x f x x ìï??ïíï???ïî，恒成立

即2210(1,4)10,(6,)x ax a x x ax a x ì-+-??ïïíï-+-???ïî，