人教新课标高二上学期期末考试数学(理)试题【河北卷】

河北省高二上学期期末考试
数学（理）试题
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 从遂宁市中、小学生中抽取部分学生，进行肺活量调查.经了解，我市小学、初中、高中三个学段学生的肺活量有较大差异，而同一学段男女生的肺活量差异不大.在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是（ ）
A.简单的随机抽样
B.按性别分层抽样
C.按学段分层抽样
D.系统抽样
2.某班有学生60人，现将所有学生按1，2， 3，…，60随机编号，若采用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本（等距抽样），已知编号为3, 33, 48号学生在样本中，则样本中另一个学生的编号为（ ） A ．28 B ．23 C ．18 D ．13
3.中国古代数学著作《孙子算经》中有这样一道算术题：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？ ”人们把此类题目称为“中国剩余定理”.若正整数N 除以正整数m 后的余数为n ，则记为()mod N n m =，例如()112mod3=.现将该问题以程序框图给出，执行该程序框图，则输出的n 等于（ ）
A ．21
B ．22
C ．23
D ．24
4.为评估一种农作物的种植效果，选了n 块地作试验田.这n 块地的亩产量（单位：kg )分别为12,,,n x x x ，
下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是（ ） A. 12,,,n x x x 的平均数 B. 12,,,n x x x 的标准差 C.12,,
,n x x x 的最大值
D. 12,,
,n x x x 的中位数
5.已知直线,m l ,平面,αβ,且,m l αβ⊥⊂，给出下列命题： ①若//αβ，则m l ⊥； ②若αβ⊥，则//m l ； ③若m l ⊥，则αβ⊥；
④若//m l ，则αβ⊥.
其中正确的命题是（ ）
A.①④
B.③④
C.①②
D.②③
6.供电部门对某社区1000位居民2017年12月份人均用电情况进行统计后，按人均用电量分为
[)[)[)[)[]0,10,10,20,20,30,30,40,40,50五组，整理得到如下的频率分布直方图，则下列说法错误的是（ ）
A.12月份人均用电量人数最多的一组有400人
B.12月份人均用电量不低于20度的有500人
C.12月份人均用电量为25度
D.在这1000位居民中任选1位协助收费，选到的居民用电量在[)30,40—组的概率为
1
10
7.已知,x y 满足条件002x y y x ≤⎧⎪
≥⎨⎪-≤⎩
，则目标函数z x y =+从最小值连续变化到0时，所有满足条件的点(),x y 构
成的平面区域的面积为（ ） A ．2 B ．1 C ．
12 D ．14
8.过函数()321
3f x x x =-图象上一个动点作函数的切线，则切线倾斜角的范围为（ ）
A ．30,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦
B ．30,,24πππ⎡⎫⎡⎫⋃⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭
C ．3,4ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭
D ．324ππ⎛⎤ ⎥⎝⎦
，
9.已知定义在R 上的函数()f x 满足：()1y f x =-的图象关于()1,0点对称，且当0x ≥时恒有
()()2f x f x +=，当[)0,2x ∈时，()1x f x e =-，则()()20162017f f +-=（ ）(其中e 为自然对数的底） A ．1e - B ．1e - C ．1e -- D ．1e + 10.已知Rt ABC ∆，点D 为斜边BC 的中点，1
63,6,2
AB AC AE ED ===，则AE EB ⋅等于（ ） A ．14- B ．9- C ．9 D ．14
11.如图，正方体1111ABCD A B C D
-绕其体对角线1BD 旋转θ之后与其自身重合，则θ的值可以是（ ）
A ．
23π B ．34π C ．56π D ．35
π 12.在直角坐标系内，已知()3,5A 是以点C 为圆心的圆上的一点，折叠该圆两次使点A 分别与圆上不相同的两点（异于点A )重合，两次的折痕方程分别为10x y -+=和70x y +-=，若圆上存在点P ，使得
()
0MP CP CN ⋅-=，其中点()(),0,0M m N m -、，则m 的最大值为（ ） A ．7 B ．6 C ．5 D ．4
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.如图所示，有,,,,,A B C D E 5组数据，去掉 组数据后，剩下的4组数据具有较强的线性相关关系.（请用A B C D E 、、、、作答）
14.过抛物线2
14
y x =
的焦点F 作一条倾斜角为30︒的直线交抛物线于A B 、两点，则AB = ． 15.已知12F F 、为椭圆22
1259
x y +=的两个焦点，过1F 的直线交椭圆于A B 、两点若2212F A F B +=，则
AB = ．
16.某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A 原料3吨、B 原料2吨；生产每吨乙产品要用
A 原料1吨、
B 原料3吨.销售每吨甲产品可获得利润5万元，每吨乙产品可获得利润3万元， 该企业在
一个生产周期内消耗A 原料不超过13吨，B 原料不超过18吨，那么该企业可获得最大利润是 万元.
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17. 已知ABC ∆中，角A B C 、、的对边分别为,,a b c ，120C =︒. （1）若1c =，求ABC ∆面积的最大值； （2） 若2a b =，求 t tan A .
18.某兴趣小组欲研究昼夜温差大小与患感冒人数多少之间的关系,他们分别到气象局与某医院抄录了 1至6月份每月10号的昼夜温差情况与因患感冒而就诊的人数，得到如下资料：
该兴趣小组确定的研究方案是：先用2、3、4、5月的4组数据求线性回归方程，再用1月和6月的2组数据进行检验.
（1）请根据2、3、4、5月的数据，求出y 关于x 的线性回归方程y bx a =+；
（2）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2人，则认为得到的线性回归方程是理想的，试问该小组所得线性回归方程是否理想？
（参考公式：()()()
1
12
2
2
1
1
n
n
i
i
i i
i i n
n
i
i
i i x x y
y
x y nxy
b x x x
nx
====---=
=
--∑∑∑∑，a y bx =-）
参考数据：1125132912268161092⨯+⨯+⨯+⨯=， 22221113128498+++=.
19.如图，四面体ABCD 中，O E 、分别是BD BC 、的中点，2CA CB CD BD ====
,AB AD ==
（1）求证：//OE 平面ACD ；
（2）求直线OC 与平面ACD 所成角的正弦值. 20.遂宁市观音湖港口船舶停靠的方案是先到先停：
（1）若甲乙两艘船同时到达港口，双方约定各派一名代表从1，2, 3, 4, 5中各随机选一个数（甲、乙选取的数互不影响），若两数之和为偶数，则甲先停靠；若两数之和为奇数，则乙先停靠，这种规则是否公平？请说明理由.
（2）根据以往经验，甲船将于早上7:00〜8:00到达，乙船将于早上7:30〜8:30到达，请求出甲船先停靠的概率.
21.如图三棱柱111ABC A B C -中，侧面11BB C C 为菱形，1AB B C ⊥.
（1）证明：1AC AB =； （2）若11,,3
AC AB CBB AB BC π
⊥∠=
=，求二面角111A A B C --的余弦值.
22.已知椭圆()22
22 0:1x y C a b
a b =>>+的右焦点()1,0F ，过点F 且与坐标轴不垂直的直线与椭圆交于,P Q 两
点，当直线PQ 经过椭圆的一个顶点时其倾斜角恰好为60︒. (1)求椭圆C 的方程；
(2)设O 为坐标原点，线段OF 上是否存在点()(),00T t t ≠，使得QP TP PQ TQ ⋅=⋅？若存在，求出实数t 的取值范围；若不存在，说明理由.
试卷答案
一、选择题
1-5: CDCCA 6-10: CBBAD 11、12：AB
二、填空题
13. D 14.
16
3
15. 8 16. 27 三、解答题
17. 解：设（1）由余弦定理得222cos1201a b ab +-︒=，
22123a b ab ab ab ab ++=≥+=，当且仅当a b =时取等号；解得1
3
ab ≤，
故1sin 2ABC S ab C ∆=≤
ABC ∆. （2）因为2a b =，由正弦定理得sin 2sin A B =，又120C =︒，故60A B +=︒，
∴()sin 2sin 60sin A A A A =︒-=-，
2sin A A =，
∴tan A =
. 18.（1）由数据求得11,24x y == 由公式求得187
b =
再由307
a y bx =-=-
所以y 关于x 的线性回归方程为1830
77
y x =-
（2）当10x =时，150
7
y =，1502227-<；
同样，当6x =时，787
y =
，781227-<
所以，该小组所得线性回归方程是理想的.
19.（1）证明：连结OE ,∵O E 、分别是BD BC 、的中点.∴//OE CD , 又OE ⊄平面ACD ,CD ⊂平面ACD , ∴//OE 平面ACD
（2）法一：连结OC ,∵,BO DO AB AD ==,∴AO BD ⊥. ∵,BO DO BC CD ==,∴CO BD ⊥. 在AOC ∆中， 由已知可得
1,AO CO ==而2AC =, ∴222AO CO AC +=,∴AO OC ⊥. ∵BD OC O ⋂=,∴AO ⊥平面BCD .
以OB OC OA 、、分别为x y z 、、轴，建立如图所示的直角坐标系 ()(
)()
()0,0,1,1,0,0,,1,0,0A B C D -
设平面ACD 的法向量(),,x y z η=，由()()
1,0,1,1,3,0DA DC ==
则有 0
0x z x +=⎧⎪⎨=⎪⎩，令1x =-，得31,η⎛⎫=
- ⎪ ⎪⎝⎭
又因为()
OC =，所以7
sin OC OC ηαη
⋅=
=
故直线OC 与平面ACD 所成角的正弦值为.
法二：设O 到平面ACD 的距离为d ，由A ODC
O ADC V V --=
，有
1111113232d ⨯⨯=⨯
，得
d =
故直线OC 与平面ACD 所成角的正弦值为：d OC =
. 20.（1）这种规则是不公平的
设甲胜为事件A ，乙胜为事件B ,基本事件总数为5525⨯=种 .
则甲胜即两编号和为偶数所包含的基本事件数有13个：()()()()()()()()1,1,1,3,1,5,2,2,2,4,3,1,3,3,3,5,
()()()()()4,2,4,4,5,1,5,3,5,5，
∴甲胜的概率()13
25
P A =
乙胜的概率()()12125
P B P A =-= ∴这种游戏规则不公平.
（2）设甲船先停靠为事件C ,甲船到达的时刻为x ,乙船到达的时刻为y ，(),x y 可以看成是平面中的点，试验的全部结果构成的区域为(){},78,7.58.5x y x y Ω=
≤≤≤≤，这是一个正方形区域，
面积111S Ω=⨯=，事件C 所构成的区域为(){},,78,7.58.5A x y y x x y =>≤≤≤≤，
1117
12228
A S =-⨯⨯=，这是一个几何概型，
所以()78
A S P C S Ω=
=. 21.（1） 连接1BC ,交1
BC 于点O ,连接AO ,因为侧面11BB C C 为菱形, 所以11B C BC ⊥，且O 为1B C 及1BC 的中点，又11,AB B C AB BC B ⊥⋂= 所以1B C ⊥平面ABO .由于AO ⊂平面ABO , 故1B C AO ⊥.又1B O CO =,故1AC AB =. （2）因为1AC AB ⊥，且O 为1B C 的中点，. 所以AO CO =.又因为AB BC =, 所以BOA BOC ∆≅∆,故OA OB ⊥, 从而1,,OA OB OB 两两相互垂直，
O 为坐标原点，OB 的方向为x 轴正方向，
OB 为单位长，建立如图所示空间直角坐标系O xyz - 因为13
CBB π
∠=
,所以1CBB ∆为等边三角形，又AB BC =，则
()13330,0,,1,0,0,0,,0,0,,0A B B C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
1330,,AB ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，1131,0,A B AB ⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭，1131,,0B C BC ⎛⎫==-- ⎪ ⎪⎝⎭
. 设(),,n x y z =是平面11AA B 的法向量，则
11100
n AB n A B ⎧⋅=⎪⎨
⋅=⎪⎩，即33
030y z x z ⎧-=⎪⎨⎪-=⎪⎩
，所以可取()
1,3,3n = 设m 是平面111A B C 的法向量，则1111
0m A B m B C ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，同理可取()
1,3,3m =-
1
cos ,7
n m n m n m
⋅=
=
所以二面角111A A B C --的余弦值为
17
.
22.解：（1)由题意知1c =
，又
tan60b
c
=︒23b =， 2
2
2
4a b c =+=，所以椭圆的方程为：22
143
x y +=.
（2）当0k =时，0t =，不合题意
设直线PQ 的方程为：()()1,0y k x k =-≠，代入22
143
x y +=，
得：()
22223484120k x k x k +-+-=，故 0∆>，则,0k R k ∈≠ 设()()1122,,,P x y Q x y ，线段PQ 的中点为()00,R x y ，
则()21200022
43,123434x x k k
x y k x k k
+===-=-++， 由QP TP PQ TQ ⋅=⋅得: ()()
20PQ TQ TP PQ TR ⋅+=⋅=， 所以直线TR 为直线PQ 的垂直平分线，
直线TR 的方程为:2223143434k k y x k k k ⎛⎫
+=-- ⎪++⎝⎭，
令0y =得：T 点的横坐标22
2
1
3344k t k k ==++， 因为()20,k ∈+∞，所以
()2344,k +∈+∞，所以10,4t ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
.
所以线段OF 上存在点(),0T t ，使得QP TP PQ TQ ⋅=⋅，其中10,4t ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
.。