中职数学任意角的正弦函数、余弦函数、正切函数的概念

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数定义域的 生 对 函 数
余弦函数：y=cos 定义域为 R
正切函数：y=tan
一般方法探 定 义 域 的 索正弦、余 掌握情况。 弦和正切函
定义域为
{x|x≠(π /2)+kπ ,k∈Z}
对于任意角的三角函数而言，其实大 数 的 定 义 家只需要记住当角的终边落在 y 轴上的 域。 话，正切值是不存在的。
教学环节与主要内容
教学表现行为 目标
1、从学生已
课堂教学 评价
1、评价学
一、知识回顾 在初中，我们学习了锐角三角函数，它 有的知识出 们是在直角三角形中定义的。如图 5-13 所 发，导入新 示，在直角∆ABC 中，定义 生对锐角

的 正
B
课，提高学 生参与课堂
弦、 余弦和 正切定义 的识记情 况。
对于每一个确定的也是确定的那么比值也是确定的也就是说一个角它的正弦函数对应一个比值余弦函数对应一个比值正切函数也对应着一个比值一个变量对应着一个变量变量与变量之间是一一对应的
《任意角的正弦函数、余弦函数、正切函数的概念》
礼县王坝农业中学
教学对象 高一年级
罗奎奎
授课学时 1 课时
1、理解任意角的正弦、余弦、正切函数的定义；会用角 终边上任 意一点坐标表示 的正弦、余弦和正切值. 教学目标 2、掌握正弦、余弦、正切的定义域 3、运用研究函数的一般方法，经历从特殊到一般，具体到抽象的研 究过程，体验数形结合、类比等思想方法. 教学重点 重点：任意角的三角函数定义及其定义域。 与难点 难点：对任意角的三角函数定义的理解。 教学方法 启发、引导、演示法、练习法.
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课堂小结 引导学生根据自己的学习收获进行总结：
解。
1．梳 理 内
1．任意角三角函数的定义． （注意：任意 容，突出重 角的三角函数是由角终边上任意一点的坐 点，巩固定 标 x、y 和这一点到原点的距离 r 决定的。 ） 义. 2．任意角三角函数值的求法（根据定义去 2．培养学 1 、评价学 生对所学 知识的理 解情况。
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对于每一个确定的 值，其终边的ห้องสมุดไป่ตู้置 也是确定的，那么比值也是确定的，也就 是说一个 角，它的正弦函数对应一个比 值，余弦函数对应一个比值，正切函数也 对应着一个比值，一个变量对应着一个变 量，变量与变量之间是一一对应的。
因此，正弦、余弦及正切都是以为 自变量的函数，分别叫做正弦函数、余弦 函数及正切函数，他们都是三角函数。
知识巩固
例 1 已知角 终边经过点 P（2，-3）
如图，求角 的三个三角函数值．
y
O
x
P（2，-3）
解： 已知点 P（2， -3） ，则
1 、评价学 1、通过例 1 生 理 解 定 义、 应用定
r OP 2 3 13． 加深学生对
2 2
定 义 的 理 义的能力。
9
y 3 3 13 sin ； r 13 13 x 2 2 13 cos ； r 13 13 y 3 tan ． x 2
那么能不能用 角终边上的任意一点 的坐标和这一点到原点的距离来定义这个 角的三角函数呢？
4
探索解决问题：
在 的终边上任意找一点点 P，设点 P
( , ) 的坐标为 x1 y 2 。点 P 到原点的距离为
x2 y r 1 1 1 r1 ，则
2
2、通过问题 过点 P 做 PM 垂直于 x 轴交 x 轴于 M 点。 2 、通过对 的探索，可 问题的探 以为任意角 索回答， 评 三角函数的 价他们对 合理性做好 相似三角
r
x y
2
垫。
于是，上面的三角函数的定义就可以写作：
y sin r
x cos r
tan
分析：
点 B 是直角∆ABC 的顶点，也是 角终 边上的一点。而 角的正弦、余弦、正切 函数都可以用点 B 的坐标 x，y 和点 B 到原 点的距离 r 来定义。
y x
提出问题：
(引导学生分析)
在上述的表达式中，任意一个锐角 都唯一对应一组 , , ，即 , , 分别是 锐角 的的函数：
y x y r r x y x y r r x
二、课程导入
将直角∆ABC 放在直角坐标系中，使得 点 A 与做标原点重合，AC 边在 x 轴的非 负半轴上（图 5-14） 。
1 、 通过图形 1、评价学
c a
活动的积极 性。
A
b
(图 5-13）
C
2
a 角的对边 sin c 角的斜边
cos b 角的邻边 c 角的对边
2、通过角
2、 评价学生
与
y x y , , 之 对函数定 r r x
间的对应关 义的理解。 系，加深学 生对函数概 念的理解。
a 角的对边 tan b 角的邻边
在弧度制下， 角的度量值是一个实数， 因此，三角函数是以实数为自变量的函数。
探索新知
提出问题：
我们知道决定一个函数的两个因素是 定义域和对应法则，根据前面的学习我们 知道三角函数的对应法则，那么三角函数 的定义域是怎样的呢？ 那么我们就来一个一个的讨论一下： 正弦函数： y=sin 定义域为 R 4、用讨论函 4 、评价学
新授课程
一般地，设 角是平面直角坐标系中的 一个任意角，点 P（x，y）为角 终边上 的任意一点，点 P 到原点的距离为
r x2 y2
>
0（图 5-15） ，那么角 的正
弦、余弦、正切分别定义为
y sin r x cos r
6
y tan x
y
P（x，y） r α M （图 5-15）
求，如果是锐角的话也可以放在直角三角 生归纳、总 形中去求。 ） ． 3．任意角三角函数的定义域（注意角的终 边落在 y 轴上的情况） ． 结的能力.
布置作业
教材 P112，练习 5.3.1
通过作业巩 通 过 作 业 固本节课所 评 价 课 堂 学的内容 教学效果.
复习各象限角的三角函数值的正负号
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学情分析：
学生在初中已经学习了在直角三角形中锐角的正弦、余弦和正切 的定义，这为本节课三角函数定义的推广奠定了基础。而中职学生学 习的主动性相对欠缺，因此，在理解任意角三角函数定义时可能会遇 到一定的困难， 教学预案构思， 自认为要较多地发挥教师的主导作用。
教学方法：
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为了充分调动学生学习的积极性，本节课采用了问题引导策略， 通过启发、引导、演示、练习、多媒体辅助等多种教学方法相结合， 通过课堂上教师设置的问题，不断强化学生对三角函数概念的理解， 化解教学难点。
教学设计思路：
首先围绕角的终边上点的坐标的几何直观，借助相似三角形知 识，让学生认识到任意角的正弦值、余弦值、正切值定义的合理性； 在此基础上运用函数的概念，帮助学生体会任意角的正弦函数、余弦 函数和正切函数的意义。接着牢牢抓住三角函数定义及联系定义的角 的终边在直角坐标系中的位置关系， 引导学生经历观察、 回顾、 分析、 发现、总结归纳等过程。因此，教学设计内容主要为“知识回顾→课 程导入→新授知识→知识巩固。 ”
让学生直观 生 通 过 观
y
r α
y） B （x，
感 受 sin 、 察 图 形 解
cos 、 tan
决问题的
y
的 值 与 角 能力。 终边上一点
oA0
x
C
的坐标之间
x
关系，为给 出任意角的
设点 B 的坐标为（x，y） ，在直角坐标
3
系中，点 B 到原点的距离为 r，则
2
三角函数定 义 做 好 铺
概念分析：
也就是说将锐角三角函数推广到任意
3、评价学
x
角的三角函数。
3、通过对定
生的观察
锐角三角 函数
任意角的三角 函数
在直角三角形 中定义的
义的强调和 能 力 和 总 分析，加深 结 归 纳 能 学生对定义 力。
在直角坐标系中定 义的
的理解。
对于任意的角 ，它的三角函数只与 终边上任意一点的坐标和这一点到原点的 距离有关。
1
y
P
2
B
( x1 , y )
r
1
M
y
铺垫。 形相关知
x A 01
C
x
识的掌握 情况。
此时，三角函数的定义可以写作
y sin r cos x r
t an
1
1
1
1
y x
1
1
5
结论：
所以 的三角函数可以用终边上的任 意一点的坐标和这一点到原点的距离来定 义。
提出问题：
那么，对于一个任意角能不能用这个 角终边上的任意一点的坐标和这一点到原 点的距离来定义这个角的三角函数呢？ 其实答案是可以的，这也是我们这一 节课重点要讲的内容——
学习内容分析：
本节将三角函数的自变量从锐角推广到任意角,通过平面直角坐
y x y , , 标系中角 的终边上任意一点 P( x, y ) 的坐标及其 r r x 三个比值的
特点定义了任意角的正弦函数、余弦函数、正切函数，讨论了正弦、 余弦、正切函数的定义域。三角函数是重要的初等函数，是第 3 章函 数的延伸和拓展， 通过三角函数的学习， 可以进一步巩固函数的概念。 因此，任意角的正弦、余弦、正切函数的定义是本节重点，关键是帮 教学设计 说明 助学生建立三角函数的概念，同时又对后面的三角函数的图像与性质 的学习起到关键作用。依据教学大纲，本节内容重点介绍任意角的三 角函数定义及简单应用；