求解背包问题的一种新的近似算法

求解背包问题的一种新的近似算法
引言：现实中有很多问题至今还没有多项式式时间可解的算法，如本文的背包问题。

实际应用中可以通过近似算法来获得一个解。

近似算法在理想情况下，可以保证近似解与最优解只有一个常数之差。

背包问题的近似算法
现实中有很多问题至今还没有多项式式时间可解的算法，如本文的背包问题。

实际应用中可以通过近似算法来获得一个解。

近似算法在理想情况下，可以保证近似解与最优解只有一个常数之差。

近似算法设计的两个基本要求：
算法能在N的多项式时间内完成
算法的近似解满足一定的精度
4.1 近似算法定义
接下来我们来介绍几个定义，来衡量近似算法的性能。

定义1（近似比）设问题Π是最大化问题，I是问题Π的一个实例：
A是问题Π的一个近似算法，A(I)是用算法对问题Π的实例I求解得到的近似值
OPTA是问题Π的最优算法，OPTA(I)是算法OPTA对问题Π的实例I求解得到的准确值
则可以定义近似算法A的近似比率ρ(I):
ρ(I)=OPTA(I)A(I)
最小化问题的近似比为：
ρ(I)=A(I)OPTA(I)
算法A的近似比率ρ(I)总是大于等于1，近似比率越小，算法越好。

定义2(相对误差界) 若对于输入规模为n的问题，存在一个函数ϵ(n)，使得：
ρ(I)=|OPTA(I)−A(I)OPTA(I)|≤ϵ(n)
近似算法的近似比率ρ(I)与相对误差的界ϵ(n)存在如下的关系：ϵ(n)=ρ(I)−1
定义3（优化问题近似方案）把近似算法A的近似比满足如下条件：
且{Aϵ|ϵ>0且ρ(I,ϵ)≤1+ϵ}
称为优化问题的近似方案。

定义4（多项式近似方案，PAS）如果近似方案中的每一个算法Aϵ，以输入实例规模的多项式时间运行，则称该方案为多项式近似方案（Polynomial Approximiation Scheme ,PAS )
定义5（完全多项式近似方案，FPAS）如果近似方案中的每一个算法Aϵ的计算时间是1ϵ和n的多项式，则称这个近似方案是完全多项式近似方案（Fully Polynomial Approximiation Scheme ,FPAS )
完全多项式近似方案(FPAS)通俗理解，在理想情况下，若ϵ减少某个常数倍，近似方案中算法的计算时间的增长也不会超过某个常数倍。

4.2 背包问题
4.2.1 分数型背包问题
定义4（分数型背包问题）设背包的容量为W,给定n个物品{1,...,n}，物品对应的体积为w1,...,wn，物品对应的价值为c1,...,cn。

物品可以分割，选取n个物品中的子集S⊆{1,...,n}装入背包，使得物品价值最大。

其最优化表述为：
(16)max∑j=1ncjxjs.t.∑j=1nwjxj≤W0≤xj≤1
接下来我们讨论分数型背包问题的贪婪法求解。

我们按价值体积比从大到小排序：
c1w1≥c2w2,...,≥cnwn
定义k为刚好使背包超过容量W的那个物品：
k:=min{j∈{1,..,n}:∑i=1jwi>W}
则分数型背包问题的最优解由下面式子给出：
其中其中xj:=1,其中j=1,...,k−1xk:=W−∑j=1k−1wjwkxj:=0,其中j=k+1,...,n
上述分数型背包问题主要的计算时间在于对n个物品排序，排序的复杂度为o(nlog(n))。

4.2.2 0-1背包问题的贪婪算法
定义5（0-1背包问题）设背包的容量为W,给定n个物品{1,...,n}，物品对应的体积为w1,...,wn，物品对应的价值为c1,...,cn。

物品不可分割，选取n个物品中的子集S⊆{1,...,n}装入背包，使得物品价值最大。

其最优化表述为：
(17)max∑j=1ncjxjs.t.∑j=1nwjxj≤Wxj∈{0,1}
我们按价值体积比从大到小排序：
c1w1≥c2w2,...,≥cnwn
定义k为刚好使背包超过容量W的那个物品：
k:=min{j∈{1,..,n}:∑i=1jwi>W}
则0-1背包问题的可行解{1,...,k−1}作为近似解；实际上，该贪婪算法可以任意的坏，即其近似比可能是无界的。

例如，考虑如下背包问题：
物品1： w1=1,c1=2
物品2：w2=C,c2=C,C>2
最优解是把物品2装入背包，但是按照贪婪法，则优先把物品1装入背包。

考虑到C可以任意大，近似比也任意大。

上述算法主要的计算时间在于对n个物品排序，排序的复杂度为o(nlog(n))。

4.2.3 0-1背包问题的动态规划算法
我们先定义n个物品的价值总和：
C=∑i=1nci
我们在这里直接给出0-1背包问题的动态规划算法的递归方程: dp(i,0)=0,dp(0,j)=0dp(i,j)={dp(i−1,j)j<wimax(dp(i−1,j),dp(i −1,j−wi)+cj)j≥wi
最优解由dp(n,C)给出。

上述0-1背包问题的动态规划算法的时间复杂度为o(nC)。

4.2.4 0-1背包问题的完全多项式近似方案
实际上我们把0-1背包问题的贪婪算法，进行简单的修改，就可以使其近似比接近于2：
步骤1：按照正常的贪婪法求解，得到一个解，设其价值为Cr;
步骤2：挑选价值最大的物品装入背包，设其价值为Cs;
步骤3：选择Cr、Cs两者最大的作为算法的输出。

上述算法主要的计算时间在于对n个物品排序，排序的复杂度为o(nlog(n))。