广东省东莞市2015年中考数学试卷(解析版)

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2015 年广东省东莞市中考数学试卷
一、选择题：本大题 10 小题，每题 3 分，共 30 分。

在每题给出的四个选项中，只有 一个是正确的，请把答题卡上对应题目所选的选项涂黑。

21·世纪 *教育网
1．（ 3 分）（ 2015?东莞） |﹣ 2|=（
）
A ． 2
B ．﹣2
C ．
D ．
2．（3 分）（ 2015?东莞）据国家统计局网站 2014 年 12 月 4 日公布的信息， 2014 年广东省粮 食总产量约为 13 573 000 吨，将 13 573 000 用科学记数法表示为（ ） 21*cnjy*com
A ． 1.3573×106
B ． 1.3573×107
C ． 1.3573×108
D ． 1.3573×109
3．（ 3 分）（ 2015?东莞）一组数据 2， 6， 5， 2， 4，则这组数据的中位数是（
）
A ． 2
B ． 4
C ． 5
D ． 6
4．（ 3 分）（ 2015?东莞）如图，直线 a ∥b ， ∠1=75°， ∠2=35°，则 ∠3 的度数是（ ）
A ． 75°
B ． 55°
C ． 40°
D ． 35°
5．（3 分）（ 2015?东莞）以下所述图形中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是
（
）
A ． 矩形
B ． 平行四边形
C ． 正五边形
D ． 正三角形
2
（ ）
6．（ 3 分）（ 2015?东莞）（﹣ 4x ） =
2
2
2
2
A ． ﹣ 8x
B ． 8x
C ． ﹣ 16x
D ． 16x
7．（ 3 分）（ 2015?东莞）在 0，2，（﹣ 3） 0
，﹣ 5 这四个数中，最大的数是（ ）
A ． 0
B ． 2
C ． （﹣3）0
D ．﹣5
8．（ 3 分）（ 2015?东莞）若对于 2
=0 有两个不相等的实数根，则实数a
x 的方程 x +x ﹣ a+ 的取值范围是（ ）
教育名师】
【出处： 21
A ． a ≥2
B ． a ≤2
C ． a ＞ 2
D ． a ＜ 2
9．（3 分）（ 2015?东莞）如图， 某数学兴趣小组将边长为 3 的正方形铁丝框 ABCD 变形为以 A 为圆心， AB 为半径的扇形（忽视铁丝的粗细）
，则所得扇形 DAB 的面积为（
）
A． 6B． 7C． 8D． 9
10．（ 3 分）（ 2015?东莞）如图，已知正△ABC 的边长为 2， E、 F、 G 分别是 AB 、 BC 、CA上
的点，且 AE=BF=CG ，设△EFG 的面积为 y， AE 的长为 x，则 y 对于 x 的函数图象大概
是（）
A．B．C．
D．
二、填空题：本大题 6 小题，每题 4 分，共 24 分。

请将以下各题的正确答案填写在答题卡相应
的地点上。

11．（4 分）（ 2015?东莞）正五边形的外角和等于（度）．
12．（ 4 分）（ 2015?东莞）如图，菱形 ABCD 的边长为6，∠ABC=60 °，则对角线AC 的长
是．
13．（ 4 分）（ 2015?东莞）分式方程=的解是．
14．（ 4 分）（ 2015?东莞）若两个相像三角形的周长比为2：3，则它们的面积比是．
15．（ 4 分）（ 2015?莞）察以下一数：，⋯，依据数的摆列
律，可推出第10 个数是．21世纪教育网版权全部
16．（ 4 分）（ 2015?莞）如，△ABC 三的中AD 、BE 、CF 的公共点G，若 S△ABC=12 ，中暗影部分的面是．
三、解答（一）：本大 3 小，每小 6 分，共 18 分。

2
18．（ 6 分）（ 2015?莞）先化，再求：，此中．
19．（ 6 分）（ 2015?莞）如，已知角△ABC．
（1）点 A 作 BC 的垂 MN ，交 BC 于点 D （用尺作法，保存作印迹，不要求写作法）；
（2）在（ 1）的条件下，若BC=5 ，AD=4 ， tan∠BAD=，求DC的．
四、解答（二）：本大 3 小，每小7 分，共 21 分。

20．（ 7 分）（ 2015?莞）老和小明同学玩数学游．老拿出一个不透明的口袋，口袋
中装有三分有数字1，2，3 的卡片，卡片除数字外其他都同样，老要求小明同学两
次随机抽取一卡片，并算两次抽到卡片上的数字之是奇数的概率．于是小明同学用画
状的方法求他两次抽取卡片的全部可能果．如是小明同学所画的正确状的一部分．
（1）全小明同学所画的状；
（2）求小明同学两次抽到卡片上的数字之是奇数的概率．
21．（ 7 分）（ 2015?东莞）如图，在边长为 6 的正方形 ABCD 中，E 是边 CD 的中点，将△ADE
沿 AE 对折至△AFE ，延伸 EF 交边 BC 于点 G，连结 AG ．【版权全部：21教育】
（1）求证：△ABG ≌ △AFG ；
（2）求 BG 的长．
22．（ 7 分）（ 2015?东莞）某电器商场销售A、 B 两种型号计算器，两种计算器的进货价钱
分别为每台30 元， 40 元，商场销售 5 台 A 型号和 1 台 B 型号计算器，可获收益76 元；销
售 6 台 A 型号和 3 台 B 型号计算器，可获收益120 元．
（1）求商场销售 A 、B 两种型号计算器的销售价钱分别是多少元？（收益=销售价钱﹣进货
价钱）
（2）商场准备用不多于2500 元的资本购进 A 、 B 两种型号计算器共70 台，问最少需要购
进 A 型号的计算器多少台？
五、解答题（三）：本大题 3 小题，每题9 分，共 27 分。

23．（ 9 分）（ 2015?东莞）如图，反比率函数y=（k≠0，x＞0）的图象与直线y=3x 订交于点 C，过直线上点A（ 1，3）作 AB ⊥ x 轴于点 B，交反比率函数图象于点D，且 AB=3BD ．
（1）求 k 的值；
（2）求点 C 的坐标；
（3）在 y 轴上确立一点M ，使点 M 到 C、D 两点距离之和d=MC+MD最小，求点M 的坐
标．
24．（ 9 分）（ 2015?东莞） ⊙ O 是 △ABC 的外接圆， AB 是直径，过
的中点 P 作 ⊙O 的直
径 PG 交弦 BC 于点 D ，连结 AG 、CP 、PB ．
（ 1）如图 1，若 D 是线段 OP 的中点，求 ∠BAC 的度数；
（ 2）如图 2，在 DG 上取一点 K ，使 DK=DP ，连结 CK ，求证：四边形 AGKC 是平行四边形；
（ 3）如图 3，取 CP 的中点 E ，连结 ED 并延伸 ED 交 AB 于点 H ，连结 PH ，求证： PH ⊥ AB ．
25．（ 9 分）（ 2015?东莞）如图，在同一平面上， 两块斜边相等的直角三角板 Rt △ABC 和 Rt △ADC 拼在一同，使斜边 AC 完整重合，且极点 B ， D 分别在 AC 的两旁， ∠ABC= ∠ADC=90 °，∠ CAD=30 °， AB=BC=4cm
（1）填空： AD=
（cm ）， DC= （cm ）
（2）点 M ，N 分别从 A 点， C 点同时以每秒 1cm 的速度等速出发，且分别在
AD ，CB 上
沿 A →D ， C →B 方向运动，点 N 到 AD 的距离（用含 x 的式子表示）
（3）在（ 2）的条件下，取
DC 中点 P ，连结 MP ，NP ，设 △PMN 的面积为 y （ cm 2
），在整
个运动过程中， △PMN 的面积 y 存在最大值，恳求出 y 的最大值．
（参照数据 sin75 °=
， sin15°= ）
2015 年广东省东莞市中考数学试卷
参照答案与试题分析
一、选择题：本大题 10 小题，每题 3 分，共 30 分。

在每题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把答题卡上对应题目所选的选项涂黑。

1．（ 3 分）（ 2015?东莞） |﹣ 2|=（
）
A ． 2
B ．﹣2
C ．
D ．
考点 ： 绝对值．
剖析： 依据绝对值的性质可直接求出答案．
解答： 解：依据绝对值的性质可知： |﹣ 2|=2．
应选： A ．
评论： 本题考察了绝对值的性质，要求掌握绝对值的性质及其定义，并能娴熟运用到实质
运算中间．
绝对值规律总结：一个正数的绝对值是它自己；一个负数的绝对值是它的相反数；
0 的绝对
值是 0．
2．（3 分）（ 2015?东莞）据国家统计局网站 2014 年 12 月 4 日公布的信息， 2014 年广东省粮
食总产量约为 13 573 000 吨，将 13 573 000 用科学记数法表示为（
）
A ． 1.3573×106
B ． 1.3573×10 7
C ． 1.3573×10 8
D ． 1.3573×10 9
考点 ： 科学记数法 —表示较大的数．
剖析： 科学记数法的表示形式为 a ×10n
的形式，此中 1≤|a|＜ 10， n 为整数．确立 n 的值时， 要看把原数变为 a 时，小数点挪动了多少位， n 的绝对值与小数点挪动的位数同样．当原数
绝对值＞ 1 时， n 是正数；当原数的绝对值＜ 1 时， n 是负数．
解答： 解：将 13 573 000 用科学记数法表示为： 1.3573×107
．
应选： B ．
a ×10n
的形式，此中 1≤|a|
评论： 本题考察科学记数法的表示方法． 科学记数法的表示形式为 ＜10， n 为整数，表示时重点要正确确立 a 的值以及 n 的值．
3．（ 3 分）（ 2015?东莞）一组数据 2， 6， 5， 2， 4，则这组数据的中位数是（
）
A ． 2
B ． 4
C ． 5
D ． 6
考点 ： 中位数．
专题 ： 计算题．
剖析： 先把数据由小到大摆列，而后依据中位数的定义求解．
解答： 解：把数据由小到大摆列为： 2， 2， 4，5， 6，
因此这组数据的中位数是 4．
应选 B ．
评论： 本题考察了中位数：将一组数据依据从小到大（或从大到小）的次序摆列，假如数 据的个数是奇数， 则处于中间地点的数就是这组数据的中位数． 假如这组数据的个数是偶数，
则中间两个数据的均匀数就是这组数据的中位数．
4．（ 3 分）（ 2015?东莞）如图，直线 a ∥b ， ∠1=75°， ∠2=35°，则 ∠3 的度数是（ ）
A ． 75°
B ． 55°
C ． 40°
D ． 35° 考点 ： 平行线的性质；三角形的外角性质．
剖析： 依据平行线的性质得出 ∠4=∠1=75 °，而后依据三角形外角的性质即可求得 ∠3 的度数．
解答： 解： ∵直线 a ∥b ， ∠1=75°，
∴∠4=∠1=75°，
∵∠2+∠3=∠4，
∴∠3=∠4﹣ ∠2=75 °﹣ 35°=40 °．
应选 C ．
评论： 本题考察了平行线的性质和三角形外角的性质，娴熟掌握性质定理是解题的重点．
5．（3 分）（ 2015?东莞）以下所述图形中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是
（ ）
A ． 矩形
B ． 平行四边形
C ． 正五边形
D ． 正三角形
考点 ： 中心对称图形；轴对称图形．
剖析： 依据轴对称图形与中心对称图形的观点求解．
解答： 解： A 、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项正确；
B 、不是轴对称图形，由于找不就任何这样的一条直线，沿这条直线对折后它的两部分能够
重合；
即不知足轴对称图形的定义，是中心对称图形，故此选项错误；
C 、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
D 、是轴对称图形，不是中心对称图形，由于找不就任何这样的一点，旋转 180 度后它的两
部分能够重合；即不知足中心对称图形的定义，故此选项错误． 21 教育网 应选： A ．
评论： 本题主要考察了中心对称图形与轴对称图形的观点，轴对称图形的重点是找寻对称
轴，图形两部分折叠后可重合；
中心对称图形是要找寻对称中心， 旋转 180 度后两部分重合．
2
（ ）
6．（ 3 分）（ 2015?东莞）（﹣ 4x ） =
A ． ﹣ 8x 2
2
2
D 2
B ． 8x
C ． ﹣ 16x ． 16x
考点 ： 幂的乘方与积的乘方． 专题 ： 计算题．
剖析： 原式利用积的乘方运算法例计算即可获得结果．
2
解答： 解：原式 =16x ，
评论： 本题考察了幂的乘方与积的乘方，娴熟掌握运算法例是解本题的重点．
7．（ 3 分）（ 2015?东莞）在 0，2，（﹣ 3） 0
，﹣ 5 这四个数中，最大的数是（
）
A ． 0
B ． 2
C ． （﹣3）0
D ．﹣5
考点 ： 实数大小比较；零指数幂．
剖析： 先利用 a =1（a ≠0）得（﹣ 3） =1 ，再利用两个实数都能够比较大小．正实数都大于 0，负实数都小于 0，正实数大于全部负实数，两个负实数绝对值大的反而小即可得出结果．
解答： 解：在 0， 2，（﹣ 3）0
，﹣ 5 这四个数中，最大的数是 2， 应选 B ．
评论： 本题考察了有理数的大小比较和零指数幂， 掌握有理数大小比较的法例和 a =1（ a ≠0）
是解答本题的重点．
8．（ 3 分）（ 2015?东莞）若对于 2
=0 有两个不相等的实数根，则实数a
x 的方程 x +x ﹣ a+ 的取值范围是（
）
A ． a ≥2
B ． a ≤2
C ． a ＞ 2
D ． a ＜ 2
考点 ： 根的鉴别式．
剖析： 依据鉴别式的意义获得 △=12
﹣ 4（﹣ a+ ）＞ 0，而后解一元一次不等式即可．
解答： 解：依据题意得 △=12
﹣ 4（﹣ a+
）＞ 0，
解得 a ＞ 2．
应选 C ．
评论： 本题考察了根的鉴别式：一元二次方程 2
2
有以下 ax +bx+c=0 （ a ≠0）的根与 △=b ﹣ 4ac 关系：当 △＞ 0 时，方程有两个不相等的两个实数根；当 △=0 时，方程有两个相等的两个实
数根；当 △＜ 0 时，方程无实数根．
9．（3 分）（ 2015?东莞）如图， 某数学兴趣小组将边长为 3 的正方形铁丝框 ABCD 变形为以 A 为圆心， AB 为半径的扇形（忽视铁丝的粗细）
，则所得扇形 DAB 的面积为（
）
A ． 6
B ． 7
C ． 8
D ． 9
考点：扇形面积的计算．
剖析：由正方形的边长为3，可得弧 BD 的弧长为6，而后利用扇形的面积公式：S 扇形
DAB =，计算即可．
解答：解：∵正方形的边长为3，
∴弧 BD 的弧长 =6，
∴S 扇形DAB ==×6×3=9．
应选 D．
评论：本题考察了扇形的面积公式，解题的重点是：熟记扇形的面积公式S 扇形DAB =．
10．（ 3 分）（ 2015?东莞）如图，已知正△ABC 的边长为 2， E、 F、 G 分别是 AB 、 BC 、CA上
的点，且 AE=BF=CG ，设△EFG 的面积为 y， AE 的长为 x，则 y 对于 x 的函数图象大概
是（）
A．B．C．
D．
考点：动点问题的函数图象．
剖析：依据题意，易得△AEG、△BEF、△CFG三个三角形全等，且在△AEG中，AE=x，AG=2 ﹣ x；可得△AEG 的面积 y 与 x 的关系；从而可判断出 y 对于 x 的函数的图象的大概形状．解答：解：依据题意，有AE=BF=CG ，且正三角形ABC 的边长为2，
故 BE=CF=AG=2 ﹣ x；
故△AEG 、△BEF 、△CFG 三个三角形全等．
在△AEG 中， AE=x ， AG=2 ﹣ x．
则 S△= AE ×AG ×sinA=x（ 2﹣x）；
AEG
故 y=S △ABC ﹣ 3S △AEG
=
﹣ 3× x （ 2﹣ x ）= （3x 2
﹣ 6x+1 ）．
故可得其大概图象应近似于抛物线，且抛物线张口方向向上； 应选： D ．
评论： 本题考察动点问题的函数图象问题，用图象解决问题时，要理清图象的含义即会识图．
二、填空题：本大题 6 小题，每题 4 分，共 24 分。

请将以下各题的正确答案填写在答题卡相应的地点上。

11．（4 分）（ 2015?东莞）正五边形的外角和等于 360 （度）．
考点 ： 多边形内角与外角． 剖析： 依据多边形的外角和等于 360°，即可求解．
解答： 解：随意多边形的外角和都是 360°，故正五边形的外角和为
360°．
故答案为： 360°．
评论： 本题主要考察多边形的外角和定理，解答本题的重点是掌握随意多边形的外角和都 是 360°．
12．（4 分）（ 2015?东莞）如图，菱形 ABCD 的边长为 6，∠ABC=60 °，则对角线 AC 的长是
6 ．
考点 ： 菱形的性质；等边三角形的判断与性质．
剖析： 由菱形 ABCD 中， ∠ABC=60 °，易证得 △ABC 是等边三角形，既而求得对角线 A C
的长．
解答： 解： ∵四边形 ABCD 是菱形，
∴AB=BC ，
∵∠ABC=60 °，
∴△ABC 是等边三角形，
∴AC=AB=6 ．
故答案为： 6．
评论： 本题考察了菱形的性质以及等边三角形的判断与性质．注意证得 △ABC 是等边三角形是重点．
13．（ 4 分）（ 2015?莞）分式方程=的解是x=2．
考点：解分式方程．
：算．
剖析：分式方程去分母化整式方程，求出整式方程的解获得x 的，即可获得
分式方程的解．
解答：解：去分母得：3x=2x+2 ，
解得： x=2 ，
x=2 是分式方程的解．
故答案： x=2 ．
点：此考认识分式方程，解分式方程的基本思想是“ 化思想”，把分式方程化整式方程求解．解
分式方程必定注意要根．
14．（ 4 分）（ 2015?莞）若两个相像三角形的周比2：3，它的面比是4：9 ．
考点：相像三角形的性．
剖析：依据相像三角形周的比等于相像比求出相像比，再依据相像三角形面的比等于
相像比的平方求解即可．
解答：解：∵两个相像三角形的周比2： 3，
∴ 两个相像三角形的相像比2： 3，
∴它的面比是4： 9．
故答案： 4： 9．
点：本考了相像三角形的性，是基，熟性是解的关．
15．（ 4 分）（ 2015?莞）察以下一数：，⋯，依据数的摆列
律，可推出第10 个数是．
考点：律型：数字的化．
剖析：由分子 1，2，3，4，5，⋯即可得出第10 个数的分子10；分母 3，5，7，9，11，⋯
即可得出第10 个数的分母：1+2 ×10=21，得出．
解答：解：∵分子1，2，3，4，5，⋯，
∴第 10 个数的分子10，
∵分母 3， 5， 7， 9，11，⋯，
∴第 10 个数的分母：1+2 ×10=21，
∴第 10 个数为：
，
故答案为：
．
评论： 本题考察数字的变化规律，找出数字之间的运算规律，得出规律，利用规律，解决问题是解答本题的重点．
16．（ 4 分）（ 2015?东莞）如图，△ABC 三边的中线
AD 、BE 、CF 的公共点为
G ，若 S △ABC =12 ，
则图中暗影部分的面积是 4
． 2·1·c ·n ·j ·y
考点 ： 三角形的面积．
剖析： 依据三角形的中线把三角形的面积分红相等的两部分，知 △ABC 的面积即为暗影部
分的面积的 3 倍．
解答： 解： ∵△ABC 的三条中线 AD 、 BE ，CF 交于点 G ，
∴S △CGE =S △AGE = S △ACF ， S △BGF =S △BGD = S △BCF ，
∵S △ACF =S △BCF = S
△
ABC = ×12=6，
∴S △CGE = S △ACF = ×6=2， S △BGF = S △BCF = ×6=2，
∴S
暗影
=S △CGE +S △BGF =4．
故答案为 4．
评论： 依据三角形的中线把三角形的面积分红相等的两部分， 该图中，△BGF 的面积 =△BGD 的面积 =△CGD 的面积， △AGF 的面积 =△AGE 的面积 =△CGE 的面积．
三、解答题（一） ：本大题 3 小题，每题 6 分，共 18 分。

17．（ 6 分）（ 2015?东莞）解方程： x 2
﹣3x+2=0 ．
考点 ： 解一元二次方程 -因式分解法．
剖析： 把方程的左侧利用十字相乘法因式分解为（ x ﹣ 1）（ x ﹣ 2），再利用积为 0 的特色求
解即可．
解答： 解： ∵x 2﹣ 3x+2=0 ，
∴（ x ﹣ 1）（ x ﹣ 2） =0，
∴x ﹣1=0 或 x ﹣ 2=0 ，
∴x1=1， x2=2 ．
评论：本题考察了因式分解法解一元二次方程，当把方程经过移项把等式的右侧化为0 后方程的左侧能因式分解时，一般状况下是把左侧的式子因式分解，再利用积为0 的特色解出方程的根．因式分解法是解一元二次方程的一种简易方法，要会灵巧运用．
18．（ 6 分）（ 2015?东莞）先化简，再求值：，此中．
考点：分式的化简求值．
剖析：分式的化简，要熟习混淆运算的次序，分子、分母能因式分解的先因式分解；除法
要一致为乘法运算，注意化简后，将，代入化简后的式子求出即可．
解答：解：
=÷（+）
=÷
=×
=，
把，代入原式====．
评论：本题主要考察了分式混淆运算，要注意分子、分母能因式分解的先因式分解；除法
要一致为乘法运算是解题重点．
19．（ 6 分）（ 2015?东莞）如图，已知锐角△ABC．
（1）过点 A 作 BC 边的垂线 MN ，交 BC 于点 D （用尺规作图法，保存作图印迹，不要求写
作法）；
（2）在（ 1）的条件下，若BC=5 ，AD=4 ， tan∠BAD=，求DC的长．
考点：作图—复杂作图；解直角三角形．
专题：作图题．
剖析：（1）利用基本作图：过直线外一点作直线的垂线作出垂线段AD ；
（2）先在 Rt△ABD 中利用∠BAD 的正切计算出BD ，而后利用BC ﹣BD 求 CD 的长．
解答：解：（1）如图，
（2）∵AD ⊥BC ，
∴∠ADB= ∠ADC=90 °，
在 Rt△ABD 中，∵tan∠BAD==，
∴BD=×4=3，
∴CD=BC ﹣BD=5 ﹣ 3=2．
评论：本题考察了作图﹣复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础长进行作图，一般
是联合了几何图形的性质和基本作图方法；解决此类题目的重点是熟习基本几何图形的性
质，联合几何图形的基天性质把复杂作图拆解成基本作图，逐渐操作．也考察认识直角三角形．
四、解答题（二）：本大题 3 小题，每题7 分，共 21 分。

20．（ 7 分）（ 2015?东莞）老师和小明同学玩数学游戏．老师拿出一个不透明的口袋，口袋
中装有三张分别标有数字1，2，3 的卡片，卡片除数字外其他都同样，老师要求小明同学两
次随机抽取一张卡片，并计算两次抽到卡片上的数字之积是奇数的概率．于是小明同学用画
树状图的方法追求他两次抽取卡片的全部可能结果．如图是小明同学所画的正确树状图的一部分．
（1）补全小明同学所画的树状图；
（2）求小明同学两次抽到卡片上的数字之积是奇数的概率．
考点：列表法与树状图法．
剖析：（1）依据题意可得本题是放回实验，即可补全树状图；
（2）由树状图可求得全部等可能的结果与小明同学两次抽到卡片上的数字之积是奇数的状
况，再利用概率公式即可求得答案．
解答：解：（ 1）补全小明同学所画的树状图：
（2）∵共有 9 种等可能的结果，小明同学两次抽到卡片上的数字之积是奇数的有 4 种状况，∴小明同学两次抽到卡片上的数字之积是奇数的概率为：．
评论：本题考察了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率=所讨状况数与总情况数之比．
21．（ 7 分）（ 2015?东莞）如图，在边长为 6 的正方形ABCD 中，E 是边 CD 的中点，将△ADE 沿 AE 对折至△AFE ，延伸 EF 交边 BC 于点 G，连结
AG ．（1）求证：△ABG ≌ △AFG ；
（2）求 BG 的长．
考点：翻折变换（折叠问题）；全等三角形的判断与性质；正方形的性质．
剖析：（ 1）利用翻折变换对应边关系得出AB=AF ，∠B=∠AFG=90 °，利用 HL 定理得出△ABG ≌△ AFG 即可；
（2）利用勾股定理得出
222
，从而求出 BG 即可；GE=CG +CE
解答：解：（ 1）在正方形 ABCD 中， AD=AB=BC=CD，∠D=∠B= ∠BCD=90 °，∵将△ADE 沿 AE 对折至△AFE ，
∴AD=AF ， DE=EF ，∠D= ∠AFE=90 °，
∴AB=AF ，∠B= ∠AFG=90 °，
又∵AG=AG ，
在 Rt△ABG 和 Rt△AFG 中，
，
∴△ABG ≌ △ AFG （ HL ）；
（2）∵∴△ABG ≌ △AFG ，
∴BG=FG ，
设 BG=FG=x ，则 GC=6 ﹣ x，
∵E 为 CD 的中点，
∴CE=EF=DE=3 ，
∴EG=3+x ，
222
∴在 Rt△CEG 中， 3 +（ 6﹣ x） =（ 3+x），解得 x=2
，
∴BG=2 ．
评论：本题主要考察了勾股定理的综合应用以及翻折变换的性质，依据翻折变换的性质得
出对应线段相等是解题重点．
22．（ 7 分）（ 2015?东莞）某电器商场销售A、 B 两种型号计算器，两种计算器的进货价钱
分别为每台30 元， 40 元，商场销售 5 台 A 型号和 1 台 B 型号计算器，可获收益76 元；销售 6 台 A 型号和 3 台 B 型号计算器，可获收益120 元．
（1）求商场销售 A 、B 两种型号计算器的销售价钱分别是多少元？（收益=销售价钱﹣进货
价钱）
（2）商场准备用不多于2500 元的资本购进 A 、 B 两种型号计算器共70 台，问最少需要购
进 A 型号的计算器多少台？
考点：一元一次不等式的应用；二元一次方程组的应用．
剖析：（1）第一设A 种型号计算器的销售价钱是x 元， A 种型号计算器的销售价钱是y 元，依据题意可等量关系：① 5 台 A 型号和 1 台 B 型号计算器，可获收益76 元；②销售6台 A 型号和 3 台 B 型号计算器，可获收益 120 元，依据等量关系列出方程组，再解即可；（2）
依据题意表示出所用成本，从而得出不等式求出即可．
解答：解：（ 1）设 A 种型号计算器的销售价钱是 x 元，B 种型号计算器的销售价钱是 y 元，由题意得：
，
解得：；
答： A 种型号计算器的销售价钱是42 元， B 种型号计算器的销售价钱是56 元；
（2）设购进 A 型计算器 a 台，则购进 B 台计算器：（ 70﹣ a）台，则
30a+40（ 70﹣ a）≤2500，
解得： a≥30，
答：最少需要购进 A 型号的计算器 30 台．
评论：本题主要考察了一元一次不等式的应用以及二元一次方程组的应用，依据题意得出
总的进货花费是解题重点．【根源： 21cnj*y.co*m 】
五、解答题（三）：本大题 3 小题，每题9 分，共 27 分。

23．（ 9 分）（ 2015?东莞）如图，反比率函数y=（k≠0，x＞0）的图象与直线y=3x 订交于点 C，过直线上点A（ 1，3）作 AB ⊥ x 轴于点 B，交反比率函数图象于点D，且 AB=3BD ．
（1）求 k 的值；
（2）求点 C 的坐标；
（3）在 y 轴上确立一点M ，使点 M 到 C、D 两点距离之和d=MC+MD最小，求点M 的坐
标．
考点：反比率函数与一次函数的交点问题；轴对称-最短路线问题．
剖析：（1）依据A坐标，以及AB=3BD 求出 D 坐标，代入反比率分析式求出k 的值；
（2）直线 y=3x 与反比率分析式联立方程组即可求出点 C 坐标；
（3）作 C 对于 y 轴的对称点C′，连结 C′D 交 y 轴于 M ，则 d=MC+MD最小，获得C（′﹣，），求得直线C′D 的分析式为 y=﹣x+1+，直线与y 轴的交点即为所求．
解答：解：（1）∵A（1，3），
∴AB=3 ， OB=1 ，
∵AB=3BD ，
∴BD=2 ，
∴D（ 1，1）
将 D 坐标代入反比率分析式得：k=1；
（2）由（ 1）知， k=1，∴反比率
函数的分析式为； y= ，
解：，
解得：或，
∵x＞0，
∴C（，）；
（3）如图，作 C 对于 y 轴的对称点 C′，连结 C′D 交 y 轴于 M ，则 d=MC+MD 最小，∴C′（﹣，），
设直线 C′D 的分析式为： y=kx+b ，
∴，∴，
∴y=（ 3﹣ 2） x+2﹣2，
当 x=0 时， y=2﹣ 2，
∴M（0，2﹣ 2）．
评论：本题考察了反比率函数与一次函数的交点问题，波及的知识有：坐标与图形性质，
待定系数法确立函数分析式，以及直线与反比率的交点求法，娴熟掌握待定系数法是解本题的
重点．
24．（ 9 分）（ 2015?东莞）⊙ O 是△ABC 的外接圆， AB 是直径，过的中点P作⊙O的直径 PG 交弦 BC 于点 D ，连结 AG 、CP、PB ．www-2-1-cnjy-com
（1）如图 1，若 D 是线段 OP 的中点，求∠BAC 的度数；
（2）如图 2，在 DG 上取一点 K，使 DK=DP ，连结 CK ，求证：四边形 AGKC 是平行四边形；（3）如图 3，取 CP 的中点 E，连结 ED 并延伸 ED 交 AB 于点 H，连结 PH，求证： PH⊥
AB ．
考点：圆的综合题．
剖析：（1）由垂径定理得出P G⊥ BC ， CD=BD ，再由三角函数求出∠BOD=60°，证出AC ∥PG，得出同位角相等即可；
（2）先由 SAS 证明△PDB≌ △ CDK ，得出 CK=BP ，∠OPB= ∠CKD ，证出 AG=CK ，再证明AG ∥CK ，即可得出结论；
（3）先证出 DH ∥AG ，得出∠OAG= ∠OHD ，再证 OD=OH ，由 SAS 证明△OBD ≌ △HOP ，得出∠OHP= ∠ODB=90 °，即可得出结论．
解答：（1）解：∵点P为的中点，AB为⊙O直径，
∴BP=PC， PG⊥ BC ，CD=BD ，
∴∠ODB=90 °，
∵D 为 OP 的中点，
∴OD= OP=OB ，
∴cos∠BOD==，
∴∠BOD=60 °，
∵AB 为⊙O 直径，
∴∠ACB=90 °，
∴∠ACB= ∠ODB ，
∴AC ∥PG，
∴∠BAC= ∠BOD=60 °；
（2）证明：由（1）知， CD=BD ，
在△PDB 和△CDK 中，，∴△PDB ≌△ CDK （ SAS），
∴CK=BP ，∠OPB= ∠CKD ，
∵∠AOG= ∠BOP，
∴AG=BP ，
∴AG=CK ，
∵OP=OB ，
∴∠OPB= ∠OBP，
又∵∠G= ∠OBP，
∴AG ∥CK ，
∴四边形 AGCK 是平行四边形；
（3）证明：∵CE=PE ，CD=BD ，
∴DE ∥PB，
即 DH ∥PB
∵∠G=∠OPB，
∴PB∥AG ，
∴DH ∥AG ，
∴∠OAG= ∠OHD ，
∵OA=OG ，
∴∠OAG= ∠G ，
∴∠ODH= ∠OHD ，
∴OD=OH ，
在△OBD 和 △HOP 中，
，
∴△OBD ≌ △ HOP （ SAS ），
∴∠OHP= ∠ODB=90 °，
∴PH ⊥ AB ．
评论： 本题是圆的综合题目，考察了垂径定理、圆周角定理、平行线的判断、三角函数、 全等三角形的判断与性质、 平行四边形的判断等知识；
本题难度较大， 综合性强， 特别是（ 3）
中，需要经过证明平行线得出角相等，再进一步证明三角形全等才能得出结论．
25．（ 9 分）（ 2015?东莞）如图，在同一平面上， 两块斜边相等的直角三角板 Rt △ABC 和 Rt △ADC 拼在一同，使斜边 AC 完整重合，且极点 B ， D 分别在 AC 的两旁， ∠ABC= ∠ADC=90 °，∠ CAD=30 °， AB=BC=4cm 【根源： 21·世纪·教育·网】
（1）填空： AD= 2
（ cm ）， DC= 2
（ cm ）
（2）点 M ，N 分别从 A 点， C 点同时以每秒
1cm 的速度等速出发，且分别在
AD ，CB 上
沿 A →D ， C →B 方向运动，点 N 到 AD 的距离（用含 x 的式子表示）
21·cn ·jy ·com
（3）在（ 2）的条件下，取
DC 中点 P ，连结 MP ，NP ，设 △PMN 的面积为 y （ cm 2
），在整
个运动过程中， △PMN 的面积 y 存在最大值，恳求出 y 的最大值． 2-1-c-n-j-y （参照数据 sin75 °=
， sin15°= ）
考点 ： 相像形综合题．
剖析：（1）由勾股定理求出AC ，由∠CAD=30 °，得出 DC= AC=2，由三角函数求出AD 即可；
（2）过 N 作 NE⊥ AD 于 E，作 NF⊥ DC ，交 DC 的延伸线于 F，则 NE=DF ，求出∠NCF=75 °，∠FNC=15 °，由三角函数求出 FC，得 NE=DF=x+2 ，即可得出结果；
（3）由三角函数求出FN ，得出 PF，△PMN 的面积 y= 梯形 MDFN 的面积﹣△PMD 的面积﹣△PNF 的面积，得出y 是 x 的二次函数，即可得出y 的最大值．21教育名师原创作品
解答：解：（ 1）∵∠ABC=90 °， AB=BC=4cm ，
∴AC===4 ，
∵∠ADC=90 °，∠CAD=30 °，
∴DC=AC=2，
∴AD=DC=2；
故答案为： 2， 2；
（2）过点 N 作 NE ⊥ AD 于 E，作 NF⊥ DC，交 DC 的延伸线于 F，以下图：则
NE=DF ，
∵∠ABC= ∠ADC=90 °， AB=BC ，∠CAD=30 °，
∴∠ACB=45 °，∠ACD=60 °，
∴∠NCF=180 °﹣ 45°﹣ 60°=75 °，∠FNC=15 °，
∵sin∠FNC=，NC=x，
∴FC=x，
∴NE=DF=x+2，
∴点 N 到 AD 的距离为x+2；
（3）∵sin∠NCF= ，
∴FN=x，
∵P 为 DC 的中点，
∴PD=CP=，
∴PF=x+，
∴△PMN 的面积 y= 梯形 MDFN 的面积﹣△PMD 的面积﹣△PNF 的面积
=（x+2﹣x）（x+2）﹣（2﹣x）×﹣（x+）（x）
=
2
x+2 ，x +
即 y 是 x 的二次函数，
∵＜ 0，
∴y 有最大值，
当 x= ﹣=时，
y 有最大值为=．
评论：本题是相像形综合题目，考察了勾股定理、三角函数、三角形面积的计算、二次函
数的最值、等腰直角三角形的性质等知识；本题难度较大，综合性强，特别是（2）（ 3）中，需要经过作协助线运用三角函数和二次函数才能得出结果．21*cnjy*com。