一次函数的图象与直线的方程,直线的倾斜角、斜率及其关系(课件)高二数学(北师大版选择性必修第一册)

合时，上述公式还适用吗？为什么？
y
y2
P2 ( x2 , y2 )
y1
P1 ( x1 , y1 )
o
x
y2 y1 y2 y1
k=
=
x2 x1
0
不成立，因
为分母为0。
26
－－由两点确定的直线的斜率
3.直线的斜率公式：
综上所述，我们得到经过两点
P1 ( x1, y1 ),
P2 ( x2 , y2 ) ( x1 x2 )的直线斜率公式：
(4)直线斜率的取值范围是(－∞，＋∞)．( √
)
450
4．一条直线的斜率等于 1，则此直线的倾斜角等于________．
【解析】∵ = tan = 1，且0° ≤ < 180° ， ∴ = 45° .
5．如图，直线 l1，l2，l3 的斜率分别为 k1，k2，k3，则( D )
A．k1＜k2＜k3
的坐标是（0，1）；而直线上每一点的坐标都满足函数解析式＝2 +
1，如直线上点的坐标是（1，3），数对（1，3）同时也满足函数解
析式＝2 + 1.
归纳总结
一般地，一次函数＝ + （ ≠ 0）的图象是一
条直线，它是以满足＝ + 的每一对， 的值
为坐标的点构成的.同时函数解析式＝ + 可以
1.1 一次函数的图象与直线的方程
1.2
直线的倾斜角、斜率及其关系
一、一次函数的图象与直线的方程
在平面直角坐标系中，一次函数的图象是一条直线.
例如，函数＝2 + 1的图象过点（0，1），图象是直线（如图所示）.
这时，满足函数解析式＝2 + 1的每一对， 的值都是直线上点的坐
标，如数对（0，1）满足函数解析式，那么在直线上就存在一点，它
p
x
o
l
0°＜
＜ 90°
k >0

= 90°
k不存在
90°＜ ＜180°
k<0
= 0°
k=0
20
l
x
辨一辨
请观察下列语句：
A 、任一条直线都有倾斜角，也都有斜率
B、任一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率
C 、任一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角
D 、两直线的倾斜角相等，它们的斜率也相等
E 、两直线的斜率相等，它们的倾斜角也相等

P2 ( x2 , y2 )

Q( x2 , y1 )
x2
x1
P1 ( x1 , y1 )

x
在RtP2QP1中
tan =
P2Q
P1Q
y2 y1
y2 y1
k = tan =
=
x1 x2
x2 x1
24
－－探究：直线的斜率公式的适用范围
通过对倾斜角为锐角和钝角的直线斜率的推导可得 :
π
3
（1）若0 ≤ ≤ ，求斜率的取值范围；
π
4
（2）若 ≤ ≤
3π
，求斜率的取值范围；
4
（3）若− 3 ≤ ≤ −
3
，求倾斜角的取值范围；
3
（4）若−1 ≤ ≤ 3，求倾斜角的取值范围.
π
4
π
2
解：（2）由正切函数的性质，可得当 ≤ < 时， = tan ≥ 1，
π
是锐角还是钝角．
解：直线AB的斜率
1 2 1
k AB =
= ;
43 7
直线BC的斜率
11 2
1
k BC =
=
= ;
0 ( 4 ) 4
2
1 2 3
=
= 1;
直线CA的斜率 kCA =
03 3
由 k AB 0 及 kCA 0 知，直线AB 与CA的倾斜角均
为锐角；由 kBC 0 知，直线BC的倾斜角为钝角．
把这些几何要素表示出来．
y
P（x，y）
l
O
x
【问题引入】
对于平面直角坐标系内的一条直线 l ，它的位
置由哪些条件确定？
y
l
O
x
【问题引入】
我们知道，两点确定一条直线．一点能确定一
条直线的位置吗？已知直线 l 经过点P，直线 l 的
y
位置能够确定吗？
l
O
P
x
【问题引入】
过一点P可以作无数条直线l 1， l 2 ， l 3 ，…它
B． 3
D．
2
2
)
2．已知直线l的一个方向向量v＝(2，4)，则直线l
的斜率为________.
答案：2
解析：由直线的斜率与直线的方向向量的关系可
4
知直线l的斜率k＝ ＝2.
2
3．思考辨析
(1)任一直线都有倾斜角，都存在斜率．( × )
(2)倾斜角为 135°的直线的斜率为 1.( × )
(3)若一条直线的倾斜角为 α，则它的斜率为 k＝tan α.( × )
y
确定平面直角坐标系中一
条直线位置的几何要素是：
直线上的一个定点
以及它的倾斜角，
二者缺一不可．
l
O
P
x
【问题引入】
日常生活中，还有没有表示倾斜程度的量？
升高量
坡度（比）=
前进量
升
高
量
前进量

结论：坡度越大，楼梯越陡．
【问题引入】
例如，“进2升3”与“进2升2”比较，前者更
陡一些，因为坡度（比）
2
当 <≤
3π
时，
4
π
2
= tan ≤ −1；当 = 时，斜率不存在.
综上，斜率的取值范围是 ≤ −1或 ≥ 1 .
例3 已知直线的倾斜角为，斜率为. ≠ 90°时，＝ .
π
3
（1）若0 ≤ ≤ ，求斜率的取值范围；
π
4
（2）若 ≤ ≤
3πБайду номын сангаас
，求斜率的取值范围；
4
（3）若− 3 ≤ ≤ −
3
，求倾斜角的取值范围；
3
（4）若−1 ≤ ≤ 3，求倾斜角的取值范围.
解：（3）由− 3 ≤ ≤ −
3
，可得
3
− 3 ≤ tan ≤ −
3
，
3
又0 ≤ < π，所以由正切函数的性质， 得倾斜角的取值范围是
2π
3
≤≤
解：（4）由−1 ≤ ≤ 3，可得−1 ≤ tan ≤ 3，
二、直线的斜率与倾斜角、方向向量的关系
π
2
由正切函数的概念可知，倾斜角不是 的直线，它的斜率和它的倾斜角满足
=tan（其中 ≠ π）
2
如图所示，结合正切函数的图象与性质，我们不难发现斜率与倾斜角有如
下关系：
当 ∈
0，
π
2
时，斜率k≥0
斜角的增大而 增大
当 ∈
π
,π
2
；
时，斜率 k<0
B、E
其中正确的语句有_________
21
已知直线上两点：P （x ，y ），P2（x ，y ），
探究：
(x ≠x ），如何求斜率k？
1
1
1
1
2
2
y
y
P2（x2，y2）
P2（x2，y2）
P1（x1，y1）
P1（x1，y1）
α
α
x
O
x
O
y
P1 ( x1 , y1 )
x1
o
P2 ( x2 , y2 )
4
（3）若− 3 ≤ ≤ −
3
，求倾斜角的取值范围；
3
（4）若−1 ≤ ≤ 3，求倾斜角的取值范围.
解：（1）由0 ≤ ≤
tan0 ≤ tan ≤
π
3
及正切函数的性质，可得

tan ，
3
即0 ≤ tan ≤ 3，
所以斜率的取值范围是 0 ≤ ≤
3.
例3 已知直线的倾斜角为，斜率为. ≠ 90°时，＝ .
们都经过点P （组成一个直线束），这些直线区
别在哪里呢？
y
l
O
P
x
【问题引入】
容易看出，它们的倾斜程度不同．怎样描述直
线的倾斜程度呢？
y
l
O
P
x
概念定义
1、 直线的倾斜角
x
x
倾斜角：当直线 l
与 轴相交时，我们取
轴作为基准，
的
轴正向与直线
向上方向之间所成的角
叫做直线
x
l
倾斜角
l
y

l

倾斜角
3
。
1
O
l 2的倾斜角 2 = 90 30 = 120
一个角的正切值
k = tan
呢? = tan P2 P1Q
x
公式与点的顺序无关
y2 y1
=
=
P1Q
x2 x1
QP2
y1 y2
k=
23x1 x2
－－探究：由两点确定的直线的斜率
= 180 ,

当α为钝角时
且x1 x2 , y1 y2
y
y2
y1
o
k = tan = tan(180 ) = tan
y2 y1
k=
( x1 x2 )
x2 x1
P2
P1
27
例1. 求过A（-2，0），B（-5，3）两点的
直线的倾斜角和斜率
解：设该直线的斜率为k , 倾斜角为
则由斜率公式得k = tan =
30
= 1
5 ( 2)
0。 180。
= 135。
综上可知：直线的斜率
平面直角坐标系中每一条直线都有确定的倾斜角，
倾斜程度不同的直线有不同的倾斜角， 倾斜程
度相同的直线其倾斜角相同．
y
l l
l
O
x
确定直线的要素
已知直线上的一个点不能确定一条直线的位置；
同样已知直线的倾斜角α．也不能确定一条直线
的位置．
但是，直线上的一个点和这条直线的倾斜角可
以唯一确定一条直线．
y2 y1
k=
, x1 x2
x2 x1
=0

当α为零角时
k = tan 0 = 0

y
P1 ( x1 , y1 )
x1 o
P2 ( x2 , y2 )
x2
x
y2 y1
0
k=
=
=0
x2 x1 x2 x1
成立
25
－－探究：由两点确定的直线的斜率
思考：当直线平行于y轴，或与y轴重
又 0 ≤ < π，所以由 正 切 函 数 的 性 质 ， 得 倾 斜 角 的 取 值 范 围 是
π
3
0≤≤ 或
3π
4
≤<π .
5π
6
例4. 如图，直线l1 的倾斜角α1=300，直线l2⊥l1，
求l1，l2 的斜率.
y
l2
解：
3
l1的斜率k1 = tan 1 = tan 30 =
倾斜角 = 90）
时，直线的斜率是多少？
y
o
x
k = tan = tan 90 不存在


即倾斜角为90 时，斜率k不存在
综上所述：斜率与倾斜角的关系

为 k = tan 90


19
当在0,180 内变化时 , 斜率如何变化 ?
y
l
p
o

y
l
y
p
x
o
x
y
p
o
x2
x
22
2
－－探究：由两点确定的直线的斜率
= P2 P1Q
k = tan
当α为锐角时
y
y21
P21( x21 , y12)
P

y12

o
Q
Q((xx12,,yy21)
PP21( x21 , y12))
x12
x21
且x1 x2 , y1 y2
以往我们一般在
在RtP2 P1Q中
怎样的图形中求
为 1，倾斜角135。
例2 如图，已知A(4,2)、B(－8,2)、C(0,－2)，
求直线AB、BC、CA的斜率，并判断这些直线
的倾斜角是什么角？
y
B
解：直线AB的斜率
直线BC的斜率
直线CA的斜率
∵
∵
∵
k AB = 0
k BC 0
kCA 0
k AB =
22
=0
8 4
k BC
22 4
角的增大而
，且 随倾
，且随倾斜
增大 ；
π
当＝ 时，直线与轴垂直，此时直线的
2
斜率
不存在.
思考交流
π
2
对于倾斜角不为 的两条一定存在斜率.直线，
其倾斜角相等，斜率就相等吗？
反之，其斜率相等，倾斜角就相等吗？
巩固提升
1．已知直线l的倾斜角为30°，则直线l的斜率为(
A.
3
3
C.1
答案：A
1
=
=
=
0 (8)
8
2
kCA
2 (2) 4
=
= =1
40
4
∴直线AB的倾斜角为零度角。
∴直线BC的倾斜角为钝角。
∴直线CA的倾斜角为锐角
. . . .o
.
.
A
. . .
x
.
C
例3 如图 ，已知 A( 3,2), B(4,1), C (0,1)，求
直线AB，BC，CA的斜率，并判断这些直线的倾斜角
0
x
找一找
下列图中，表示直线的倾斜角的是(
y
o
o
x
A
B
y
y
C
x
o

a
a
o
x
x

y
D
11
C)
倾斜角类别与范围
y
0
x
= 0°
零角
y
y
y
0
x
(0,90)
锐角
0
0
x
x
= 90° (90°,180°)
钝角
直角
倾斜角的范围是:
0 180

12

直线的倾斜角
直线的倾斜程度与倾斜角有什么关系？
B．k3＜k1＜k2
C．k3＜k2＜k1
D．k1＜k3＜k2
【解析】由图可知1 < 0，2 > 3 > 0，故选 D.
例3 已知直线的倾斜角为，斜率为. ≠ 90°时，＝ .
π
3
（1）若0 ≤ ≤ ，求斜率的取值范围；
π
4
（2）若 ≤ ≤
3π
，求斜率的取值范围；
看作二元一次方程.
在解析几何中研究直线时，就是利用直线与方程的
这种对应关系，建立直线的方程，并通过方程来研