2013届高考数学第一轮例题专项复习教案8

一、选择题(共6个小题，每小题5分，满分30分)
1．已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3(ω>0)的最小正周期为π，则该函数的图象( ) A ．关于直线x ＝π3对称 B ．关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0对称
C ．关于直线x ＝－π6对称
D ．关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0对称 解析：由题意知T ＝
2πω＝π，则ω＝2，所以f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，又f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π3＝
sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2
3
π＋π3＝sin π＝0.
答案：B
2．若动直线x ＝a 与函数f (x )＝sin x 和g (x )＝cos x 的图象分别交于M 、N 两点，则|MN |的最大值为( )
A ．1
B. 2
C. 3
D ．2
解析：|MN |＝|sin a －cos a |＝|2sin(a －π
4)|，
∴|MN |max ＝ 2. 答案：B
3．如图所示，点P 是函数y ＝2sin(ωx ＋φ)(x ∈R ，ω>0)的图象的最高点，M 、N 是图象与x 轴的交点，若PM ·PN ＝0，则ω＝( )
A ．8
B.π
8
C.π
4
D ．4
解析：由PM ·PN ＝0得PM ⊥PN ，又PM ＝PN ，所以△PMN 为等腰直角三角形，因此
MN ＝2y P ＝4，T ＝8＝
2πω，得ω＝π4
. 答案：C
4．将函数y ＝sin x 的图象上所有的点向右平行移动π
10个单位长度，再把所得各点的横
坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象的函数解析式是( )
A ．y ＝sin(2x －π
10
)
B ．y ＝sin(2x －π
5)
C ．y ＝sin(12x －π
10
)
D ．y ＝sin(12x －π
20
)
解析：将y ＝sin x 的图象向右平移π10个单位得到y ＝sin(x －π
10) 的图象，再将图象上各
点的横坐标伸长到原来的2倍得到y ＝sin(12x －π
10
)的图象．
答案：C
5．设ω＞0，函数y ＝sin(ωx ＋π3)＋2的图象向右平移4π
3个单位后与原图象重合，
则ω的最小值是( )
A.2
3
B.43
C.3
2
D ．3
解析：由题意知T ＝2πω≤4π3，∴ω≥32，即ω的最小值为3
2.
答案：C
6．已知x ∈(0，π]，关于x 的方程2sin ⎝
⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝a 有两个不同的实数解，则实数a
的取值范围为( )
A ．[－3，2]
B ．[3，2]
C ．(3，2]
D ．(3，2)
解析：令y 1＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3，x ∈(0，π]，y 2＝a ，作出y 1的图象如图所示：
若2sin ⎝
⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝a 在(0，π]上有两个不同的实数解，则y 1与y 2应有两
个不同的交点，所以3<a <2.
答案：D
二、填空题(共3小题，每小题5分，满分15分)
7．已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋n 的最大值为4，最小值是0，最小正周期是π
2
，直线
x ＝π3是其图象的一条对称轴，若A ＞0，ω＞0,0＜φ＜π2
，则函数解析式为__________．
解析：由题设得，A ＝2，n ＝2，ω＝4，且当x ＝π
3时，
sin(43π＋φ)＝±1，故φ＝π6.
所求解析式为y ＝2sin(4x ＋
π
6
)＋2.
答案：y ＝2sin(4x ＋π
6)＋2
8．给出下列六种图象变换方法：
(1)图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的1
2；
(2)图象上所有点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍； (3)图象向右平移π
3个单位；
(4)图象向左平移π
3个单位；
(5)图象向右平移2π
3个单位；
(6)图象向左平移2π
3
个单位．
请用上述变换中的两种变换，将函数y ＝sin x 的图象变换到函数y ＝sin(x 2＋π
3
)的图象，
那么这两种变换正确的标号是________(要求按变换先后顺序填上一种你认为正确的标号即可)．
解析：y ＝sin x ――→
y ＝sin(x ＋π3)――→ y ＝sin(x 2＋π3)，或y ＝sin x ――→ y ＝sin 1
2
x ――→
y ＝sin 1
2(x ＋2π3)＝sin(x 2＋π
3
)． 答案：(4)(2)或(2)(6)
9．如图所示的是函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋B (A >0，ω>0，|φ|
∈(0，π2))图象的一部分，则f (π
2
)＝________.
解析：由于最大值和最小值之差等于4，故A ＝2，B ＝1. 由于2＝2sin φ＋1，且|φ|∈(0，π2)，得φ＝π6.
由图象知ω(－π)＋φ＝2k π－π
2，
得ω＝－2k ＋2
3(k ∈Z)．
又
2πω>2π，∴0<ω<1.∴ω＝23
. ∴函数f (x )的解析式是f (x )＝2sin(23x ＋π
6)＋1.
∴f (π2)＝2sin(23×π2＋π
6
)＋1＝3.
答案：3
三、解答题(共3小题，满分35分)
10．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(x ∈R ，A >0，ω>0，|φ|<π
2)的部
分图象如图所示．
(1)试确定f (x )的解析式；
(2)若f (a 2π)＝12，求cos(2π
3－a )的值．
解：(1)由题图可知A ＝2，T 4＝56－13＝1
2
，
∴T ＝2，ω＝2π
T
＝π.
将点P (1
3，2)，代入y ＝2sin(ωx ＋φ)，
得sin(π
3＋φ)＝1.
又|φ|<π2，∴φ＝π
6
.
故所求解析式为f (x )＝2sin(πx ＋π
6
)(x ∈R)．
(2)∵f (a 2π)＝12，∴2sin(a 2＋π6)＝1
2，
即sin(a 2＋π6)＝1
4
.
∴cos(2π3－a )＝cos[π－2(π6＋a
2)]
＝－cos2(π6＋a 2)＝2sin 2(π
6＋a 2)－1＝－78
.
11．已知函数f (x )＝sin 2ωx ＋3sin ωx ·sin(ωx ＋π2
)＋2cos 2
ωx ，x ∈R(ω>0)，在
y 轴右侧的第一个最高点的横坐标为π
6
.
(1)求ω；
(2)若将函数f (x )的图象向右平移π
6个单位后，再将得到的图象上各点横坐标伸长到原
来的4倍，纵坐标不变，得到函数y ＝g (x )的图象，求函数g (x )的最大值及单调递减区间．
解：(1)f (x )＝
32sin2ωx ＋12cos2ωx ＋3
2
＝sin(2ωx ＋π6)＋3
2
.
令2ωx ＋π6＝π2，将x ＝π
6代入可得：ω＝1.
(2)由(1)得f (x )＝sin(2x ＋
π6)＋3
2
. 经过题设的变化得到的函数
g (x )＝sin(12x －π6)＋32
.
当x ＝4k π＋43π，k ∈Z 时，函数取得最大值5
2.
令2k π＋π2≤12x －π6≤2k π＋3
2
π，
即x ∈[4k π＋4π3，4k π＋10
3
π]，k ∈Z 为函数的单调递减区间．
12．据市场调查，某种商品一年内每件出厂价在6千元的基础上，按月呈f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋B 的模型波动(x 为月份)，已知3月份达到最高价8千元，7月份价格最低为4千元，该商品每件的售价为g (x )(x 为月份)，且满足g (x )＝f (x －2)＋2.
(1)分别写出该商品每件的出厂价函数f (x )、售价函数g (x )的解析式； (2)问哪几个月能盈利？
解：(1)f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋B ，由题意可得，
A ＝2，
B ＝6，ω＝π4，φ＝－π4
，
所以f (x )＝2sin(π4x －π
4
)＋6(1≤x ≤12，x 为正整数)，
g (x )＝2sin(π
4x －34
π)＋8(1≤x ≤12，x 为正整数)．
(2)由g (x )>f (x )，得sin π4x <2
2.
2k π＋34π<π4x <2k π＋9
4π，k ∈Z ，
∴8k ＋3<x <8k ＋9，k ∈Z ，
∵1≤x ≤12，k ∈Z ，∴k ＝0时，3<x <9， ∴x ＝4,5,6,7,8；
k ＝1时，11<x <17，∴x ＝12.
∴x ＝4,5,6,7,8,12， 故4,5,6,7,8,12月份能盈利．。