9第九章渐近法6
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M AB
A
C
BC ( M B ) M BC
MAB= MABF+ M AB
13
然后各跨分别叠加简支梁的弯矩图，即得最后弯矩图。
例1. 用力矩分配法作图示连续梁 （1）B点加约束 的弯矩图。 167.2 M图(kN· m) 200 6 115.7 F 200kN 150 kN m MAB = 20kN/m 8 90 300 F= 150 kN m M BA EI EI C B A 2 20 6 90kN m MBCF= 3m 6m 3m 8 MB= MBAF+ MBCF= 60 kN m 200kN 60 20kN/m （2）放松结点B，即加-60进行分配 C 设i =EI/l B A 计算转动刚度： -150 150 -90 SBA=4i SBC=3i + -60 4i 0.571 0.429 BA 0.571 分配系数： 4i 3i C A -17.2 -34.3 B -25.7 0 0.571 A -150 150 0.429
D
9.8 1.7
4.89
-0.5 0.15 0.15 0.2 43.45 3.45 -46.9
1.65 0.07 1.72
-1.0 -0.5 -0.7 24.4 -9.8 -14.6
-4.65 -0.25 -4.90
M图 (kN m)
F
E
21
22
结点 杆端 μ
A AB 0
E EB BE 0.263
0.03 －0.01 －0.01 －0.01 M 0 －1.42 －2.85 掉静定伸臂,将其上荷载向结点作等效平移。
有结点集中力偶时,结点不平衡力矩=固端弯矩之和+结点集中 力偶(逆时针为正,顺时针为负)
1 0.667 CB 1 1 220 CD 0.333
例2. q=20kN/m
A
1 B E
D
4
F
1
2m
2
4m
4m
3
1
C
1
BA 0.3 BC 0.4 0 .3 BE
B
0.4
CB 0.445 CD 0.333 0.222 CF
结构力学
土木与水利工程学院
道路桥梁工程系
1
§9-1 渐近法概 述 计算超静定结构，不论采用力法或位移法，均要组成和解算典
型方程，当未知量较多时，其工作量非常大。为了寻求较简捷的计 算方法，自本世纪三十年代以来，又陆续出现了各种渐进法，力矩 分配法就是其一。 渐进法的共同特点是，避免了组成和解算典型方程，而以逐次 渐进的方法来计算杆端弯矩，其结果的精度随计算轮次的增加而提 高，最后收敛于精确解。 这些方法的概念生动形象，每轮计算的程序均相同，易于掌 握，适合手算，并可不经过计算结点位移而直接求得杆端弯矩。 在结构设计中被广泛采用。
(1)固定结点 即加入刚臂。此时各杆端有固端弯矩，而结点上有 不平衡力矩，它暂时由刚臂承担。 (2)放松结点 即取消刚臂，让结点转动。这相当于在结点上又加 入一个反号的不平衡力矩，于是不平衡力矩被消除而结 点获得平衡。此反号的不平衡力矩将按劲度系数大小的 比例分配给各近端，于是各近端得到分配弯矩，同时各 自向其远端进行传递，各远端弯矩等于固端弯矩加上传 12 递弯矩。
端最后弯矩。
18
§9-3
A
用力矩分配法计算连续梁和无侧移刚架
B MAB MBA MB MBC
B
C MCB MC
C
MCD
D
MABF 放松，平衡了
MBAF
MBCF
MCBF
MC’ 固定
-MB
固定
-MC’
放松，平衡了
放松，平衡了
固定
19
例1.用力矩分配法列表计算图示连续梁。 100kN 20kN/m A EI=1 6m B 0.4 0.6 60 -100 -33.4 29.4 44 -7.3 2.9 0.3 4.4 -0.7 0.4 EI=2 4m 4m 0.667 0.333 100 C EI=1 6m D
BC
B -90 -25.7
-115.7
分配力矩: C 0.571 (60) 34.3 M BA
3i 0.429 7i
=
-17.2
-167.2
-34.3
115.7
0
0
0.429 (60) 25.7 M BC
(3) 最后结果。合并前面两个过程
14
100kN
B BA 0.316 BC 0.421 CB 0.615
C (-20) CF 0.385 0 0.53 0.03 0.56
F FC 0
m
0 0 31.25 －20.83 20.83 －1.37 －2.74 －3.29 －4.39 －2.20 0.84 0.42
0.27
0.02 0.29
－0.05 －0.10 －0.14 －0.18 －0.09
MBAF
2. 放松结点。去掉约束，相当于在结点 B 加上负的不平衡力矩MB，并将它分给 -MB 各个杆端及传递到远端。
B
+
M BC
BA ( M B ) M BA
0 B M BC M BA MBC = MBCF+ M BC 最后杆端弯矩： MBA = MBAF+ M BA
AB
AC
2 4 0.4 2 3 2 4 1.5 4 1 F M AB 30 4 2 60kNm 8 100 2 32 F M DA 72kNm 2 5
（3）进行力矩的分配与传递；（4 ）计算最后的弯矩
AB B AC AD
0.3
60 A
9
结点1的各近端弯矩为：
M
F 21
M
F 12
F M14
M12=
4
F M 41
2 3
1
M13=
M14=
MP图
(b)
4i12 2 3i13 1 3 (c) i14
Z1 1
4
以上各式右边第一项为荷载产生的弯矩，即固端 弯矩。第二项为结点转动Z1角所产生的弯矩，这
2i12
相当于把不平衡力矩反号后按劲度系数大小的比
M21= M31= M41=
Z1 1
4 i14
M1图
各式右边的第一项仍是固端弯矩。第二项是由结点转动Z1角所产生 的弯矩，它好比是将各近端的分配弯矩以传递系数的比例传到各远 11 端一样，故称为传递弯矩。
典型方程和求解，而直接按以上结论计算各杆端弯矩，其过程 分为两步：
得出上述规律后，便可不必绘 MP 、 图，也不必列出
q
2 1 3
P
4
F M 21
M
F 12
F M14
4 1
F M 41
2 3
1
F M12
F M 14
MP图
(a)
(b)
F M13
图(a)所示刚架用位移法计算时，只有一个未知量即结点转角 Z1，其典型方程为 r11Z1+R1P=0 绘出MP图（图b), 可求得自由项为 R1P= R1P是结点固定时附加刚臂上的反力矩，可称为刚臂反力矩，它等 于结点1的杆端固端弯矩的代数和 ，即各固端弯矩所不平衡的 8 差值，称为结点上的不平衡力矩。
i AB
iBC iCD
MF-60 分 14.7 配 与 传 1.5 递 0.2 Mij -43.6
-66.7 -33.3 22 -14.7 -7.3
2.2 -1.5 -0.7
1 2 S 4 BA 6 3 S 4 1 1 BC 4
1 6 2 1 8 4 1 6
绘出结构的
图（见图c)， 计算系数为：
r11= 4i12+3i13+i14 = S12+S13+S14
= ∑S1j
式中∑S1j代表汇交于结点1的各 杆端劲度系数的总和。 解典型方程得
2
4i12 2i12 3i13
1 3
Z1 1
4
i14
M1图
Z1=
然后可按叠加法 M= 弯矩。
(c)
计算各杆端的最后弯
单结点的力矩分配
B
将整个变形过 A MAB 程分为两步：
——基本运算
固端弯矩带本身符号 MBC C MB MFBA MFBC
MBA
=
MB MBCF C
1、固定结点。在刚结点加刚臂阻 止结点转动。附加刚臂中的约束力 矩，称为结点不平衡力矩MB。
MBCF MB= MBAF+ - MB
M BA
A
MABF
√
1 1
MAB Δ
1
例题 2
A
1
③
）
④
A
转动刚度SAB=4i是（ i
B
A
i
A
B
4i>SAB>3i
√ √ √
①
③ ④
A
i
i
B
B
②
i ⑤
B
i
在确定杆端转动刚度时： 近端看位移（是否为单位位移） 远端看支承（远端支承不同，转动刚度不同）。
6
三、力矩分配法的基本原理（分配系数、不平衡力矩）
现以下图所示刚架为例说明力矩分配法的基本原理。
C
4m
5m
MBAF= 40kN· m MBCF= - 41.7kN· m MCBF= 41.7kN· m 0.3 B 0.445 41.7 -18.5
2.2
C 0.333
0.222 -9.3 -13.9
A
43.5 46.9 3.45 24.5 14.7
40 3.3
0.3
-41.7 -9.3 3.3 4.4
适用范围：连续梁和无侧移刚架。
一、转动刚度S（劲度系数）：表示杆端对转动的抵抗能力。
在数值上 = 杆端发生单位转动时，杆端（近端）产生的弯矩。
SAB与杆的i（材料的性质、横截面的形状和尺寸、杆长）及 远端支承有关。
4
二、传递系数 MAB = 4 iAB A
近端 A A l
MBA = 2 iAB A
例题
4m
30kN/m
D
B i=2 A i=2 C 4m 3m 2m i=1.5
解：（1）计算分配系数；（2）计算固端弯矩；
23 0.3 2 3 2 4 1.5 4 1.5 4 AD 0.3 2 3 2 4 1.5 4 100 2 2 3 F M AD 48kNm 2 5
例分配给近端，因此称为分配弯矩，12 、13 、 14等称为分配系数，其计算公式为
M1图
1j=
(9—1)
10
1j =
M
F 21
M
(9—1)
F 12
F M14
4 1
F M 41
2 3
显然，同一结点各杆 端的分配系数 之和应等于1，即∑ 1j =1 。 各远端弯矩如下
MP图
(b)
4i12 2 2i12 3i13 1 3 (c)
B
43.6
A 21.9
92.6 -92.6 92.6
B
41.3
-41.3
0
2 3 0.4 BA 2 1 3 0.6 BC 1 S 4 1 CB 4 S 3 1 1 CD 6 2
C
41.3
C 133.1
D M图（kN· m）
2
§9-1 述
渐近法概
不建立方程组的渐近解法有：
(1)力矩分配法：适于连续梁与无侧移刚架。 (2)无剪力分配法：适于规则的有侧移刚架。 (3)剪力分配法：适于梁为刚性杆，竖柱为弹性杆的框架结构。
它们都属于位移法的渐近解法。
3
§9-2
力矩分配法
力矩分配法的基本原理
理论基础：位移法；
计算对象：杆端弯矩； 计算方法：逐渐逼近的方法；
0.4
0.3
-48 → → 72 -1.8
D
-3.6 -4.8 -3.6 56.4 -4.8 51.6 C ↓ -2.4
70.2
16
56.4
51.6 4.8
70.2
2.4
M图(kNm)
17
力矩分配法求解步骤
（1）求分配系数和固端弯矩；
（2）将会交于结点的固端弯矩之和(不平衡力矩)按分 配系数，反号分配给每一个杆端。 （3）各杆按各自的传递系数向远端传递。 （4）将固端弯矩和分配（或传递的弯矩）相加，得杆
AB
AC
2 4 0.4 2 3 2 4 1.5 4 1 F M AB 30 4 2 60kNm 8 100 2 32 F M DA 72kNm 2 5
15
解：（1）计算分配系数；（2）计算固端弯矩；
23 0.3 2 3 2 4 1.5 4 1.5 4 AD 0.3 2 3 2 4 1.5 4 100 2 2 3 F M AD 48kNm 2 5
远端 B
C AB
M BA 1 M AB 2
MAB = 3iABA
A
A
MAB= iABA
B
C AB
M BA 0 M AB
MBA = - iAB A
B
A
A
C AB
M BA 1 M AB
各杆远端弯矩分别等于各杆近端弯矩乘以传递系数。
5
例题
1 下列那种情况的杆端弯矩MAB=SAB MAB MAB ① ② θ MAB
A
C
BC ( M B ) M BC
MAB= MABF+ M AB
13
然后各跨分别叠加简支梁的弯矩图，即得最后弯矩图。
例1. 用力矩分配法作图示连续梁 （1）B点加约束 的弯矩图。 167.2 M图(kN· m) 200 6 115.7 F 200kN 150 kN m MAB = 20kN/m 8 90 300 F= 150 kN m M BA EI EI C B A 2 20 6 90kN m MBCF= 3m 6m 3m 8 MB= MBAF+ MBCF= 60 kN m 200kN 60 20kN/m （2）放松结点B，即加-60进行分配 C 设i =EI/l B A 计算转动刚度： -150 150 -90 SBA=4i SBC=3i + -60 4i 0.571 0.429 BA 0.571 分配系数： 4i 3i C A -17.2 -34.3 B -25.7 0 0.571 A -150 150 0.429
D
9.8 1.7
4.89
-0.5 0.15 0.15 0.2 43.45 3.45 -46.9
1.65 0.07 1.72
-1.0 -0.5 -0.7 24.4 -9.8 -14.6
-4.65 -0.25 -4.90
M图 (kN m)
F
E
21
22
结点 杆端 μ
A AB 0
E EB BE 0.263
0.03 －0.01 －0.01 －0.01 M 0 －1.42 －2.85 掉静定伸臂,将其上荷载向结点作等效平移。
有结点集中力偶时,结点不平衡力矩=固端弯矩之和+结点集中 力偶(逆时针为正,顺时针为负)
1 0.667 CB 1 1 220 CD 0.333
例2. q=20kN/m
A
1 B E
D
4
F
1
2m
2
4m
4m
3
1
C
1
BA 0.3 BC 0.4 0 .3 BE
B
0.4
CB 0.445 CD 0.333 0.222 CF
结构力学
土木与水利工程学院
道路桥梁工程系
1
§9-1 渐近法概 述 计算超静定结构，不论采用力法或位移法，均要组成和解算典
型方程，当未知量较多时，其工作量非常大。为了寻求较简捷的计 算方法，自本世纪三十年代以来，又陆续出现了各种渐进法，力矩 分配法就是其一。 渐进法的共同特点是，避免了组成和解算典型方程，而以逐次 渐进的方法来计算杆端弯矩，其结果的精度随计算轮次的增加而提 高，最后收敛于精确解。 这些方法的概念生动形象，每轮计算的程序均相同，易于掌 握，适合手算，并可不经过计算结点位移而直接求得杆端弯矩。 在结构设计中被广泛采用。
(1)固定结点 即加入刚臂。此时各杆端有固端弯矩，而结点上有 不平衡力矩，它暂时由刚臂承担。 (2)放松结点 即取消刚臂，让结点转动。这相当于在结点上又加 入一个反号的不平衡力矩，于是不平衡力矩被消除而结 点获得平衡。此反号的不平衡力矩将按劲度系数大小的 比例分配给各近端，于是各近端得到分配弯矩，同时各 自向其远端进行传递，各远端弯矩等于固端弯矩加上传 12 递弯矩。
端最后弯矩。
18
§9-3
A
用力矩分配法计算连续梁和无侧移刚架
B MAB MBA MB MBC
B
C MCB MC
C
MCD
D
MABF 放松，平衡了
MBAF
MBCF
MCBF
MC’ 固定
-MB
固定
-MC’
放松，平衡了
放松，平衡了
固定
19
例1.用力矩分配法列表计算图示连续梁。 100kN 20kN/m A EI=1 6m B 0.4 0.6 60 -100 -33.4 29.4 44 -7.3 2.9 0.3 4.4 -0.7 0.4 EI=2 4m 4m 0.667 0.333 100 C EI=1 6m D
BC
B -90 -25.7
-115.7
分配力矩: C 0.571 (60) 34.3 M BA
3i 0.429 7i
=
-17.2
-167.2
-34.3
115.7
0
0
0.429 (60) 25.7 M BC
(3) 最后结果。合并前面两个过程
14
100kN
B BA 0.316 BC 0.421 CB 0.615
C (-20) CF 0.385 0 0.53 0.03 0.56
F FC 0
m
0 0 31.25 －20.83 20.83 －1.37 －2.74 －3.29 －4.39 －2.20 0.84 0.42
0.27
0.02 0.29
－0.05 －0.10 －0.14 －0.18 －0.09
MBAF
2. 放松结点。去掉约束，相当于在结点 B 加上负的不平衡力矩MB，并将它分给 -MB 各个杆端及传递到远端。
B
+
M BC
BA ( M B ) M BA
0 B M BC M BA MBC = MBCF+ M BC 最后杆端弯矩： MBA = MBAF+ M BA
AB
AC
2 4 0.4 2 3 2 4 1.5 4 1 F M AB 30 4 2 60kNm 8 100 2 32 F M DA 72kNm 2 5
（3）进行力矩的分配与传递；（4 ）计算最后的弯矩
AB B AC AD
0.3
60 A
9
结点1的各近端弯矩为：
M
F 21
M
F 12
F M14
M12=
4
F M 41
2 3
1
M13=
M14=
MP图
(b)
4i12 2 3i13 1 3 (c) i14
Z1 1
4
以上各式右边第一项为荷载产生的弯矩，即固端 弯矩。第二项为结点转动Z1角所产生的弯矩，这
2i12
相当于把不平衡力矩反号后按劲度系数大小的比
M21= M31= M41=
Z1 1
4 i14
M1图
各式右边的第一项仍是固端弯矩。第二项是由结点转动Z1角所产生 的弯矩，它好比是将各近端的分配弯矩以传递系数的比例传到各远 11 端一样，故称为传递弯矩。
典型方程和求解，而直接按以上结论计算各杆端弯矩，其过程 分为两步：
得出上述规律后，便可不必绘 MP 、 图，也不必列出
q
2 1 3
P
4
F M 21
M
F 12
F M14
4 1
F M 41
2 3
1
F M12
F M 14
MP图
(a)
(b)
F M13
图(a)所示刚架用位移法计算时，只有一个未知量即结点转角 Z1，其典型方程为 r11Z1+R1P=0 绘出MP图（图b), 可求得自由项为 R1P= R1P是结点固定时附加刚臂上的反力矩，可称为刚臂反力矩，它等 于结点1的杆端固端弯矩的代数和 ，即各固端弯矩所不平衡的 8 差值，称为结点上的不平衡力矩。
i AB
iBC iCD
MF-60 分 14.7 配 与 传 1.5 递 0.2 Mij -43.6
-66.7 -33.3 22 -14.7 -7.3
2.2 -1.5 -0.7
1 2 S 4 BA 6 3 S 4 1 1 BC 4
1 6 2 1 8 4 1 6
绘出结构的
图（见图c)， 计算系数为：
r11= 4i12+3i13+i14 = S12+S13+S14
= ∑S1j
式中∑S1j代表汇交于结点1的各 杆端劲度系数的总和。 解典型方程得
2
4i12 2i12 3i13
1 3
Z1 1
4
i14
M1图
Z1=
然后可按叠加法 M= 弯矩。
(c)
计算各杆端的最后弯
单结点的力矩分配
B
将整个变形过 A MAB 程分为两步：
——基本运算
固端弯矩带本身符号 MBC C MB MFBA MFBC
MBA
=
MB MBCF C
1、固定结点。在刚结点加刚臂阻 止结点转动。附加刚臂中的约束力 矩，称为结点不平衡力矩MB。
MBCF MB= MBAF+ - MB
M BA
A
MABF
√
1 1
MAB Δ
1
例题 2
A
1
③
）
④
A
转动刚度SAB=4i是（ i
B
A
i
A
B
4i>SAB>3i
√ √ √
①
③ ④
A
i
i
B
B
②
i ⑤
B
i
在确定杆端转动刚度时： 近端看位移（是否为单位位移） 远端看支承（远端支承不同，转动刚度不同）。
6
三、力矩分配法的基本原理（分配系数、不平衡力矩）
现以下图所示刚架为例说明力矩分配法的基本原理。
C
4m
5m
MBAF= 40kN· m MBCF= - 41.7kN· m MCBF= 41.7kN· m 0.3 B 0.445 41.7 -18.5
2.2
C 0.333
0.222 -9.3 -13.9
A
43.5 46.9 3.45 24.5 14.7
40 3.3
0.3
-41.7 -9.3 3.3 4.4
适用范围：连续梁和无侧移刚架。
一、转动刚度S（劲度系数）：表示杆端对转动的抵抗能力。
在数值上 = 杆端发生单位转动时，杆端（近端）产生的弯矩。
SAB与杆的i（材料的性质、横截面的形状和尺寸、杆长）及 远端支承有关。
4
二、传递系数 MAB = 4 iAB A
近端 A A l
MBA = 2 iAB A
例题
4m
30kN/m
D
B i=2 A i=2 C 4m 3m 2m i=1.5
解：（1）计算分配系数；（2）计算固端弯矩；
23 0.3 2 3 2 4 1.5 4 1.5 4 AD 0.3 2 3 2 4 1.5 4 100 2 2 3 F M AD 48kNm 2 5
例分配给近端，因此称为分配弯矩，12 、13 、 14等称为分配系数，其计算公式为
M1图
1j=
(9—1)
10
1j =
M
F 21
M
(9—1)
F 12
F M14
4 1
F M 41
2 3
显然，同一结点各杆 端的分配系数 之和应等于1，即∑ 1j =1 。 各远端弯矩如下
MP图
(b)
4i12 2 2i12 3i13 1 3 (c)
B
43.6
A 21.9
92.6 -92.6 92.6
B
41.3
-41.3
0
2 3 0.4 BA 2 1 3 0.6 BC 1 S 4 1 CB 4 S 3 1 1 CD 6 2
C
41.3
C 133.1
D M图（kN· m）
2
§9-1 述
渐近法概
不建立方程组的渐近解法有：
(1)力矩分配法：适于连续梁与无侧移刚架。 (2)无剪力分配法：适于规则的有侧移刚架。 (3)剪力分配法：适于梁为刚性杆，竖柱为弹性杆的框架结构。
它们都属于位移法的渐近解法。
3
§9-2
力矩分配法
力矩分配法的基本原理
理论基础：位移法；
计算对象：杆端弯矩； 计算方法：逐渐逼近的方法；
0.4
0.3
-48 → → 72 -1.8
D
-3.6 -4.8 -3.6 56.4 -4.8 51.6 C ↓ -2.4
70.2
16
56.4
51.6 4.8
70.2
2.4
M图(kNm)
17
力矩分配法求解步骤
（1）求分配系数和固端弯矩；
（2）将会交于结点的固端弯矩之和(不平衡力矩)按分 配系数，反号分配给每一个杆端。 （3）各杆按各自的传递系数向远端传递。 （4）将固端弯矩和分配（或传递的弯矩）相加，得杆
AB
AC
2 4 0.4 2 3 2 4 1.5 4 1 F M AB 30 4 2 60kNm 8 100 2 32 F M DA 72kNm 2 5
15
解：（1）计算分配系数；（2）计算固端弯矩；
23 0.3 2 3 2 4 1.5 4 1.5 4 AD 0.3 2 3 2 4 1.5 4 100 2 2 3 F M AD 48kNm 2 5
远端 B
C AB
M BA 1 M AB 2
MAB = 3iABA
A
A
MAB= iABA
B
C AB
M BA 0 M AB
MBA = - iAB A
B
A
A
C AB
M BA 1 M AB
各杆远端弯矩分别等于各杆近端弯矩乘以传递系数。
5
例题
1 下列那种情况的杆端弯矩MAB=SAB MAB MAB ① ② θ MAB