2021-2022学年河南省重点高中高三(上)阶段性数学试卷(文科)(二)(附详解)

2021-2022学年河南省重点高中高三（上）阶段性数学试
卷（文科）（二）
一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）
1.设集合A={x|−3<x<1}，B={x|x≥0}，则A∪B=()
A. {x|0≤x<1}
B. {x|x≥0}
C. {x|−3<x<1}
D. {x|x>−3}
2.若复数z=2−i
2+i
，则z的虚部为()
A. −4
5i B. 4
5
i C. −4
5
D. 3
5
3.命题“∀x>1，2x−1>0”的否定是()
A. ∃x>1，2x−1≤0
B. ∀x≤1，2x−1>0
C. ∀x>1，2x−1≤0
D. ∃x>1，2x−1>0
4.某团支部随机抽取甲乙两位同学连续9期“青年大学习”的成绩(单位：分)，得到
如图所示的成绩茎叶图，关于这9期的成绩，则下列说法正确的是()
A. 甲成绩的中位数为32
B. 乙成绩的极差为40
C. 甲乙两人成绩的众数相等
D. 甲成绩的平均数高于乙成绩的平均数
5.已知平面向量a⃗=(1,2)，b⃗ =(2,y)，且a⃗//b⃗ ，则a⃗+2b⃗ =()
A. (5,−6)
B. (3,6)
C. (5,4)
D. (5,10)
6.已知S n是等比数列{a n}前n项的和，若公比q=2，则a1+a3+a5
S6
=()
A. 1
3B. 1
7
C. 2
3
D. 3
7
7.函数f(x)=sin(x+π
3
)+sinx的最大值为()
A. 2
B. √3
C. 2√3
D. 4
8. 下列函数中，在定义域内既是奇函数又是减函数的是( )
A. y =1−x 2
B. y =x|x|
C. y =e x −e −x
D. y =lg(√x 2+1−x)
9. 设l 是直线，α，β是两个不同的平面( )
A. 若l//α，l//β，则 α//β
B. 若l//α，l ⊥β，则α⊥β
C. 若α⊥β，l ⊥α，则 l ⊥β
D. 若α⊥β，l//α，则l ⊥β
10. 已知定义在R 上的奇函数y =f(x)满足f(x +2)=−f(x)，若∀x 1，x 2∈[0,1]且x 1≠
x 2时，都有x 1f(x 1)+x 2f(x 2)>x 2f(x 1)+x 1f(x 2)，则下列结论正确的是( )
A. y =f(x)图象关于直线x =2020对称
B. y =f(x)在[2019,2021]上为减函数
C. y =f(x)图像关于点(2020,0)中心对称
D. y =f(x)在[2020,2022]上为增函数
11. 已知直线l ：y =kx 与圆C ：x 2+y 2−6x +5=0交于A 、B 两点，若△ABC 为等腰
直角三角形，则k 的值为( )
A. √147
B. √14
2
C. ±√14
2
D. ±√14
7
12. 已知函数f(x)=ae x −x 2(a ∈R)有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是( )
A. (0,4
e 2)
B. (0,2
e )
C. (0,2
e 2)
D. (0,4
e )
二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 已知函数f(x)={4+log 3x,x >0
43
−2x ,x ≤0，则f[f(log 149)]=______． 14. 已知x >0，y >0，x 、a 、b 、y 成等差数列，x 、c 、d 、y 成等比数列，则
(a+b)2cd
的
最小值是______．
15. 已知曲线y =x +lnx 在点(1,1)处的切线与曲线y =ax 2+(a +2)x +1(a ≠0)相切，
则a =______
16. 已知三棱锥A −BCD 中，平面ABD ⊥平面BCD ，若AD =DB =BC =CD =1，
∠ADB =120°，则该三棱锥的外接球的表面积为______．
三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）
17. 某科技公司研发了一项新产品A ，经过市场调研，对公司1月份至6月份销售量及销
售单价进行统计，销售单价x(千元)和销售量y(千件)之间的一组数据如表所示：
月份 1 2 3 4 5 6 销售单价x i 9 9.5 10 10.5 11 8 销售量y i
11
10
8
6
5
15
(1)试根据1至5月份的数据，建立y 关于x 的回归直线方程；
(2)若由回归直线方程得到的估计数据与剩下的检验数据的误差不超过0.65千元，则认为所得到的回归直线方程是理想的，试问(1)中所得到的回归直线方程是否理想？
参考公式：回归直线方程y ̂
=b ̂
x +a ̂
，其中b ̂
=
∑x i n i=1y i −nx −y
−
∑x i 2n i=1−nx
−2．
参考数据：∑x i 5i=1y i =392，∑x i 2
5i=1=502.5．
18. 已知四棱锥P −ABCD 的底面为直角梯形，AB//CD ，∠DAB =90°，PA ⊥AD ，且
PA =AB =2AD =2DC =2，PB =√2AB ． (Ⅰ)证明：平面PAC ⊥平面PBC ； (Ⅱ)求四棱锥P −ABCD 的侧面积．
19. 已知等差数列{a n }的前四项和为10，且a 2，a 3，a 7成等比数列．
(1)求数列{a n }通项公式；
(2)设b n =a n +2n ，求数列{b n }的前n 项和S n ．
20. 已知双曲线C ：x 2
a 2−y
2
b
2=1(a >0,b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，双曲线C 的右顶点A 在圆O ：x 2+y 2=2上，且AF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−2． (1)求双曲线C 的标准方程；
(2)动直线1与双曲线C 恰有1个公共点，且与双曲线C 的两条渐近线分别交于点M 、N ，问：△OMN(O 为坐标原点)的面积是否为定值？若为定值.求出该定值；若不为定值.试说明理由．
21. 已知函数f(x)=1
(x−1)2+aln(x +1)(a ∈R)．
(1)设g(x)=f(x −1)，若g(x)在区间(1,2)上单调递增，求实数a 的取值范围； (2)若对任意x ∈(−1,1)，f(x)≥1，求实数a 的值．
22. 已知平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为{x =tcosα
y =tsinα，其中t 为参数，α∈
[0,π)，曲线C 2的参数方程为{x =1+2cosθ
y =2sinθ，其中θ为参数．以坐标原点O 为极点，
x 轴非负半轴为极轴，建立极坐标系． (1)求曲线C 1，C 2的极坐标方程；
(2)若α=π
3，曲线C 1，C 2交于M ，N 两点，求|OM|⋅|ON|的值．
23. 已知函数f(x)=|x +a|+2|x −1|．
(1)当a =2时，解不等式f(x)≤4；
(2)若存在x ∈[1,2]，使得不等式f(x)>x 2成立，求实数a 的取值范围．
答案和解析1.【答案】D
【解析】解：∵A={x|−3<x<1}，B={x|x≥0}，∴A∪B={x|−3<x<1}∪{x|x≥0}={x|x>−3}．故选：D．
由已知直接利用并集运算得答案．
本题考查并集及其运算，是基础题．
2.【答案】C
【解析】解：∵2−i
2+i =(2−i)2
(2+i)(2−i)
=3−4i
5
=3
5
−4
5
i，
∴复数2−i
2+i 的虚部为−4
5
．
故选：C．
直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．
3.【答案】A
【解析】解：因为命题“∀x>1，2x−1>0”是全称命题，
所以该命题的否定为特称命题，
即为：“∃x>1，2x−1≤0”，
故选：A．
已知命题为全称命题，根据全称命题与特称命题的关系即可求解．
本题考查了全称命题与特称命题的否定，属于基础题．
4.【答案】A
【解析】解：对于A，将甲的成绩按照从小到大的顺序排列之后，最中间的数字为32，故A正确；
对于B ，乙成绩的极差为52−10=42，故B 错误； 对于C ，甲的众数为32，乙的众数为42，故C 错误； 对于D ，x 甲−
=11+22+23+24+32+32+33+41+52
9
=30，
x 乙−
=
10+22+31+32+35+42+42+50+52
9
=351
9，
所以甲成绩的平均数低于乙成绩的平均数，D 错误； 故选：A ．
根据数字特征进行逐一计算，判断各个选项即可． 本题考查了茎叶图中的数字特征，属于基础题．
5.【答案】D
【解析】 【分析】
本题考查了向量共线定理和向量坐标运算，属于基础题． 利用向量共线定理和向量坐标运算即可得出． 【解答】 解：∵a ⃗ //b ⃗ ， ∴y −2×2=0， 解得y =4，
∴a ⃗ +2b ⃗ =(1,2)+2(2,4)=(5,10)． 故选D ．
6.【答案】A
【解析】 【分析】
本题考查等比数列的三项和与前6项和的比值的求法，考查等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
利用等比数列的通项公式和前n 项和公式直接求解． 【解答】
解：∵S n 是等比数列{a n }的前n 项和，公比q =2，
∴a 1+a 3+a 5S 6
=
a 1+a 1q 2+a 1q 4a 1(1−q 6)1−q
=
1+22+24
1−261−2
=1
3．
故选：A ．
7.【答案】B
【解析】解：f(x)=sin(x +π
3)+sinx =1
2sinx +√3
2cosx +sinx =3
2sinx +√3
2cosx =
√3(√3
2sinx +1
2cosx)=√3sin(x +π6)， 故函数的最大值为√3， 故选：B ．
利用三角函数的恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的最值，求得函数的最值． 本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，正弦函数的最值，属于中档题．
8.【答案】D
【解析】解：解：对于A ，函数为偶函数，故选项A 错误；
对于B ，函数y =x|x|={x 2,x ≥0
−x 2,x <0，则函数在R 上为单调递增函数，故选项B 错误；
对于C ，函数y =e x −e −x 为奇函数，因为y =e x 和y =−e −x 均为R 上的增函数，则函数为增函数，故选项C 错误；
对于D ，函数y =lg(√x 2+1−x)为奇函数，函数可变形为y =√x 2+1+x ，因为t =
√x 2+1+x
为单调递减函数，而y =lgt 为单调递增函数，则f(x)为单调递减函数，故选项
D 正确． 故选：D ．
利用基本初等函数的性质，结合奇偶性的定义，函数单调性的判断方法，逐一分析判断即可．
本题考查了函数单调性与奇偶性的判断，判断函数奇偶性时要先判断函数的定义域是否关于原点对称，解题的关键是掌握基本初等函数的性质，考查了逻辑推理能力，属于基础题．
9.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查直线与平面、平面与平面的位置关系，属于基础题．
根据直线与平面、平面与平面的位置关系对4个选项分别进行判断，即可得出结论．【解答】
解：若l//α，l//β，则α//β或α，β相交，故A不正确；
根据线面平行的性质可得：
若l//α，经过l的平面与α的交线为m，
则l//m，
∵l⊥β，
∴m⊥β，根据平面与平面垂直的判定定理，可得α⊥β，故B正确；
若l⊥α，α⊥β，则l⊂β或l//β，故C错误；
若α⊥β，l//α，则有l//β或l⊂β或l与β相交，故D不正确．
故选：B．
10.【答案】C
【解析】解：对于A，因为f(x)为奇函数，
所以f(−x)=−f(x)，
则f(x+2)=−f(x)=f(−x)，
故函数f(x)的对称轴为x=1，
因为f(x+2)=−f(x)，
所以f(x+4)=−f(x+2)=f(x)，
故函数f(x)的周期为4，
所以对称轴为x=1+4k(k∈Z)，
则x=2020不满足x=1+4k(k∈Z)，
故选项A错误；
对于B，因为∀x1，x2∈[0,1]且x1≠x2时，都有x1f(x1)+x2f(x2)>x2f(x1)+x1f(x2)，则x1[f(x1)−f(x2)]>x2[f(x1)−f(x2)]，
所以(x1−x2)[f(x1)−f(x2)]>0，
故函数f(x)在[0,1]上为单调递增函数，
则函数f(x)在[4k,4k+1](k∈Z)上为单调递增函数，
当k=505时，f(x)在[2020,2021]上为单调递增函数，
故选项B错误；
对于C，f(2020)=f(4×505+0)=f(0)，
因为f(x)是定义在R上的奇函数，
所以f(0)=0，
则f(2020)=0，
所以y=f(x)图像关于点(2020,0)中心对称，
故选项C正确；
由f(x)的对称轴为x=1可得，f(x)在[1,2]上为单调递减函数，
所以f(x)在[4k+1,4k+2](k∈Z)上为减函数，
当k=505时，f(x)在区间[2021,2022]上为减函数，
故选项D错误．
故选：C．
由题意，结合函数奇偶性、单调性、对称性以及周期性的定义，判断得到f(x)的单调性、周期性、对称性以及奇偶性，依次判断四个选项即可．
本题以命题的真假判断为载体，考查了函数性质的综合应用，函数奇偶性、单调性、对称性以及周期性的判断与应用，综合性强，考查了逻辑推理能力与转化化归思想，属于中档题．
11.【答案】D
【解析】解：由x2+y2−6x+5=0，得(x−3)2+y2=4，
可得圆心C(3,0)，半径r=2，
由△ABC为等腰直角三角形，得圆心到直线的距离d=
√k2+1=√2，解得k=±√14
7
．
故选：D．
由圆的方程求得圆心坐标与半径，再由△ABC为等腰直角三角形，可得圆心到直线l的距离等于√2，由此列式求得k值．
本题考查直线与圆的位置关系，考查点到直线距离公式的应用，考查运算求解能力，是基础题．
12.【答案】A
【解析】解：令f(x)=ae x−x2=0，可得a=x2
e x
，
若g(x)=x2
e x ，则g′(x)=x(2−x)
e x
，
∴当0<x<2时，g′(x)>0，g(x)递增；
当x<0或x>2时，g′(x)<0，g(x)递减；
∴g(x)有极小值g(0)=0，极大值g(2)=4
e2
，
又x→−∞，g(x)→+∞；x→+∞，g(x)→0；可得g(x)图象如下：
∴要使题设函数有三个不同零点，则g(x)与y=a有三个不同交点，
∴0<a<4
e2
，
∴实数a的取值范围(0,4
e2
)．
故选：A．
将问题转化为g(x)=x2
e x
与y=a有三个不同交点，利用导数研究g(x)的性质并画出图象，数形结合法判断a的取值范围．
本题主要考查利用导数研究函数的性质，由函数零点个数求参数取值范围的方法等知识，属于中等题．
13.【答案】4
【解析】解：∵log 149=−log 23=log 21
3∈(−2,−1)， ∴f(log 1
4
9)=f(log 2 13
)=43
−2log 21
3=43
−13
=1，
∴f[f(log 14
9)]=f(1)=4+log 31=4，
故答案为：4．
根据分段函数的解析式，先求出f(log 1
49)的值，进而求得结论．
本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
14.【答案】4
【解析】解：∵x 、a 、b 、y 成等差数列，
∴a +b =x +y
∵x 、c 、d 、y 成等比数列，
∴cd =xy
则
(a+b)2cd
=
(x+y)2xy
=y x
+x
y
+2≥4(x >0,y >0)，
故答案为4．
由条件x >0，y >0已确保了基本不等式运用的前提，根据题目的条件将a 、b 、c 、d 转化成关于x 、y 的表达式
(a+b)2cd
=
(x+y)2xy
=y x
+x
y
+2≥4(x >0,y >0)
本题考查了函数的最值问题，利用基本不等式是我们常用的方法．
15.【答案】8
【解析】 【分析】
本题考查导数的运用：求切线方程，主要考查导数的几何意义：函数在某点处的导数即为曲线在该点处切线的斜率，求出切线方程，运用两线相切的性质是解题的关键．属于中档题．
求出y =x +lnx 的导数，求得切线的斜率，可得切线方程，再由于切线与曲线y =ax 2+(a +2)x +1相切，有且只有一切点，进而可联立切线与曲线方程，根据Δ=0得到a 的值． 【解得】
解：y =x +lnx 的导数为y′=1+1
x ，
曲线y =x +lnx 在x =1处的切线斜率为k =2，
则曲线y =x +lnx 在x =1处的切线方程为y −1=2x −2，即y =2x −1． 由于切线与曲线y =ax 2+(a +2)x +1相切， 故由方程y =ax 2+(a +2)x +1和y =2x −1联立， 得ax 2+ax +2=0，
又a ≠0，两线相切有一公共点， 所以有Δ=a 2−8a =0， 解得a =8． 故答案为8．
16.【答案】13
3π
【解析】解：如图所示，因为DB =BC =CD =1，
所以△BCD 为等边三角形，取BD 中点M ，连接CM ，则△BCD 外接圆圆心在CM 上，且设为O 2，
由正三角形性质可得，△BCD 外接圆半径r =CO 2=√3
3
，则O 2M =√3
2
−√3
3
=√3
6
，
在△ABD 中，∠ADB =120°，AD =BD =1，
所以AB 2=AD 2+BD 2−2AD ⋅BDcos120°=3，即AB =√3， 由正弦定理得△ABD 外接圆半径r′=AB
2sin∠ADB =
√32×
√32
=1，
设△ABD 外接圆圆心为O 1，则O 1A =O 1B =O 1D =r′=1， 所以四边形ADBO 1为菱形，
过O 2作平面BCD 的垂线，过O 1作平面ADBO 1的垂线，两线交于点O ， 则O 为三棱锥的外接球的球心，连接O 1M ，
因为平面ABD ⊥平面BCD ，且平面ABD ∩平面BCD =BD ， CM ⊥BD ，O 1M ⊥BD ，
所以四边形OO 1MO 2为矩形，则OO 1=MO 2=√3
6
，
所以三棱锥的外接球半径R =BO =√OO 12+BO 12=√13
12，
所以三棱锥的外接球的表面积S =4πR 2=13π3
．
故答案为：
13π3
．
根据题意，分别找到等边△BCD 外接圆的圆心O 2和三角形△ABD 外接圆圆心O 1，即可找到三棱锥外接球球心，根据边长，即可求得外接球半径R ，代入公式，即可得答案． 本题主要考查球与多面体的切割问题，球的表面积的计算等知识，属于中等题．
17.【答案】解：(1)由表可知，x −
=1
5×(9+9.5+10+10.5+11)=10，
y −
=1
5×(11+10+8+6+5)=8，
所以b ̂
=
∑x i n i=1y i −nx −y
−
∑x i 2n i=1−nx
−2=392−5×10×8
502.5−5×102=−3.2，
a ̂
=8−(−3.2)×10=40，
故y 关于x 的回归直线方程为y ̂
=−3.2x +40． (2)当x =8时，y ̂
=−3.2×8+40=14.4， 因为|y ̂
−y|=|14.4−15|=0.6<0.65， 所以可认为所得到的回归直线方程是理想的．
【解析】(1)由表可知x −
和y −
的值，再根据b 和a ̂
的参考公式，求得回归系数，得解； (2)把x =8代入(1)中所得回归方程，再计算|y ̂
−y|的值，并与0.65比较大小，即可得解． 本题考查线性回归方程的求法，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．
18.【答案】解：(1)证明：由PA =AB =2，PB =√2AB =2√2，
∴PA 2+AB 2=PB 2，∴AB ⊥PA ，
又PA ⊥AD ，AB ∩AD =A ，AB ，AD ⊂平面ABCD ， ∴AP ⊥平面ABCD ，
∵BC ⊂平面ABCD ，∴PA ⊥BC ，
在直角梯形ABCD 中，由题意得AC =BC =√2， ∴AC 2+CB 2=AB 2，∴BC ⊥CA ，
∵AP ∩AC =A ，AP 、AC ⊂平面APC ，∴BC ⊥平面APC ， ∵CB ⊂平面PCB ，∴平面PAC ⊥平面PBC ．
(2)由(1)知PA ⊥平面ABCD ，四棱锥的三个侧面均为直角三角形， 由题意得：S △PAD =1
2×PA ×AD =1，S △PAB =1
2×PA ×AB =2， S △PDC =1
2×PD ×CD =1
2×√5×1=
√5
2
，S △PBC =12
×PC ×BC =1
2
×√6×√2=√3，
∴四棱锥P −ABCD 的侧面积为S =3+√3+√52
．
【解析】(1)推导出AB ⊥PA ，PA ⊥AD ，从而AP ⊥平面ABCD ，PA ⊥BC ，再推导出BC ⊥CA ，从而BC ⊥平面APC ，由此能证明平面PAC ⊥平面PBC ．
(2)由PA ⊥平面ABCD ，四棱锥的三个侧面均为直角三角形，能求出四棱锥P −ABCD 的侧面积．
本题考查面面垂直的证明，考查四棱锥的侧面积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
19.【答案】解：(1)由题意知{
4a 1+6d =10
(a 1+2d)2=(a 1+d)(a 1+6d)
，解得a 1=−2，d =3，
或a 1=5
2，d =0， 所以a n =3n −5，a n =5
2，
(2)b n =3n −5+2n ，或b n =5
2+2n ， 当b n =3n −5+2n
时，S n =
n(−2+3n−5)
2+
1−2n 1−2
=
3n 2−7n
2
+2n −1，
当b n =5
2+2n 时，S n =5
2n +2n −1．
【解析】(1)利用等差数列的通项公式分别表示出前四项和与a 2，a 3，a 7等比数列关系组成方程组求得a 1和d ，最后根据等差数列的通项公式求得a n ．
(2)把(1)中求得b n =3n −5+2n ，或b n =5
2+2n ，进而根据分组求和求得答案． 本题主要考查了等差数列和等比数列的性质．考查了对数列通项公式和求和公式等基本知识的灵活运用．
20.【答案】解：(1)设双曲线C 的半焦距为c ，
由点A(a,0)在圆O ：x 2+y 2=2上，可得a =√2，
由AF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−c −√2,0)⋅(c −√2,0)=2−c 2=−2，解得c =2，
所以b 2=c 2−a 2=2， 故双曲线C 的标准方程
x 22
−
y 22
=1；
(2)设直线l 与x 轴相交于点D ，双曲线C 的渐近线方程为y =±x ， 当直线l 的斜率不存在时，直线l 为x =±√2，|OD|=√2，|MN|=2√2， 所以S △OMN =1
2⋅|MN|⋅|OD|=2；
当直线l 的斜率存在时，设其方程为y =kx +m ，则k ≠0，D(−m
k ,0)， 把直线l 的方程与C ：x 2−y 2=2联立可得，(k 2−1)x 2+2kmx +m 2+2=0， 由直线l 与轨迹C 有且只有一个公共点，且与双曲线C 的两条渐近线分别相交， 所以直线l 与双曲线的渐近线不平行，所以k 2−1≠0且m ≠0，
所以{△=4k 2m 2−4(k 2−1)(m 2+2)=0
k 2−1≠0，可得m 2=2(k 2−1)>0，解得k >1或k <
−1，
设M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)，
由{y =kx +m
y =x
，解得y 1=m 1−k ， 同理可得y 2=m
1+k ，
所以S △OMN =1
2⋅|OD|⋅|y 1−y 2|
=
12⋅|m k |⋅|m 1−k −m 1+k
| =|m 2
1−k 2|=2，
综上所述，△OMN 的面积恒为定值2．
【解析】本题考查了双曲线标准方程的求解、直线与双曲线位置关系的应用，在解决直线与圆锥曲线位置关系的问题时，一般会联立直线与圆锥曲线的方程进行研究，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于较难题．
(1)利用点A 在圆O 上，求出a 的值，设双曲线C 的半焦距为c ，利用数量积的坐标表示结合AF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−2，即可求出c 的值，由a ，b ，c 的关系求出b 的值，即可得到答案； (2)设直线l 与x 轴相交于点D ，当直线l 的斜率不存在时，求出三角形的面积；当l 的斜率存在时，设直线l 的方程，与双曲线方程联立，通过直线与双曲线的位置关系，得到m 与
k的关系，然后联立直线l与渐近线方程，求出点M，N的纵坐标，由三角形的面积公式求解即可．
21.【答案】解：(1)依题意，g(x)=1
(x−2)2+alnx,g′(x)=−2
(x−2)3
+a
x
，
∵g(x)在区间(1,2)上单调递增，
∴g′(x)≥0，即−2
(x−2)3+a
x
≥0，即a≥2x
(x−2)3
在(1,2)上恒成立，
令ℎ(x)=2x
(x−2)3，则ℎ′(x)=2(x−2)
3−6x(x−2)2
(x−2)6
=2(x−2)−6x
(x−2)4
=−4x−4
(x−2)4
<0在(1,2)上恒成立，
∴ℎ(x)在(1,2)上单调递减，则ℎ(x)<ℎ(1)=−2，∴a≥−2，即实数a的取值范围为[−2,+∞)；
(2)f′(x)=−2
(x−1)3+a
x+1
=a(x−1)3−2(x+1)
(x+1)(x−1)3
，
∵x∈(−1,1)，
∴(x+1)(x−1)3<0，
令m(x)=a(x−1)3−2(x+1)，
当a≥0时，由于x∈(−1,1)，于是m(x)<0，则f′(x)>0，f(x)在(−1,1)单调递增，又f(0)=1，所以当x∈(−1,0)时，f(x)<1，不满足题意；
当a<0时，m(−1)=−8a，m(1)=−4，又m′(x)=3a(x−1)2−2<0，
∴m(x)在(−1,1)单调递减，存在x0∈(−1,1)，使得m(x0)=0，
且当x∈(−1,x0)时，m(x)>0，f′(x)<0，当x∈(x0,1)时，m(x)<0，f′(x)>0，∴f(x)在(−1,x0)单调递减，在(x0,1)单调递增，
∴f(x)在(−1,1)有唯一的最小值点x0，
又f(0)=1，要使得f(x)≥1恒成立，当且仅当x0=0，则f′(x0)=f′(0)=0，即−a−2= 0，解得a=−2，
综上，实数a的值为−2．
【解析】(1)求出g(x)的解析式，再对其求导，结合题意可将问题转化为a≥2x
(x−2)3
在(1,2)
上恒成立，令ℎ(x)=2x
(x−2)3
，求出ℎ(x)在区间(1,2)上的最大值即可；
(2)对函数f(x)求导，然后分a≥0及a<0讨论，然后利用导数转化求解即可．
本题考查利用导数研究函数的单调性，极值及最值，考查不等式的恒成立问题，考查逻辑推理能力及运算求解能力，属于中档题．
22.【答案】解：(1)，曲线C 1的参数方程为{x =tcosα
y =tsinα，其中t 为参数，α∈[0,π)，
依题意，曲线C 1的普通方程为cosαy −sinαx =0； 即曲线C 1的极坐标方程为θ=α(ρ∈R)； 曲线C 2的参数方程为{x =1+2cosθ
y =2sinθ
，
曲线C 2的普通方程为(x −1)2+y 2=4，即x 2+y 2−2x −3=0， 故曲线C 2的极坐标方程为ρ2−2ρcosθ−3=0．
(2)将θ=π
3代入曲线C 2的极坐标方程ρ2−2cosθ⋅ρ−3=0中， 可得ρ2−ρ−3=0，
设上述方程的两根分别是ρ1，ρ2，则ρ1ρ2=−3，故|OM|⋅|ON|=|ρ1|⋅|ρ2|=3．
【解析】(1)直接利用转换关系，在参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换； (2)利用极径的应用和一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果．
本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，极径的应用，一元二次方程根和系数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，
23.【答案】解：(1)当a =2时，f(x)=|x +2|+2|x −1|，
当x ≤−2时，f(x)=−(x +2)−2(x −1)，不等式f(x)≤4化为−3x ≤4，解得x ≥−4
3，结合x ≤−2，得不等式的解集为⌀；
当−2<x ≤1时，f(x)=(x +2)−2(x −1)，不等式f(x)≤4化为−x +4≤4，解得x ≥0，结合−2<x ≤1，得0≤x ≤1；
当x >1时，f(x)=(x +2)+2(x −1)，不等式f(x)≤4化为3x ≤4，解得x ≤4
3，结合x >1，得1<x ≤4
3；
综上知，不等式f(x)≤4的解集为[0,4
3].
(2)当1≤x ≤2时，f(x)=|x +a|+2|x −1|=|x +a|+2x −2， 不等式f(x)>x 2可化为|x +a|>x 2−2x +2，
由绝对值的定义知，x +a >x 2−2x +2或x +a <−x 2+2x −2， 即存在x ∈[1,2]，使得a >x 2−3x +2，或a <−x 2+x −2． 即a >(x −3
2)2−1
4，或a <−(x −1
2)2−74， 由x =3
2时(x −3
2)2−1
4取得最小值−1
4；
由x =1时−(x −12)2−7
4取得最大值为−2； 所以a >−1
4，或a <−2，
所以实数a 的取值范围是(−∞,−2)∪(−1
4,+∞)．
【解析】(1)a =2时f(x)=|x +2|+2|x −1|，利用分段讨论法求出不等式f(x)≤4的解集．
(2)1≤x ≤2时f(x)=|x +a|+2x −2，不等式f(x)>x 2化为|x +a|>x 2−2x +2，由绝对值的定义化为关于a 的不等式，从而求得实数a 的取值范围．
本题考查了含有绝对值的不等式解法与应用问题，也考查了使不等式成立的应用问题，是中档题．。