考点28 与三角有关的应用题(解析版)

考点28 与三角函数有关的应用题

【知识框图】

【自主热身，归纳总结】

1、(2018苏州期末）如图，两座建筑物AB ，CD 的高度分别是9 m 和15 m ，从建筑物AB 的顶部A 看建筑物CD 的张角∠CAD ＝45°，则这两座建筑物AB 和CD 的底部之间的距离BD ＝________m .

【答案】18

【解析】设BD ＝x m ，作AH ⊥CD ，垂足为H ，记∠HAC ＝α，∠HAD ＝β，则α＋β＝45°. 因为tan α＝6x ，tan β＝9

x ，且tan (α＋β)＝1，得6x ＋9x 1－6x ·9

x ＝1，

即x 2－15x －54＝0，即(x ＋3)(x －18)＝0，解得x ＝18.

2.（2016苏州期中）如图1，为测量山高MN ，选择A 和另一座山的山顶C 为测量观测点．从A 点测得M 点的仰角∠MAN ＝60°，C 点的仰角∠CAB ＝45°以及∠MAC ＝75°；从C 点测得∠MCA ＝60°.已知山高BC ＝100 m ，则山高MN ＝________m.

【答案】 150

【解析】 根据图示，AC ＝100 2 m.在△MAC 中，

∠CMA ＝180°－75°－60°＝45°.由正弦定理得AC sin 45°＝AM sin 60°⇒AM ＝100 3 m.在△AMN 中，MN AM ＝sin 60°，

∴MN ＝1003×3

2

＝150(m)．

3.（2017南通学情调研）如图2，某住宅小区的平面图呈圆心角为120°的扇形AOB ，C 是该小区的一个出入口，且小区里有一条平行于AO 的小路CD .已知某人从O 沿OD 走到D 用了2分钟，从D 沿着DC 走到C 用了3分钟.若此人步行的速度为每分钟50米，则该扇形的半径为________米.

【答案】 750

【解析】 依题意得OD =100米，CD =150米，连接OC ，

易知∠ODC =180°-∠AOB =60°，因此由余弦定理有OC 2=OD 2+CD 2-2OD·CD ·cos ∠ODC ，即OC 2=10000+22500-2×100×150×2

1

∴OC 2=17 500，∴OC =50 (米).

4、(2019南京、盐城二模）某公园内有一块以O 为圆心、半径为20米的圆形区域．为丰富市民的业余文化生活，现提出如下设计方案：如图，在圆形区域内搭建露天舞台，舞台为扇形OAB 区域，其中两个端点A ，B 分别在圆周上；观众席为梯形ABQP 内且在圆O 外的区域，其中AP ＝AB ＝BQ ，∠PAB ＝∠QBA ＝120°，且AB ，PQ 在点O 的同侧，为保证视听效果，要求观众席内每一个观众到舞台O 处的距离都不超

过60米．设∠OAB ＝α，α∈⎝

⎛⎭⎫0，π

3.问：对于任意α，上述设计方案是否均能符合要求？

规范解答 过O 作OH 垂直于AB ，垂足为H.

在Rt △OHA 中，OA ＝20，∠OAH ＝α，

所以AH ＝20cos α，因此AB ＝2AH ＝40cos α.(4分)

由图可知，点P 处观众离点O 处最远．(5分) 在△OAP 中，由余弦定理可知

OP 2＝OA 2＋AP 2－2OA·AP·cos ⎝⎛⎭⎫α＋2π

3(7分)

＝400＋(40cos α)2－2·20·40cos α·(－12cos α－3

2sin α)

＝400(6cos 2α＋23sin αcos α＋1)＝400(3cos 2α＋3sin 2α＋4)

＝8003sin ⎝

⎛⎭⎫2α＋π

3＋1600.(10分)

因为α∈⎝

⎛⎭⎫0，π

3，所以当2α＝π6时，即α＝π12时，

(OP 2)max ＝8003＋1600，即(OP)max ＝203＋20.(12分)

因为203＋20<60，所以观众席内每一个观众到舞台O 处的距离都不超过60米，(13分) 答：对于任意α，上述设计方案均能符合要求．(14分) 【问题探究，变式训练】 题型一 设计中的最值问题

知识点拨：设计中的问题往往是确定点的位置或者长度的问题，遇到这种问题就是转化为数学问题，是否成立，关键要注意定义域，所求的值是否在定义域内，或者是否合理。

例1、(2019泰州期末）如图，三个小区分别位于扇形OAB 的三个顶点上，点Q 是弧AB ︵

的中点．现欲在线段OQ 上找一处开挖工作坑P(不与点O ，Q 重合)，为小区铺设三条地下电缆管线PO ，PA ，PB.已知OA ＝2千米，∠AOB ＝π

3

.记∠APQ ＝θrad ，地下电缆管线的总长度为y 千米．

(1) 将y 表示为θ的函数，并写出θ的范围；

(2) 请确定工作坑P 的位置，使地下电缆管线的总长度最小．

规范解答 (1) 因为点Q 是弧AB 的中点，所以∠AOP ＝π

6

，PA ＝PB ，因为∠APQ ＝θ，所以∠APO ＝

π－θ，∠PAO ＝θ－π

6，

在△OPA 中，由正弦定理，得PA sin π6＝OA sin （π－θ）＝OP

sin ⎝⎛⎭⎫θ－π6，

即

PA 12＝2sin （π－θ）＝OP

sin ⎝

⎛⎭⎫θ－π6， 所以PA ＝1sin θ，OP ＝2sin ⎝⎛⎭⎫θ－π

6sin θ

，(4分)

所以y ＝PO ＋PA ＋PB ＝2sin ⎝⎛⎭⎫θ－π

6sin θ＋1sin θ＋1

sin θ＝2－cos θsin θ＋3，θ∈⎝⎛⎭⎫π6，7π12.(7分)

(2) 因为y ＝2－cos θsin θ

＋3，θ∈⎝⎛⎭⎫π6，7π

12，

所以y′＝

1－2cos θsin 2θ

，令y′＝0，得θ＝π

3，(10分) 当θ∈⎝⎛⎭⎫π6，π3时，y ′<0，当θ∈⎝⎛⎭

⎫π3，7π

12时，y ′>0，

所以当θ＝π

3时，y 有极小值，且是最小值，此时OP ＝2sin

π

6sin π

3＝233.(13分)

答：(1) y ＝2－cos θsin θ

＋3，θ∈⎝⎛⎭⎫π6，7π

12.

(2) 当OP 为23

3

千米时，地下电缆管线的总长度最小．(14分)