2013真题数二答案

2013年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题答案
一、选择题:1～8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合 题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. 1、设cos 1sin ()x x x α-=⋅，()2
x π
α<，当0x →时，()x α（ ）
（A ）比x 高阶的无穷小 （B ）比x 低阶的无穷小
（C ）与x 同阶但不等价的无穷小 （D ）与x 是等价无穷小 【答案】（C ）
【考点】同阶无穷小 【难易度】★★
【详解】解析：cos 1sin ()x x x α-=⋅Q ，21cos 12
x x --
: 21sin ()2x x x α∴⋅-:，即1
sin ()2x x α-:
∴当0x →时，()0x α→，sin ()()x x αα:
1
()2
x x α∴-:，即()x α与x 同阶但不等价的无穷小，故选（C ）.
2、已知()y f x =由方程cos()ln 1xy y x -+=确定，则2lim [()1]n n f n
→∞
-=（ ）
（A ）2 （B ）1 （C ）-1 （D ）-2 【答案】（A ）
【考点】导数的概念；隐函数的导数 【难易度】★★
【详解】解析：当0x =时，1y =.
002()1
2(2)1(2)(0)
lim [()1]lim lim 2lim 2(0)12n n x x f f x f x f n n f f n x x
n
→∞→∞→→---'-==== 方程cos()ln 1xy y x -+=两边同时对x 求导，得
1
sin()()10xy y xy y y
''-++
⋅-= 将0x =，1y =代入计算，得 (0)(0)1y f ''== 所以，2lim [()1]2n n f n
→∞
-=，选（A ）.
3、设sin [0,)
()2[,2]
x f x πππ⎧=⎨
⎩，0
()()x F x f t dt =⎰，则（ ）
（A ）x π=为()F x 的跳跃间断点 （B ）x π=为()F x 的可去间断点 （C ）()F x 在x π=处连续不可导 （D ）()F x 在x π=处可导
【答案】（C ）
【考点】初等函数的连续性；导数的概念 【难易度】★★
【详解】解析：20
2
(0)sin sin sin 2F tdt tdt tdt ππ
π
ππ-=
=+=⎰
⎰⎰Q ，(0)2F π+=，
(0)(0)F F ππ∴-=+，()F x 在x π=处连续.
()()()lim 0x
x f t dt f t dt
F x π
π
ππ
-
-→-'==-⎰
⎰Q ，0
()()()lim 2x
x f t dt f t dt
F x π
π
ππ
+
+→-'==-⎰
⎰，
()()F F ππ-+''≠，故()F x 在x π=处不可导.选（C ）.
4、设函数1111(1)
()1ln x e x f x x e x x
αα-+⎧
<<⎪-⎪=⎨⎪≥⎪⎩，若反常积分1
()f x dx +∞⎰收敛，则（ ）
（A ）2α<- （B ）2α> （C ）20α-<< （D ）02α<<
【答案】（D ）
【考点】无穷限的反常积分 【难易度】★★★ 【详解】解析：1
1()()()e e
f x dx f x dx f x dx +∞
+∞
=+⎰
⎰⎰
由
1
()f x dx +∞
⎰
收敛可知，1
()e
f x dx ⎰与()e
f x dx +∞
⎰
均收敛.
11
1
1()(1)e
e
f x dx dx x α-=-⎰
⎰
，1x =是瑕点，因为111
(1)
e dx x α--⎰收敛，所以112αα-<⇒< 111()(ln )
ln e
e
e
f x dx dx x x x ααα
+∞
+∞
+∞
-+==-⎰
⎰
，要使其收敛，则0α>
所以，02α<<，选D.
5、设()y
z f xy x
=
，其中函数f 可微，则
x z z y x y ∂∂+=∂∂（ ） （A ）2()yf xy ' （B ）2()yf xy '- （C ）2()f xy x （D ）2
()f xy x
- 【答案】（A ）
【考点】多元函数的偏导数 【难易度】★★
【详解】解析：22()()z y y f xy f xy x x x ∂'=-+∂，1
()()z f xy yf xy y x ∂'=+∂ 221
[()()][()()]x z z x y y f xy f xy f xy yf xy y x y y x x x
∂∂''∴+=-+++∂∂ 11
()()()()2()f xy yf xy f xy yf xy yf xy x x
'''=-
+++=，故选（A ）.
6、设k D 是圆域{}
22(,)1D x y x y =+≤位于第k 象限的部分，记
()(1,2,3,4)k
k D I y x dxdy k =-=⎰⎰，则（ ）
（A ）10I > （B ）20I > （C ）30I > （D ）40I > 【答案】（B ）
【考点】二重积分的性质；二重积分的计算 【难易度】★★
【详解】解析：根据对称性可知，130I I ==.
2
2()0D I y x dxdy =->⎰⎰（Q 0y x ->）
，4
4()0D I y x dxdy =-<⎰⎰（Q 0y x -<） 因此，选B.
7、设A 、B 、C 均为n 阶矩阵，若AB=C ，且B 可逆，则（ ） （A ）矩阵C 的行向量组与矩阵A 的行向量组等价 （B ）矩阵C 的列向量组与矩阵A 的列向量组等价 （C ）矩阵C 的行向量组与矩阵B 的行向量组等价 （D ）矩阵C 的列向量组与矩阵B 的列向量组等价 【答案】（B ）
【考点】等价向量组 【难易度】★★
【详解】解析：将矩阵A 、C 按列分块，1(,,)n A αα=L ，1(,,)n C γγ=L
由于AB C =，故111111(,,)(,,)n n n n nn b b b b ααγγ⎛⎫
⎪
=
⎪ ⎪⎝⎭
L L M M L L 即1111111,,n n n n nn n b b b b γααγαα=++=++L L L 即C 的列向量组可由A 的列向量组线性表示.
由于B 可逆，故1
A C
B -=，A 的列向量组可由
C 的列向量组线性表示，故选（B ）.
8、矩阵1111a a b a a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭与20000000b ⎛⎫
⎪
⎪ ⎪⎝⎭
相似的充分必要条件是（ ）
（A ）0,2a b == （B ）0,a b =为任意常数 （C ）2,0a b == （D ）2,a b = 为任意常数
【答案】（B ）
【考点】矩阵可相似对角化的充分必要条件 【难易度】★★
【详解】解析：题中所给矩阵都是实对称矩阵，它们相似的充要条件是有相同的特征值.
由20000000b ⎛⎫ ⎪ ⎪
⎪
⎝⎭
的特征值为2，b ，0可知，矩阵1111a A a b a a ⎛⎫ ⎪
= ⎪ ⎪⎝⎭的特征值也是2，b ，0.
因此，2
21
111
22022401
1
20
a a E A a
b a b a a a a
a
-----=---=---=-=---0a ⇒= 将0a =代入可知，矩阵10100101A b ⎛⎫ ⎪
= ⎪ ⎪⎝⎭
的特征值为2，b ，0.
此时，两矩阵相似，与b 的取值无关，故选（B ）.
二、填空题：9～14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸．．．
指定位置上. 9、1
0ln(1)lim(2)x x x x
→+-
= . 【答案】12
e
【考点】两个重要极限 【难易度】★★ 【详解】解析：
01
1
ln(1)1ln(1)1ln(1)
1ln(1)
1(1)
(1)lim (1)
000
ln(1)ln(1)
lim(2)lim[1(1)]lim x x x x x x
x x x
x x
x
x
x x x x x e
e
x x
→++++-⋅-⋅-⋅-→→→++-=+-==
其中，2
00001
11ln(1)ln(1)11lim
(1)lim lim lim 22(1)2
x x x x x x x x x x x x x x x →→→→-
+-++⋅-====+
故原式=12
e
10
、设函数()x
f x -=
⎰
，则()y f x =的反函数1()x f y -=在0y =处的导数
y dx dy
== .
【考点】反函数的求导法则；积分上限的函数及其导数 【难易度】★★
【详解】解析：由题意可知，(1)0f -=
1
()y x dy dx dx dx
f x dx dy dy dy
==-'=
=⇒=⇒=
=
.
11、设封闭曲线L 的极坐标方程方程为cos3()6
6
r π
π
θθ=-≤≤
，则L 所围平面图形的面积
是 . 【答案】
12
π 【考点】定积分的几何应用—平面图形的面积 【难易度】★★ 【详解】解析： 面积622666
000
611cos 61sin 6()cos 3()222612S r d d d π
πππ
πθθπθθθθθθ-+====+=⎰⎰⎰
12
、曲线arctan ,
ln x t y =⎧⎪⎨=⎪⎩1t =点处的法线方程为 .
【答案】ln 204
y x π
+--
=
【考点】由参数方程所确定的函数的导数
【难易度】★★★
【详解】解析：由题意可知，
1
2//1dy dy dt t dx dx dt
t
-===+，故11t dy dx ==
曲线对应于1t =点处的法线斜率为1
11
k -==-. 当1t =时，4
x π
=
，ln 2y =.
法线方程为ln 2()4
y x π
-=--，即ln 204
y x π
+--
=.
13、已知321x x y e xe =-，22x x y e xe =-，23x
y xe =-是某二阶常系数非齐次线性微分方程的3
个解，则该方程满足条件00x y ==，01x y ='=的解为y = . 【答案】32x
x x y e
e xe =--
【考点】简单的二阶常系数非齐次线性微分方程 【难易度】★★
【详解】解析：312x x
y y e e -=-，23x y y e -=是对应齐次微分方程的解.
由分析知，*2x
y xe =-是非齐次微分方程的特解. 故原方程的通解为3212()x
x x x y C e
e C e xe =-+-，12,C C 为任意常数.
由00x y ==，01x y ='=可得 11C =，20C =. 通解为32x
x x y e
e xe =--.
14、设()ij A a =是3阶非零矩阵，A 为A 的行列式，ij A 为ij a 的代数余子式，若
0(,1,2,3)ij ij a A i j +==，则A = .
【答案】-1
【考点】伴随矩阵 【难易度】★★★
【详解】解析：**0T T
ij ij ij ij a A A a A A AA AA A E +=⇒=-⇒=-⇒=-= 等式两边取行列式得23
0A A A -=⇒=或1A =- 当0A =时，00T
AA A -=⇒=（与已知矛盾） 所以1A =-.
三、解答题：15～23小题,共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15、（本题满分10分）
当0x →时，1cos cos2cos3x x x -⋅⋅与n
ax 为等价无穷小，求n 和a 的值. 【考点】等价无穷小；洛必达法则 【难易度】★★★
【详解】解析：00cos6cos 4cos 21
11cos cos 2cos34lim lim n n x x x x x x x x ax ax
→→+++-
-⋅⋅= 1003cos6cos 4cos 26sin 64sin 42sin 2lim lim 44n n x x x x x x x x
ax anx
-→→---++== 2
036cos 616cos 44cos 2lim
4(1)n x x x x
an n x -→++=-
故20n -=，即2n =时，上式极限存在. 当2n =时，由题意得
001cos cos 2cos336cos616cos 44cos 236164
lim
lim 188n x x x x x x x x ax a a
→→-⋅⋅++++==== 7a ⇒= 2,7n a ∴==
16、（本题满分10分）
设D 是由曲线13
y x =，直线x a =(0)a >及x 轴所围成的平面图形，x V ，y V 分别是D 绕x 轴，y 轴旋转一周所得旋转体的体积，若10y x V V =，求a 的值. 【考点】旋转体的体积 【难易度】★★
【详解】解析：根据题意，1
552
33300
3
3()5
5
a a
x V x dx x
a πππ===⎰ 1
77
3
330
66
277a
a
y V x x dx x a πππ=⋅==⎰
.
因10y x V V =
，故75
3
3631075
a a a ππ=⨯⇒=
17、（本题满分10分）
设平面区域D 由直线3x y =，3y x =，8x y +=围成，求2D
x dxdy ⎰⎰
【考点】利用直角坐标计算二重积分 【难易度】★★
【详解】解析：根据题意 3286y x x x y y ==⎧⎧⇒⎨⎨+==⎩⎩，16
32
8x y x y x y ⎧
==⎧⎪⇒⎨⎨
=⎩⎪+=⎩
故
2
3682
2
2
2
3
3
x
x
x x
D
x dxdy dx x dy dx x dy -=+⎰⎰⎰
⎰⎰⎰26
43402
28132416()12833333x x x =+-=+=
18、（本题满分10分）
设奇函数()f x 在[1,1]-上具有二阶导数，且(1)1f =，证明： （Ⅰ）存在(0,1)ξ∈，使得()1f ξ'=； （Ⅱ）存在(1,1)η∈-，使得()()1f f ηη'''+=. 【考点】罗尔定理 【难易度】★★★
【详解】解析：（Ⅰ）由于()f x 在[1,1]-上为奇函数，故(0)0f =
令()()F x f x x =-，则()F x 在[0,1]上连续，在(0,1)上可导，且(1)(1)10F f =-=，
(0)(0)00F f =-=.由罗尔定理，存在(0,1)ξ∈，使得()0F ξ'=，即()1f ξ'=.
（Ⅱ）考虑()()1(()())(())x
x
x
x
f x f x e f x f x e e f x e ''''''''+=⇔+=⇔=
[()]0x x e f x e ''⇔-=
令()()x
x
g x e f x e '=-，由于()f x 是奇函数，所以()f x '是偶函数，由（Ⅰ）的结论可知，
()()1f f ξξ''=-=，()()0g g ξξ⇒=-=.由罗尔定理可知，存在(1,1)η∈-，使得()0g η'=，
即()()1f f ηη'''+=.
19、（本题满分10分）
求曲线3
3
1(0,0)x xy y x y -+=≥≥上的点到坐标原点的最长距离和最短距离. 【考点】拉格朗日乘数法 【难易度】★★★
【详解】解析：设(,)M x y
为曲线上一点，该点到坐标原点的距离为d =构造拉格朗日函数 2
2
3
3
(1)F x y x xy y λ=++-+-
由22
33
2(3)02(3)010
x y F x x y F y y x F x xy y λλλ'⎧=+-=⎪'=+-=⎨⎪'=-+-=⎩ 得 11x y =⎧⎨=⎩
点(1,1)
到原点的距离为d ==
，然后考虑边界点，即(1,0)，(0,1)，它们到原点的
距离都是1.
，最短距离为1. 20、（本题满分11分） 设函数1
()ln f x x x
=+
（Ⅰ）求()f x 的最小值； （Ⅱ）设数列{}n x 满足1
1
ln 1n n x x ++
<，证明lim n n x →∞存在，并求此极限.
【考点】函数的极值；单调有界准则
【难易度】★★★
【详解】解析：（Ⅰ）由题意，1()ln f x x x =+，0x >22111
()x f x x x x
-'⇒=-= 令()0f x '=，得唯一驻点1x =
当01x <<时，()0f x '<；当1x >时，()0f x '>.
所以1x =是()f x 的极小值点，即最小值点，最小值为(1)1f =. （Ⅱ）由（Ⅰ）知1ln 1n n x x +≥，又由已知11ln 1n n x x ++<，可知1
11
n n x x +>，即1n n x x +> 故数列{}n x 单调递增.
又由1
1
ln 1n n x x ++
<，故ln 10n n x x e <⇒<<，所以数列{}n x 有上界. 所以lim n n x →∞
存在，设为A.
在11ln 1n n x x ++
<两边取极限得 1
ln 1A A +≤ 在1ln 1n n x x +
≥两边取极限得 1
ln 1A A
+≥ 所以1
ln 11A A A
+
=⇒=即lim 1n n x →∞=.
21、（本题满分11分） 设曲线L 的方程为211
ln (1)42
y x x x e =
-≤≤满足 （Ⅰ）求L 的弧长；
（Ⅱ）设D 是由曲线L ，直线1x =，x e =及x 轴所围平面图形，求D 的形心的横坐标. 【考点】定积分的几何应用—平面曲线的弧长；定积分的物理应用—形心 【难易度】★★★ 【详解】解析：（Ⅰ）设弧长为S ，由弧长的计算公式，得
1
1
11S ====⎰
⎰
⎰⎰
2211
11111()(ln )22424e
e
e x dx x x x +=+=+=
⎰ （Ⅱ）由形心的计算公式，得
2211
1
ln 2421
00
111ln 242100
11
(ln )4211(ln )42
e
x x D e
x x D xdxdy
x x x dx dx xdy x dxdy x x dx dx dy ---===-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 422423
311111()
3(23)16164221114(7)12122
e e e e e e e ---+--==---. 22、（本题满分11分）
设110a A ⎛⎫=
⎪
⎝⎭
，011B b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，当,a b 为何值时，存在矩阵C 使得AC CA B -=，并求所有矩阵C.
【考点】非齐次线性方程组有解的充分必要条件 【难易度】★★★
【详解】解析：由题意可知矩阵C 为2阶矩阵，故可设1234x x C x x ⎛⎫
=
⎪⎝⎭
.由AC CA B -=可得 121
2343
4101011011x x x x a x x x x b b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 整理后可得方程组23124
134
230
11x ax ax a ax x x x x ax b
-+=⎧⎪-++=⎪⎨--=⎪⎪-=⎩ ① 由于矩阵C 存在，故方程组①有解.对①的增广矩阵进行初等行变换：
010010
11
11
011
110101000
1001011101010
00010100
0a a a a a
a a a a
b b b -----⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪--- ⎪ ⎪ ⎪
→→ ⎪ ⎪ ⎪
---++
⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭
方程组有解，故10a +=，0b =，即1a =-，0b =.
当1a =-，0b =时，增广矩阵变为101110
11000000000000--⎛⎫
⎪
⎪
⎪
⎪
⎝⎭
34,x x 为自由变量，令341,0x x ==，代入相应齐次方程组，得211,1x x =-=
令340,1x x ==，代入相应齐次方程组，得210,1x x ==
故1(1,1,1,0)T ξ=-，2(1,0,0,1)T ξ=，令340,0x x ==，得特解(1,0,0,0)T
η= 方程组的通解为112212112(1,,,)T
x k k k k k k k ξξη=++=++-（12,k k 为任意常数）
所以121121k k k C k k ++-⎛⎫
=
⎪⎝
⎭.
23、（本题满分11分）
设二次型2
123112233112233(,,)2()()f x x x a x a x a x b x b x b x =+++++，记123a a a α⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，123b b b β⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭
（Ⅰ）证明二次型f 对应的矩阵为2T T
ααββ+；
（Ⅱ）若,αβ正交且均为单位向量，证明f 在正交变换下的标准形为22
122y y +
【考点】二次型的矩阵表示；用正交变换化二次型为标准形；矩阵的秩 【难易度】★★★ 【详解】解析：（Ⅰ）证明：
2123112233112233(,,)2()()f x x x a x a x a x b x b x b x =+++++
1111123212321232123233332(,,)(,,)(,,)(,,)a x b x x x x a a a a x x x x b b b b x a x b x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪ ⎪
=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
112323(,,)(2)T T T x x x x x x Ax x ααββ⎛⎫
⎪
=+= ⎪ ⎪⎝⎭
，其中2T T A ααββ=+
所以二次型f 对应的矩阵为2T
T
ααββ+. （Ⅱ）由于,αβ正交，故0T
T αβαβ== 因,αβ
均为单位向量，故
1α==，即1T αα=.同理1T ββ=
2(2)22T T T T T T A A ααββαααββααααββαα=+⇒=+=+=
由于0α≠，故A 有特征值12λ=.
(2)T T A βααββββ=+=，由于0β≠，故A 有特征值21λ=
又因为()(2)(2)()()()1123T T T T T T
r A r r r r r ααββααββααββ=+≤+=+=+=<， 所以0A =，故30λ=.
三阶矩阵A 的特征值为2，1，0.因此，f 在正交变换下的标准形为22
122y y +.。