高考数学一轮复习 第二章函数2.8函数的图象及其变换教

2.8 函数的图象及其变换

考纲要求

1．掌握基本初等函数的图象的特征，能熟练运用基本初等函数的图象解决问题．

2．掌握图象的作法：描点法和图象变换法．

3．会运用函数图象理解和研究函数的性质．

1．作图：作函数图象有两种基本方法

(1)描点法

其基本步骤是列表、描点、连线．

首先：

①确定函数的______；

②化简函数______；

③讨论函数的性质(_____、_____、_____、_____等)；

其次：列表(尤其注意特殊点、零点、最高点、最低点、与坐标轴的交点)；

再次：描点；

最后：连线．

(2)图象变换法

①平移变换

左右平移：y＝f(x±a)(a＞0)的图象，可由y＝f(x)的图象向____(＋)或向____(－)平移____个单位而得到．

上下平移：y＝f(x)±b(b＞0)的图象，可由y＝f(x)的图象向____(＋)或向____(－)平移____个单位而得到．

②对称变换

y＝f(－x)与y＝f(x)的图象关于____对称．

y＝－f(x)与y＝f(x)的图象关于____对称．

y＝－f(－x)与y＝f(x)的图象关于____对称．

要得到y＝|f(x)|的图象，可将y＝f(x)的图象在x轴下方的部分以x轴为对称轴翻折到x轴上方，其余部分不变而得到．

要得到y＝f(|x|)的图象，可将y＝f(x)，x≥0的部分作出，再利用偶函数的图象关于____的对称性，作出x＜0的图象而得到．

③伸缩变换

y＝Af(x)(A＞0)的图象，可将y＝f(x)图象上所有点的纵坐标变为原来的____倍，横坐标不变而得到．

y＝f(ax)(a＞0)的图象，可将y＝f(x)图象上所有点的横坐标变为________，纵坐标不变而得到．

2．有关函数图象的几个结论

(1)若f(a＋x)＝f(b－x)，x∈R恒成立，则y＝f(x)的图象关于______成轴对称图形；

(2)函数y＝f(a＋x)与函数y＝f(b－x)的图象关于直线______对称．

(3)若定义在R上的函数f(x)关于直线x＝a与x＝b(b＞a)都对称，则f(x)为周期函数，______是它的一个周期(未必是最小正周期，下同)．

(4)若定义在R上的函数关于点(a，c)和(b，c)(b＞a)都成中心对称，则f(x)为周期函数，______是它的一个周期．

(5)若定义在R上的函数f(x)的图象关于点(a，c)成中心对称，又关于直线x＝b(b＞a)成轴对称，则f(x)是周期函数，______是它的一个周期．

1．函数y＝lg |x－1|的图象大致为( )．

2．当0＜a ＜1时，在同一坐标系中，函数y ＝a －x

与y ＝log a x 的图象是( )．

3．定义运算a ⊕b ＝⎩

⎪⎨

⎪⎧

a ，a ≤

b ，

b ，a >b ，则函数f (x )＝1⊕2x

的图象大致为( )．

4．为了得到函数y ＝3×⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 的图象，可以把函数y ＝⎝ ⎛⎭

⎪⎫13x

的图象向__________平移

__________个单位长度．

5．若函数y ＝f (x )的图象过点(1,1)，则函数f (4－x )的图象一定经过点__________．

一、作函数的图象

【例1】作出下列函数的图象．

(1)y ＝2x ＋2

；

(2)y ＝

x ＋2

x －1

； (3)y ＝⎝ ⎛⎭

⎪⎫12|x |

；

(4)y ＝|log 2x －1|. 方法提炼

画函数图象的一般方法有：

(1)直接法：当函数表达式(或变形后的表达式)是基本函数或函数图象是解析几何中熟悉的曲线(如圆、椭圆、双曲线、抛物线的一部分)时，就可根据这些函数或曲线的特征直接作出．

(2)图象变换法：若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称得到，可利用图象变换作出，但要注意变换顺序，对不能直接找到基本函数的要先变形，并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响．

(3)描点法：当上面两种方法都失效时，则可采用描点法．为了通过描少量点，就能得到比较准确的图象，常常需要结合函数的单调性、奇偶性等性质讨论．

提醒：对于左、右平移变换，往往容易出错，在实际判断中可熟记口诀：左加右减；但要注意加、减指的是在自变量上，否则不成立．

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二、函数图象与解析式的对应关系

【例2－1】(2012山东高考)函数y ＝cos 6x

2x －2

－x 的图象大致为( )．

【例2－2】f (x )是定义在区间[－c ，c ](c ＞2)上的奇函数，其图象如图所示．令g (x )＝af (x )＋b ，则下列关于函数g (x )的叙述正确的是( )．

A ．若a ＜0，则函数g (x )的图象关于原点对称

B ．若a ＝1,0＜b ＜2，则方程g (x )＝0有大于2的实根

C ．若a ＝－2，b ＝0，则函数g (x )的图象关于y 轴对称

D ．若a ≠0，b ＝2，则方程g (x )＝0有三个实根 方法提炼

寻找图象与函数解析式之间的对应关系的方法： 1．知图选式：

(1)从图象的左右、上下分布，观察函数的定义域、值域； (2)从图象的变化趋势，观察函数的单调性； (3)从图象的对称性方面，观察函数的奇偶性； (4)从图象的循环往复，观察函数的周期性． 利用上述方法，排除、筛选错误与正确的选项． 2．知式选图：

(1)从函数的定义域，判断图象左右的位置；从函数的值域，判断图象的上下位置； (2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势； (3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性； (4)从函数的周期性，判断图象的循环往复． 利用上述方法，排除、筛选错误与正确的选项．

提醒：注意联系基本函数图象的模型，当选项无法排除时，代特殊值，或从某些量上也能寻找突破口．

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三、函数图象的应用 【例3－1】已知函数f (x )＝2x

－a

2

x .将y ＝f (x )的图象向右平移两个单位，得到y ＝g (x )

的图象．

(1)求函数y ＝g (x )的解析式；

(2)若函数y ＝h (x )与函数y ＝g (x )的图象关于直线y ＝1对称，求函数y ＝h (x )的解析式．

【例3－2】若关于x 的方程|x 2

－4x ＋3|－a ＝x 至少有三个不相等的实数根，试求实数a 的取值范围．

方法提炼

1．利用函数的图象研究函数的性质，一定要注意其对应关系，如：图象的左右范围对应定义域，上下范围对应值域；上升、下降趋势对应单调性、对称性对应奇偶性；

2．有关方程解的个数问题常常转化为两个熟悉的函数的交点个数；利用此法也可由解的个数求参数值；

3．有关不等式的问题常常转化为两函数图象的上、下关系来解．

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对端点(关键点)处理不当易致误

【典例】(2012课标全国高考)当0＜x ≤12时，4x

＜log a x ，则a 的取值范围是( )．

A ．⎝

⎛⎭⎪⎫0，

22 B ．⎝ ⎛⎭

⎪⎫22，1 C ．(1，2) D ．(2，2)

解析：由0＜x ≤12，且log a x ＞4x

＞0，可得0＜a ＜1，

由1

2

4＝log a 12可得a ＝2

2.

令f (x )＝4x ，g (x )＝log a x ，若4x

＜log a x ，

则说明当0＜x ≤12时，f (x )的图象恒在g (x )图象的下方(如下图所示)，此时需a ＞2

2

.