22版：空间几何体及其表面积、体积（步步高）

所以 S△BCG＝12×1× 22＝ 42，
V1＝VBCG－ADM＝S△BCG·AB＝ 42，
V2＝2VF－BCG＝2×13S△BCG·GF＝2×13× 42×12＝122，
所以
V＝V1＋V2＝
2 3.
题型三 与球有关的切、接问题
多维探究
命题点1 简单几何体的外接球 例5 (八省联考)圆台上、下底面的圆周都在一个直径为10的球面上，其 上、下底面半径分别为4和5，则该圆台的体积为__6_1_π_.
题组三 易错自纠 5.用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图 为如图所示的一个正方形，则原来的图形是
√
解析 由直观图可知，在直观图中多边形为正方形，对角线长为 2， 所以原图形为平行四边形，位于 y 轴上的对角线长为 2 2.
6.下面图形都是由六个全等的小正方形组成，其中可以折成正方体的是
微思考
1.如何求旋转体的表面积？ 提示 求旋转体的侧面积时需要将曲面展开为平面图形计算，而表面积 是侧面积与底面积之和. 2.柱体、锥体、台体体积之间有什么关系？ 提示
基础自测
题组一 思考辨析 1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱.( × ) (2)用一个平行于底面的平面截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台.( √ ) (3)棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形.( × )
A1B1C1D1的内切球，则平面ACD1截球O的截面面积为
6π A. 6
Βιβλιοθήκη Baiduπ B.3
√C.π6
3π D. 3
解析 平面ACD1，截球O的截面为△ACD1的内切圆， ∵正方体棱长为1，
∴AC＝CD1＝AD1＝ 2.
∴内切圆半径
r＝tan
30°·AE＝
33×
22＝
6 6.
∴S＝πr2＝π×16＝π6.
拓展视野 寻找球心解决与球有关的问题 空间几何体外接球问题的处理关键是确定球心及半径，常见的求解方法 有如下几种： (1)涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体的特殊点 (一般为接、切点)或线作截面，把空间问题转化为平面问题求解. (2)若球面上四点P，A，B，C构成的三条线段PA，PB，PC两两垂直，且 PA＝a，PB＝b，PC＝c，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方 体，根据4R2＝a2＋b2＋c2求解. (3)利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的 几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与该几何体已 知量的关系，列方程(组)求解.
名称
圆柱
圆锥
圆台
球
图形
母线
互相平行且相等， _垂_直__于底面
相交于_一__点__
延长线交于 _一__点__
轴截面
全等的_矩__形__
全等的_等__腰__ 全等的_等__腰__
_三__角__形__
_梯__形__
侧面展开图
_矩__形__
_扇__形__
_扇__环__
_圆__面__
3.直观图 斜二测画法：(1)原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中x′轴、y′轴 的夹角为 45°或135° ，z′轴与x′轴和y′轴所在平面 垂直 ． (2)原图形中平行于坐标轴的线段在直观图中仍 平行于坐标轴 ，平行于x轴 和z轴的线段在直观图中保持原长度 不变 ，平行于y轴的线段在直观图中 长度为 原来的一半 ．
命题点2 简单几何体的内切球 例6 (2020·全国Ⅲ)已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内 半径最大的球的体积为__3_2_π__.
解析 圆锥内半径最大的球即为圆锥的内切球，设其半径为r.
作出圆锥的轴截面PAB，如图所示，
则△PAB的内切圆为圆锥的内切球的大圆.
在△PAB中，PA＝PB＝3，D为AB的中点，AB＝2，E为切点，
跟踪训练2 (1)(2018·全国Ⅰ)已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1，
O2，过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该
圆柱的表面积为
A.12 2π
√B.12π
C.8 2π
D.10π
解析 设圆柱的轴截面的边长为x， 则由 x2＝8，得 x＝2 2， ∴S 圆柱表＝2S 底＋S 侧＝2×π×( 2)2＋2π× 2×2 2＝12π.
则 PD＝2 2，△PEO∽△PDB，
故PPOB＝ODEB，即2 23－r＝1r，
解得 r＝ 22，
故内切球的体积为43π
223＝
2 3 π.
思维升华
“切”的问题处理规律 (1)找准切点，通过作过球心的截面来解决. (2)体积分割是求内切球半径的通用方法.
跟踪训练3 (1)已知三棱锥S－ABC的三条侧棱两两垂直，且SA＝1，SB
4.多面体的表面积、侧面积 因为多面体的各个面都是平面，所以多面体的侧面积就是所有侧面的面 积之和，表面积是侧面积与底面面积之和.
5.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式
圆柱
圆锥
圆台
侧面展开图
侧面积公式
S圆柱侧＝_2_π_r_l_
S圆锥侧＝_π_r_l S圆台侧＝_π_(_r_1＋__r_2_)l_
解析 由题意知，侧面展开图的弧长为 5×85π＝8π， 设圆锥底面圆的半径为r， 则8π＝2πr， ∴r＝4，∴圆锥高 h＝ 52－42＝3， ∴体积为13×π×42×3＝16π.
4.一个长方体的顶点都在球面上，且长方体的棱长分别为1，2，3，则球 的表面积为_1_4_π__.
解析 设球的半径为 R，则 2R＝ 12＋22＋32＝ 14， 则 R＝ 214. ∴S＝4πR2＝4π×144＝14π.
2＋ 2 C. 2
D.1＋ 2
解析 恢复后的原图形为一直角梯形，其上底为 1，下底为 1＋ 2，高为 2， 所以 S＝12(1＋ 2＋1)×2＝2＋ 2.
(2)(2020·安庆模拟)如图，正三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱 长为a，底面边长为b，一只蚂蚁从点A出发沿每个侧面爬
到A1，路线为A→M→N→A1，则蚂蚁爬行的最短路程是
(2)如图，在多面体ABCDEF中，已知四边形ABCD是
边长为1的正方形，且△ADE，△BCF均为正三角形， 2
EF∥AB，EF＝2，则该多面体的体积为__3___.
解析 如图，过BC作与EF垂直的截面BCG，作平面
ADM∥平面BCG，取BC的中点O，连接GO，FO，
由题意可得 FO＝ 23，FG＝12，所以 GO＝ FO2－FG2＝ 22，
第七章 立体几何与空间向量
大一轮复习讲义
考试要求
1.认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些 特征描述现实生活中简单物体的结构.
2.能用斜二测画法画出简单空间图形的直观图. 3.了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式．
内容 索引
主干梳理 基础落实
题型突破 核心探究
课时精练
因为 OE＝ 22－1＝1，
所以 O′E′＝12，E′F＝ 42，
则直观图
A′B′C′D′的面积
S′＝1＋2 3×
42＝
2 2.
命题点2 展开图 例2 (2020·浙江)已知圆锥的侧面积(单位：cm2)为2π，且它的侧面展开 图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径(单位：cm)是__1__.
解析 如图，设圆锥的母线长为l，底面半径为r， 则圆锥的侧面积S侧＝πrl＝2π， ∴r·l＝2. 又圆锥侧面展开图为半圆，
命题点2 体积 例4 (2020·新高考全国Ⅱ)棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N 分别为棱BB1，AB的中点，则三棱锥A1－D1MN的体积为__1__.
解析 如图，由正方体棱长为2，
得S△A1MN ＝2×2－2×12×2×1－12×1×1＝32，
又易知D1A1为三棱锥D1－A1MN的高，且D1A1＝2，
解析 截面图如图所示，下底面半径为5，圆周直径为10.
则圆台的下底面位于圆周的直径上，OC＝OB＝5， O′C＝4，∠OO′C＝π2， 则圆台的高为 3，V＝13h(S1＋ S1S2＋S2)＝25π＋16π＋20π＝61π.
思维升华
(1)求解多面体的外接球时，经常用到截面图.如图所示， 设球O的半径为R，截面圆O′的半径为r，M为截面圆 上任意一点 ，球心O到截面圆O′的距离为d，则在 Rt△OO′M中，OM2＝OO′2＋O′M2，即R2＝d2＋r2. (2)求解球的内接正方体、长方体等问题的关键是把握球的直径即是几何 体的体对角线.
∴12πl2＝2π，
∴l＝2，∴r＝1.
思维升华
画几何体的直观图，掌握线段方向、长度两要素即可；几何体的展开图 和原几何体的关系(形状和数量关系)是解题重点.
跟踪训练1 (1)如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为
45°，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是
√A.2＋ 2
1＋ 2 B. 2
公共顶点的_三__角__形__
②每相邻两个四边形的
_截__面__和_底__面__
的多面体
公共边都互相_平__行__
之间的部分
侧棱
_平__行__且__相__等__
相交于_一__点__但不一 延长线交于
定相等
_一__点__
侧面形状
_平__行__四__边__形__
_三__角__形__
_梯__形__
2.旋转体的结构特征
∴V ＝V A1D1MN
D1 A1MN
＝13·S△ A1MN·D1A1＝13×32×2＝1.
思维升华
(1)空间几何体表面积的求法 ①旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用. ②多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意衔接部分 的处理. (2)空间几何体体积问题的常见类型及解题策略 ①直接利用公式进行求解. ②用转换法、分割法、补形法等方法进行求解.
√A. a2＋9b2
B. 9a2＋b2
C. 4a2＋9b2
D. a2＋b2
解析 正三棱柱的侧面展开图是如图所示的矩形， 矩形的长为3b，宽为a， 则其对角线AA1的长为最短路程. 因此蚂蚁爬行的最短路程为 a2＋9b2.
题型二 表面积与体积
多维探究
命题点1 表面积
例3 (2020·全国Ⅰ)已知A，B，C为球O的球面上的三个点，⊙O1为 △ABC的外接圆，若⊙O1的面积为4π，AB＝BC＝AC＝OO1，则球O的表 面积为
(4)在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线.
(×)
题组二 教材改编 2.如图，长方体ABCD－A′B′C′D′被截去一 部分，其中EH∥A′D′，剩下的几何体是
A.棱台
√C.五棱柱
B.四棱柱 D.六棱柱
3.母线长为5的圆锥的侧面展开图的圆心角等于 85π，则该圆锥的体积为 _1_6_π_.
√A.64π
B.48π
C.36π
D.32π
解析 如图，设圆O1的半径为r，球的半径为R，正三角 形ABC的边长为a. 由πr2＝4π，得r＝2， 则 33a＝2，a＝2 3，OO1＝a＝2 3. 在 Rt△OO1A 中，由勾股定理得 R2＝r2＋OO21＝22＋(2 3)2＝16，
所以S球＝4πR2＝4π×16＝64π.
√
题型突破 核心探究
TIXINGTUPO HEXINTANJIU
题型一 空间几何体
多维探究
命题点1 直观图
例1 已知等腰梯形ABCD，上底CD＝1，腰AD＝CB＝ 2，下底AB＝3， 以下底所在直线为x轴，则由斜二测画法画出的直观图A′B′C′D′的
2 面积为__2___.
解析 如图所示，作出等腰梯形ABCD的直观图.
＝SC＝2，若点P为三棱锥S－ABC的外接球的球心，则这个外接球的半 3
径是__2__.
解析 如图所示，将三棱锥补形为长方体， 则该三棱锥的外接球直径为长方体的体对角线，
设外接球半径为R， 则(2R)2＝12＋22＋22＝9， ∴4R2＝9，R＝32. 即这个外接球的半径是32.
(2) 如 图 ， 已 知 球 O 是 棱 长 为 1 的 正 方 体 ABCD －
6.柱、锥、台、球的表面积和体积
几何体
名称
柱体(棱柱和圆柱)
锥体(棱锥和圆锥)
表面积 S表面积＝S侧＋2S底 S表面积＝S侧＋S底
体积
V＝__S_h_ V＝_13_S_h__
台体(棱台和圆台) 球
S表面积＝S侧＋S上＋S下 S＝__4_π_R_2_
V＝13(S 上＋S 下＋ S上S下)h V＝_43_π_R_3_
主干梳理 基础落实
ZHUGANSHULI JICHULUOSHI
知识梳理
1.多面体的结构特征
名称
棱柱
图形
棱锥
棱台
含义
①有两个面互相_平__行__且_
用一个平行于
有一个面是_多__边__形__，
_全__等__，其余各面都是
棱锥底面的平
其余各面都是有一个
_平__行__四__边__形__.
面去截棱锥，