河南高二高中数学期末考试带答案解析

河南高二高中数学期末考试
班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________
一、选择题
1.（2015秋•河南期末）不在3x+2y ＜6表示的平面区域内的一个点是（ ） A ．（0，0） B ．（1，1） C ．（0，2）
D ．（2，0）
2.（2015秋•河南期末）已知△ABC 的三内角A ，B ，C 成等差数列，且AB=1，BC=4，则该三角形面积为（ ） A ． B ．2 C ．2 D ．4
3.（2011•广东三模）设命题甲：ax 2+2ax+1＞0的解集是实数集R ；命题乙：0＜a ＜1，则命题甲是命题乙成立的（ ）
A ．充分非必要条件
B ．必要非充分条件
C ．充要条件
D ．既非充分又非必要条件
4.（2015秋•河南期末）与圆C 1：x 2+（y+1）2=1及圆C 2：x 2+（y ﹣4）2=4都外切的动圆的圆心在（ ） A ．一个圆上 B ．一个椭圆上 C ．双曲线的一支上 D ．一条抛物线上
5.（2015秋•河南期末）已知{a n }为等比数列，S n 是它的前n 项和．若a 2•a 3=2a 1，且a 4与2a 7的等差中项为，则S 5=（ ） A ．31
B ．32
C ．33
D ．34
6.（2015秋•河南期末）如图，在平行六面体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，底面是边长为2的正方形，若
∠A 1AB=∠A 1AD=60°，且A 1A=3，则A 1C 的长为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
7.（2010•辽宁）设抛物线y 2=8x 的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，PA ⊥l ，A 为垂足．如果直线AF 的斜率为，那么|PF|=（ ）
A ．
B ．8
C ．
D ．16
8.（2015秋•河南期末）已知F 1、F 2是椭圆的两个焦点，若椭圆上存在点P 使，
则|PF 1|•|PF 2|=（ ） A ．b 2
B ．2b
2
C ．2b
D ．b
二、填空题
1.（2010•越秀区校级模拟）命题：“若a 2+b 2=0，（a ，b ∈R ），则a=0且b=0”的逆否命题是 ．
2.（2015秋•河南期末）若方程
表示椭圆，则实数m 的取值范围是 ．
3.（2015秋•河南期末）某学习小组进行课外研究性学习，为了测量不能到达的A 、B 两地，他们测得C 、D 两地的直线距离为2km ，并用仪器测得相关角度大小如图所示，则A 、B 两地的距离大约等于 （提供数据：
，结果保留两个有效数字）
4.（2010•泉山区校级模拟）设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若
= ．
5.（2015秋•河南期末）已知点P （0，1）及抛物线y=x 2+2，Q 是抛物线上的动点，则|PQ|的最小值为 ．
6.（2015秋•河南期末）关于双曲线﹣
=﹣1，有以下说法：
①实轴长为6； ②双曲线的离心率是； ③焦点坐标为（±5，0）； ④渐近线方程是y=±x ，
⑤焦点到渐近线的距离等于3．
正确的说法是 ．（把所有正确的说法序号都填上）
三、解答题
1.（2008•番禺区校级模拟）已知实数a 满足a ＞0且a≠1．命题P ：函数y=log a （x+1）在（0，+∞）内单调递减；命题Q ：曲线y=x 2+（2a ﹣3）x+1与x 轴交于不同的两点．如果“P ∨Q”为真且“P ∧Q”为假，求a 的取值范围．
2.（2015秋•河南期末）在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，
且
（1）求△ABC 的面积； （2）若a=7，求角C ．
3.（2014•肇庆模拟）广东省某家电企业根据市场调查分析，决定调整新产品生产方案，准备每周（按40个工时计算）生产空调机、彩电、冰箱共120台，且冰箱至少生产20台，已知生产这些家电产品每台所需工时和每台产值如下表：
4 3 2 问每周应生产空调机、彩电、冰箱各多少台，才能使产值最高？最高产值是多少？（以千元为单位）
4.（2015秋•河南期末）在长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，已知AB=4，AD=3，AA 1=2．E 、F 分别是线段AB 、BC 上的点，且EB=FB=1．
（Ⅰ）求二面角C ﹣DE ﹣C 1的正切值； （Ⅱ）求直线EC 1与FD 1所成的余弦值．
5.（2015秋•河南期末）已知数列{a n }满足a 1=1，a n+1=2a n +1（n ∈N *）． （Ⅰ）求数列{a n }的通项公式； （Ⅱ）证明：
．
6.（2015秋•河南期末）已知椭圆C 的中心在原点，焦点y 在轴上，焦距为
，且过点M
．
（1）求椭圆C 的方程； （2）若过点
的直线l 交椭圆C 于A 、B 两点，且N 恰好为AB 中点，能否在椭圆C 上找到点D ，使
△ABD 的面积最大？若能，求出点D 的坐标；若不能，请说明理由．
河南高二高中数学期末考试答案及解析
一、选择题
1.（2015秋•河南期末）不在3x+2y ＜6表示的平面区域内的一个点是（ ） A ．（0，0） B ．（1，1） C ．（0，2）
D ．（2，0）
【答案】D
【解析】把选项中的每个点的坐标分别代入3x+2y ，看点的坐标是否满足不等式即可
解：将点（0，0）点代入3x+2y ＜6，得0＜6，显然成立，点（0，0）在不等式表示的区域内 将点（1，1）代入3x+2y ＜6，得5＜6，显然成立，点（1，1）在不等式表示的区域内 将点（0，2）代入3x+2y ＜6，得4＜6，显然成立，点（0，2）在不等式表示的区域内 将点（2，0）代入3x+2y ＜6，得6=6，点（2，0）不在不等式表示的区域内 故选D
【考点】二元一次不等式（组）与平面区域．
2.（2015秋•河南期末）已知△ABC 的三内角A ，B ，C 成等差数列，且AB=1，BC=4，则该三角形面积为（ ）
A ．
B ．2
C ．2
D ．4
【答案】A
【解析】由A ，B ，C 成等差数列A+B+C=π可求B ，利用三角形的面积公式S=bcsinA 可求． 解：∵△ABC 三内角A ，B ，C 成等差数列，∴B=60°又AB=1，BC=4， ∴
；
故选A ．
【考点】三角形的面积公式．
3.（2011•广东三模）设命题甲：ax 2+2ax+1＞0的解集是实数集R ；命题乙：0＜a ＜1，则命题甲是命题乙成立的（ ）
A ．充分非必要条件
B ．必要非充分条件
C ．充要条件
D ．既非充分又非必要条件
【答案】B
【解析】利用充分必要条件的判断方法判断两命题的推出关系，注意不等式恒成立问题的处理方法． 解：ax 2+2ax+1＞0的解集是实数集R ①a=0，则1＞0恒成立 ②a≠0，则
，故0＜a ＜1
由①②得0≤a ＜1．即命题甲⇔0≤a ＜1．因此甲推不出乙，而乙⇒甲，因此命题甲是命题乙成立的必要非充分条件． 故选B ．
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；一元二次不等式的解法．
4.（2015秋•河南期末）与圆C 1：x 2+（y+1）2=1及圆C 2：x 2+（y ﹣4）2=4都外切的动圆的圆心在（ ） A ．一个圆上 B ．一个椭圆上
C ．双曲线的一支上
D ．一条抛物线上
【答案】C
【解析】直接利用已知圆的外切性质列出关系式，结合圆锥曲线的定义，求出圆心的轨迹，即可得出答案． 解：由已知得C 1的圆心坐标（0．﹣1），r 1=1， C 2的圆心坐标（0，4），r 2=2，
设动圆圆心M ，半径r ，则|MC 1|=r+1，|MC 2|=r+2， ∴|MC 2|﹣|MC 1|=1，
由双曲线的定义可得：动圆的圆心在双曲线的一支上． 故选C ．
【考点】双曲线的标准方程．
5.（2015秋•河南期末）已知{a n }为等比数列，S n 是它的前n 项和．若a 2•a 3=2a 1，且a 4与2a 7的等差中项为，则S 5=（ ） A ．31
B ．32
C ．33
D ．34
【答案】A
【解析】设等比数列{a n }的公比为q ，由已知可得q 和a 1的值，代入等比数列的求和公式可得． 解：设等比数列{a n }的公比为q ，
则可得a 1q•a 1q 2=2a 1，即a 4=a 1q 3=2， 又a 4与2a 7的等差中项为， 所以a 4+2a 7=，即2+2×2q 3=， 解得q=，可得a 1=16，
故S 5=
=31．
故选：A ．
【考点】等比数列的通项公式．
6.（2015秋•河南期末）如图，在平行六面体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，底面是边长为2的正方形，若
∠A 1AB=∠A 1AD=60°，且A 1A=3，则A 1C 的长为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】A
【解析】点A 1在底面的投影O 在底面正方形对角线AC 上，过A 1作A 1E ⊥AB 于E ，求出AE ，连结OE ，则OE ⊥AB ，∠EAO=45°，在Rt △AEO ，求出OC ，然后求解A 1O ，即可求解A 1C ． 解：由已知可得点A 1在底面的投影O 在底面正方形对角线AC 上， 过A 1作A 1E ⊥AB 于E ，
在Rt △AEA 1，AA 1=3，∠A 1AE=60° ∴
，连结OE ，则OE ⊥AB ，∠EAO=45°，
在Rt △AEO 中，，
在，∴
，
在
故选A ．
【考点】空间两点间的距离公式．
7.（2010•辽宁）设抛物线y 2=8x 的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，PA ⊥l ，A 为垂足．如果直线AF 的斜率为，那么|PF|=（ ）
A ．
B ．8
C ．
D ．16
【答案】B
【解析】先根据抛物线方程求出焦点坐标，进而根据直线AF 的斜率为求出直线AF 的方程，然后联立准线和直线AF 的方程可得点A 的坐标，得到点P 的坐标，根据抛物线的性质：抛物线上的点到焦点和准线的距离相等可得到答案．
解：抛物线的焦点F （2，0），准线方程为x=﹣2，直线AF 的方程为， 所以点、，从而|PF|=6+2=8 故选B ．
【考点】抛物线的简单性质；抛物线的定义．
8.（2015秋•河南期末）已知F 1、F 2是椭圆的两个焦点，若椭圆上存在点P 使，
则|PF 1|•|PF 2|=（ ）
A ．b 2
B ．2b
2
C ．2b
D ．b
【答案】B
【解析】由F 1、F 2是椭圆
的两个焦点，椭圆上存在点P ，使
，PF 1⊥PF 2，知
=|PF 1|•|PF 2|=b 2，由此能求出结果．
解：∵F 1、F 2是椭圆的两个焦点，
椭圆上存在点P ，使，
∴PF 1⊥PF 2， ∴
=|PF 1|•|PF 2|=b 2tan
=b 2，
∴|PF 1|•|PF 2|=2b 2． 故选B ．
【考点】椭圆的简单性质．
二、填空题
1.（2010•越秀区校级模拟）命题：“若a 2+b 2=0，（a ，b ∈R ），则a=0且b=0”的逆否命题是 ． 【答案】若a≠0，或b≠0（a ，b ∈R ），则a 2+b 2≠0．
【解析】根据逆否命题的形式是条件、结论同时否定并交换，写出命题的逆否命题． 解：：“若a 2+b 2=0，（a ，b ∈R ），则a=0且b=0”的逆否命题是 若a≠0，或b≠0（a ，b ∈R ），则a 2+b 2≠0，
故答案为若a≠0，或b≠0（a ，b ∈R ），则a 2+b 2≠0． 【考点】四种命题．
2.（2015秋•河南期末）若方程表示椭圆，则实数m 的取值范围是 ．
【答案】
【解析】根据题意，将方程化成椭圆的标准方程，可得关于m 的不等式组，解之即可得到实数m 的取值范围． 解：∵方程
表示椭圆，
∴将方程化为标准形式，得
可得，解之得﹣2＜m ＜﹣1且m
∴
．
故答案为：
【考点】椭圆的标准方程．
3.（2015秋•河南期末）某学习小组进行课外研究性学习，为了测量不能到达的A 、B 两地，他们测得C 、D 两地的直线距离为2km ，并用仪器测得相关角度大小如图所示，则A 、B 两地的距离大约等于 （提供数据：
，结果保留两个有效数字）
【答案】1.4km ．
【解析】在△ADC 中，可求得AC=2，在△BDC 中，利用正弦定理可求得BC ，最后在△ABC 中，利用余弦定理可求得AB ．
解：依题意，△ADC 为等边三角形， ∴AC=2；
在△BDC 中，CD=2，由正弦定理得：=
=2
，
∴BC=
；
在△ABC 中，由余弦定理得AB 2=BC 2+AC 2﹣2BC•ACcos45°=2+4﹣2××2×
=2，
∴AB=≈1.4km ． 故答案为：1.4km ． 【考点】正弦定理．
4.（2010•泉山区校级模拟）设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若= ．
【答案】1
【解析】根据等差数列的等差中项的性质，把2a 5=a 1+a 9和2a 3=a 1+a 5代入
即可求得答案．
解：===1
故答案为1
【考点】等差数列的性质；等差数列的前n 项和．
5.（2015秋•河南期末）已知点P （0，1）及抛物线y=x 2+2，Q 是抛物线上的动点，则|PQ|的最小值为 ． 【答案】1
【解析】设点Q 的坐标为（a ，a 2+2），则|PQ|2=a 4+3a 2+1，显然当a=0时，|PQ|的最小值为1． 解：设点Q 的坐标为（a ，a 2+2），则|PQ|2=a 2+（a 2+1）2=a 4+3a 2+1， 故当a 2=0，即a=0时，|PQ|2有最小值为1，故|PQ|的最小值为1， 故答案为 1．
【考点】抛物线的简单性质．
6.（2015秋•河南期末）关于双曲线﹣
=﹣1，有以下说法：
①实轴长为6； ②双曲线的离心率是； ③焦点坐标为（±5，0）； ④渐近线方程是y=±x ，
⑤焦点到渐近线的距离等于3．
正确的说法是 ．（把所有正确的说法序号都填上） 【答案】②④⑤
【解析】利用双曲线的简单性质直接求解．
解：∵双曲线﹣=﹣1，即=1，∴a=4，b=3，c==5，
∴①实轴长为2a=8，故①错误； ②双曲线的离心率是e==，故②正确； ③焦点坐标为F （0，±5），故③错误； ④渐近线方程是y=±x ，故④正确； ⑤焦点到渐近线的距离为d==3，故⑤正确．
故答案为：②④⑤．
【考点】双曲线的简单性质．
三、解答题
1.（2008•番禺区校级模拟）已知实数a 满足a ＞0且a≠1．命题P ：函数y=log a （x+1）在（0，+∞）内单调递减；命题Q ：曲线y=x 2+（2a ﹣3）x+1与x 轴交于不同的两点．如果“P ∨Q”为真且“P ∧Q”为假，求a 的取值范围． 【答案】
【解析】当P 为真命题时，根据对数型函数单调性的规律得到0＜a ＜1；根据一元二次方程根的判别式，得到当Q 为真命题时，
或
．因为“P ∨Q”为真且“P ∧Q”为假，说明命题P 、Q 中一个为真，另一个为假，最
后据此进行分类讨论，可得a 的取值范围． 解：先看命题P
∵函数y=log a （x+1）在（0，+∞）内单调递减，a ＞0，a≠1， ∴命题P 为真时⇔0＜a ＜1 再看命题Q
当命题Q 为真时，二次函数对应的一元二次方程根的判别式满足 △=（2a ﹣3）2﹣4＞0⇒
或
由“P ∨Q”为真且“P ∧Q”为假，知P 、Q 有且只有一个正确． （1）当P 正确且Q 不正确
⇒
（2）当P 不正确且Q 正确，⇒
综上所述，a 取值范围是
【考点】命题的真假判断与应用．
2.（2015秋•河南期末）在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且
（1）求△ABC 的面积； （2）若a=7，求角C ． 【答案】（1）14；（2）
【解析】（1）先求出ac ，求出sinB ，从而求出三角形的面积即可；（2）根据余弦定理计算即可． 解：（1）∵=
，∴ac=35 又∵，∴
，
∴
（2）由（1）知∴ac=35，又a=7，∴c=5 又余弦定理得，∴ 由正弦定理得，∴
又∵a ＞c ，∴
∴
【考点】余弦定理；正弦定理．
3.（2014•肇庆模拟）广东省某家电企业根据市场调查分析，决定调整新产品生产方案，准备每周（按40个工时计算）生产空调机、彩电、冰箱共120台，且冰箱至少生产20台，已知生产这些家电产品每台所需工时和每台产值如下表：
4 3 2 问每周应生产空调机、彩电、冰箱各多少台，才能使产值最高？最高产值是多少？（以千元为单位） 【答案】生产空调机10台、彩电90台、冰箱20台时，可使产值达最大值，最大产值为350千元．
【解析】设每周应生产空调、彩电、冰箱的数量分别为x 台、y 台、z 台，且总产值A=4x+3y+2z ．建立三元一次方程组，由于每周冰箱至少生产20台即z≥20，结合生产空调器、彩电、冰箱共120台算出出10≤x≤40，利用一次函数的单调性即可求得产值A 的最大值，进而可得相应的x 、y 、z 的值． 解：设每周应生产空调、彩电、冰箱的数量分别为x 台、y 台、z 台， 根据题意可得，总产值为A=4x+3y+2z ． x 、y 、z 满足
（x 、y 、z ∈N *）
∵z=120﹣x ﹣y=160﹣2x ﹣y
∴消去z ，可得y=120﹣3x ，进而得到z=2x
因此，总产值为A=4x+3y+2z=4x+3（120﹣3x ）+4x=360﹣x ∵z=2x≥20，且y=120﹣3x≥0 ∴x 的取值范围为x ∈[10，40]
根据一次函数的单调性，可得A=360﹣x ∈[320，350]
由此可得当x=10，y=90，z=20时，产值A 达到最大值为350千元．
答：生产空调机10台、彩电90台、冰箱20台时，可使产值达最大值，最大产值为350千元． 【考点】简单线性规划的应用．
4.（2015秋•河南期末）在长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，已知AB=4，AD=3，AA 1=2．E 、F 分别是线段AB 、BC 上的点，且EB=FB=1．
（Ⅰ）求二面角C ﹣DE ﹣C 1的正切值； （Ⅱ）求直线EC 1与FD 1所成的余弦值． 【答案】（Ⅰ）
；（Ⅱ）
．
【解析】（Ⅰ）以A 为原点，
分别为x 轴，y 轴，z 轴的正向建立空间直角坐标系A ﹣xyz ，写出要
用的点的坐标，设出平面的法向量的坐标，根据法向量与平面上的向量垂直，利用数量积表示出两个向量的坐标之间的关系，求出平面的一个法向量，根据两个向量之间的夹角求出结果．
（Ⅱ）把两条直线对应的点的坐标写出来，根据两个向量之间的夹角表示出异面直线的夹角． 解：（Ⅰ）以A 为原点，分别为x 轴，y 轴，z 轴的正向建立空间直角坐标系， 则有D （0，3，0）、D 1（0，3，2）、E （3，0，0）、F （4，1，0）、C 1（4，3，2）
于是，=（﹣4，2，2）
设向量与平面C 1DE 垂直，则有
cosβ=
z
∴（﹣1，﹣1，2），其中z ＞0
取DE 垂直的向量，
∵向量=（0，0，2）与平面CDE 垂直，
∴的平面角
∵cosθ=
∴tanθ=
，
∴二面角C ﹣DE ﹣C 1的正切值为；
（Ⅱ）设EC 1与FD 1所成角为β， 则cosβ=
，
∴直线EC 1与FD 1所成的余弦值为
．
【考点】用空间向量求平面间的夹角；用空间向量求直线间的夹角、距离．
5.（2015秋•河南期末）已知数列{a n }满足a 1=1，a n+1=2a n +1（n ∈N *）． （Ⅰ）求数列{a n }的通项公式； （Ⅱ）证明：
．
【答案】（Ⅰ）a n =2n ﹣1（n ∈N *）．（Ⅱ）见解析
【解析】（Ⅰ）数列的递推公式求数列的通项公式，根据等比数列的定义，只要证明a n+1+1=2（a n +1），从而可求数列{a n }的通项公式； （Ⅱ）根据数列的通项公式得
，再对其进行适当的放缩即可．
解：（Ⅰ）∵a n+1=2a n +1（n ∈N *），∴a n+1+1=2（a n +1），
∴{a n +1}是以a 1+1=2为首项，2为公比的等比数列．∴a n +1=2n ． 即a n =2n ﹣1（n ∈N *）． （Ⅱ）证明：∵，
∴．
∵
∴，
∴
．
【考点】数列与不等式的综合；数列递推式．
6.（2015秋•河南期末）已知椭圆C 的中心在原点，焦点y 在轴上，焦距为，且过点M
．
（1）求椭圆C 的方程； （2）若过点
的直线l 交椭圆C 于A 、B 两点，且N 恰好为AB 中点，能否在椭圆C 上找到点D ，使
△ABD 的面积最大？若能，求出点D 的坐标；若不能，请说明理由． 【答案】（1）
．（2）D 点的坐标为
．
【解析】（1）法一：利用椭圆的定义和参数a ，b ，c 的关系即可得出； 法二：代入椭圆的标准方程，利用待定系数法即可得出；
（2）法一：利用“点差法”，直线与椭圆相切得到△=0即可得出； 法二：联立直线与椭圆的方程，利用根与系数的关系即可得出． 解：（1）法一：依题意，设椭圆方程为
，则
，
，
∵椭圆两个焦点为
，∴2a=|MF 1|+|MF 2|=
=4，∴a=2．
∴b 2=a 2﹣c 2=1，∴椭圆C 的方程为
．
法二：依题意，设椭圆方程为，则，即，解之
得，
∴椭圆C 的方程为
．
（2）法一：设A 、B 两点的坐标分别为（x 1，y 1），（x 2，y 2），则，
…①…②
①﹣②，得
，
∴，
设与直线AB 平行且与椭圆相切的直线方程为l'：2x+y+m=0， 联立方程组
，消去y 整理得8x 2+4mx+m 2﹣4=0，
由判别式△=16m 2﹣32（m 2﹣4）=0得， 由图知，当时，l'与椭圆的切点为D ，此时△ABD 的面积最大， ∵
，∴x D =
=
，
．
∴D 点的坐标为
．
法二：设直线AB 的方程为，联立方程组，
消去y 整理得
，
设A 、B 两点的坐标分别为（x 1，y 1），（x 2，y 2），则，∴k=﹣2．
∴直线AB 的方程为
，即2x+y ﹣2=0．
（以下同法一）．
【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．。