高等数学：第五节--截痕法图示

x
（1）椭球锥面（重要）
x2 a2
y2 b2
z2
用平行于xoy面的平面
z=t载此曲面，得平面
o
z=t上的椭圆 .
x2 (at)2
y2 (bt)2
1
z y
一、椭球面
（2）椭球面（重要）
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1
椭球面与
三个坐标面 的交线：
x
2
a2
y2 b2
1,
z 0
z
x2 a2
z2 c2
z2 c2
1, z,
y2 b2
z2 c2
1, z,
x2 a2
y2 b2
1,
y,
y2 b2
z2 c2
1,
y；
5、不含与该坐标轴同名的变量；
6、 xoy 面上的双曲线x2 y2 1, y ； 4
7、 yoz 面 上的直线 z y a, z ；
8、平行于 y 轴的一条直线,与yoz 面 面平行的平面；
这样单叶双曲面可以看成是由一个椭圆的变动大小位置都改变而产生的这个椭圆在变动中xoy保持所在的平面与面平行且两对顶点分别沿着两个定双曲线2与3滑动单叶双曲面上一页下一页直纹面在建筑学上有意义直纹面在建筑学上有意义含两族直母线含两族直母线例如储水塔电视塔等建筑都有用这种结构的
8.8 二次曲面
一、椭球面 二、抛物面 三、双曲面 四、二次锥面 五、空间区域简图
y2 b2
1
z 0
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1
y2 z2 y z y z
b2
c2
( b
)( cb
)0 c
平面 x a的截痕是
两对相交直线.
单叶双曲面图形
z
xa xa
(
y b
z c
)
或
(
y b
z c
)
0
o
y
x
x a x a
(
y b
z c
或 )
(
y b
z c
)
0
这样，单叶双曲面可以看成是由一个椭圆的变动 （大小位置都改变）而产生的，这个椭圆在变动中
o
y
x 0
x
x2 y2
z
a2 b2 z
(3)
x
2
2a2 (z
t2 2b2
)
y 3.顶点
t
(0,
t,
t2 2b2
)
o
y
在另一主抛物线 (2) 上
y2 2b2z
(2) x 0
x
即: 抛物线(3)的顶点在(2)上, 开口、大小与(1)相同
且平行. 它这样移动就生成整个马鞍面(双曲抛物面
1.
x 0
(2)
x a
2 2
z2 c2
1 ,
y 0
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椭球面的几种特殊情况：
(1) a b,
x2 a2
y2 a2
z2 c2
1
旋转椭球面
由椭圆
x2 a2
z2 c2
1
绕
z 轴旋转而成．
பைடு நூலகம்
或由椭圆
y2 a2
z2 c2
1
绕 z 轴旋转而成．
方程可写为
x2 a2
y2
z2 c2
1
旋转椭球面与椭球面的区别：
x 0
x
0
y
上一页 下一页
下面的椭圆抛物面的图形为：
x2 a2
z2 b2
y
y2 a2
z2 b2
x
特殊地：当 a b 时，方程变为
x2 a2
y2 a2
z
旋转抛物面
6 双曲抛物面（马鞍面）
x2 a2
y2 b2
z
用截痕法讨论： 图形如下：
x2 2a2z
z
(1)
y 0
y2 2b2z (2)
1,
x 0.
z
0
y
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（5）椭圆抛物面（重要）
x2 y2 z a2 b2
用截痕法讨论：
（1）用坐标面 xoy (z 0) 与曲面相截 截得一点，即坐标原点 O(0,0,0)
原点也叫椭圆抛物面的顶点.
与平面 z z1 (z1 0) 的交线为椭圆.
x2
a
2
z1
y2 b2 z1
9、圆心在原点,半径为 2 的圆,轴为 z 轴 ,半径为 2
的圆柱面.
与平面 z z1 ( | z1 | c)的交线为圆.
(2) a b c,
x2 a2
y2 a2
z2 a2
1
球面
方程可写为 x2 y2 z2 a2.
（3）单叶双曲面
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1
用坐标面 xoy (z 0)与曲面相截
截得中心在原点 O(0,0,0) 的椭圆.
x2 a2
保持所在的平面与 xOy 面平行， 且两对顶点分别
沿着两个定双曲线(2)与(3)滑动
x2 z2
(2)
a
2
c2
1,
y 0;
y2
(3)
b2
z2 c2
1,
x 0.
单叶双曲面
上一页 下一页
单叶双曲面是直纹面
x2 y2 z2 1
a2 b2 c2
.
含两族直母线 直纹面在建筑学上有意义
例如，储水塔、 电视塔等建筑都 有用这种结构的.
1 ,
y
0
y2 b2
z2 c2
1.
x 0
x
o
y
这椭球面(1)可以看成是由一个椭圆的变动(大小位 置都改变)而产生的，这个椭圆在变动中保持所在
平面与坐标面 xOy平行, 且两轴的端点分别在另外
两个定椭圆(1)与(2)上滑动.
x2
a2
y2 b2
1,
z 0
(1)
y2 b2
z2 c2
把三元二次方程F(x,y,z ) =0所表示的曲面 称为二次曲面．
相应地平面被称为一次曲面．
二次曲面有九种，适当选取坐标系后，可 得它们标准方程
讨论二次曲面性状的截痕法：
用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面 相截，考察其交线（即截痕）的形状，然后 加以综合，从而了解曲面的全貌． 以下用截痕法讨论二次曲面．
例：广州电视塔小蛮腰
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（4）双叶双曲面
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1
o
y
x
看下面的演示
椭圆在变动中，保持 所在平面平行于 xoy 面, 且两轴的端点分别 沿着双曲线 (6) (7) 滑 动而形成双叶双曲面.
z2
(6)
c
2
x2 a2
1,
y 0;
x
z2
(7)
c
2
y2 b2
x2
平行于y 轴的直线 平行于 yoz 面的平面
圆心在(0,0) ，
x2 y2 4
半径为2 的圆
以z 轴为中心轴的圆柱面
y x 1 斜率为1的直线 平行于z 轴的平面
练习题
一、填空题：
1、与Z 轴和点 A(1 , 3 ,1) 等距离的点的轨迹方程是
_____________；
2、以点O(2 ,2 , 1)为球心，且通过坐标原点的球面
用坐标面 yoz ( x 0)， x x1与曲面相截
均可得抛物线.
因此, 椭圆抛物面可以看成是由一个椭圆的变动 (大 小位置都改变) 而产生的.
这个椭圆在变动中, 保持所在平面平行于xoy面且 两对顶点分别在抛物线 (1) 与 (2) z上滑动.
x2 2a2z (1)
y 0
y2 2b2z (2)
方程是_______________；
3、球面： x2 y2 z2 2 x 4 y 4z 7 0的球心是
点___________，半径R __________；
4、设曲面方程ax22
+by22
+z c
2 2
=1，当a b 时，曲面可由
xoz面上以曲线________________绕_______轴旋
转面成，或由 yoz 面上以曲线_______________
绕________轴旋转面成 ;
5、 若柱面的母线平行于某条坐标轴，则柱面方程的 特点是_________；
6、 曲面 x2 y2 z2 1是由_______绕_________轴放置一周 4 所形成的；
7、 曲 面 (z a)2 x2 y2 是 由 ______________ 绕 _____轴旋转一周所形成的；
二、画出下列各方程所表示的曲面：
1、( x a )2 y2 (a )2 ；
2
2
2、 x2 z2 1 ；
94
3、z 2 x2 .
练习题答案
一、1、z2 2x 6 y 2z 11 0；
2、 x2 y2 z2 4x 4 y 2z 0；3、(1,-2,2),4；
4、 x 2 a2
看下面的演示
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双曲抛物面是直纹面
x2 y2 2z
a2 b2
含两族直母线
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（7） 椭圆柱面
x2 a2
y2 b2
1
（8） 双曲柱面
x2 y2 1 a2 b2
（9） 抛物柱面 x2 ay
以上图形重要
二、小结
椭球面、抛物面、双曲面、截痕法.
（熟知这几个常见曲面的特性）
四、小结
1
z z1
当 z1变动时，这种椭 圆的中心都在 z 轴上.
与平面 z z1 (z1 0)不相交.
用坐标面 xoz ( y 0)与曲面相截
截得抛物线
x2 a2z
y 0
与平面 y y1 的交线为抛物线.
x2
a2
z
y12 b2
y
y1
它的轴平行于 z 轴
顶点
0,
y1,
y12 b2
8、 方程 x 2在平面解析几何中表示___________在 空间解析几何中表示___________________；
9、 方 程 x2 y2 4 在 平 面 解 析 几 何 中 表 示 _______________ ， 在 空 间 解 析 几 何 中 表 示 _______________.
曲面方程的概念 F ( x, y, z) 0. 旋转曲面的概念及求法. 柱面的概念(母线、准线).
思考题
指出下列方程在平面解析几何中和空 间解析几何中分别表示什么图形？
(1) x 2;
(2) x2 y2 4;
(3) y x 1.
课练：1，3
作业：2（1，4）
思考题解答
方程
平面解析几何中 空间解析几何中