高中数学第二章函数模块复习省公开课一等奖新名师优质课获奖PPT课件

∴当x<0时,g(x)=2x+3,即f(x)=2x+3.
答案:2x+3
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反思感悟1.因为分段函数在定义域不一样部分有不一样对应关
系,所以分段函数能够将不一样函数综合在一起,表达了知识重组
和再生;
2.处理分段函数问题能表达分类讨论思想方法和函数性质综合
应用,展现了基础知识横向联络,数学方法上纵向引申,在考查知识
变式训练 2 函数 f(x)= 2
若 f(x)=3,则 x 的值是
,-1 < < 2,
)
A.√3
B.±√3
C.1
D.√3或 1
解析:若 x+2=3,则 x=1,不满足 x≤-1;
若 x2=3,则 x=±√3,显然-1<√3<2,
所以 x=√3.
答案:A
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2,0 ≤ ≤ 1,
变式训练 3(广东深圳高一检测)函数 f(x)= 2,1 < < 2, 的值域
3, ≥ 2
是(
)
A.R
B.[0,2]∪{3} C.[0,+∞) D.[0,3]
解析:函数图象如图所表示:
结合图象可知,函数值域为[0,2]∪{3}.
答案:B
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2 + 1( ≥ 0),
答案:(-∞,-5)∪(2,+∞)
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+ 2, ≤ 0,
【例 3】若函数 f(x)= 2
在 R 上是减函数,
- + + + 4, > 0
则实数 a 的取值范围是
.
< 0,

≤ 0,
解析:依题意,要使 f(x)在 R 上是减函数,则有
-2
2 ≥ + 4,
1- > 6,
方法二:f(2)=3×2=6,在同一平面直角坐标系中画出直线y=6和函
数f(x)图象,如图所表示.
可知直线y=6和函数f(x)图象有两个交点A(-5,6),B(2,6),则位于直
线y=6上方函数f(x)图象上点横坐标取值范围是x>2或x<-5,则当
f(x)>f(2)时,有x>2或x<-5.
)
答案:(1)× (2)√ (3)× (4)√ (5)× (6)√
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专题一 分段函数
3 + 2, < 1,
【例1】 已知函数 f(x)= 2
若f(f(0))=4a,则实数
+ , ≥ 1,
a=
.
解析:由题意知,f(0)=3×0+2=2,则f(f(0))=f(2)=22+2a=4+2a=4a,
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变式训练 5 已知函数 f(x)=ax2+2x-6.
(1)若函数在 R 上的最大值为-4,求实数 a 的值;
(2)当 a=1 时,求函数 f(x)在区间[-3,0]和
< 0,
解:(1)由已知可得 -24-4
解得
1
a=- .
2
4
1
- ,5
2
上的最值.
= -4,
(2)当 a=1 时,f(x)=x2+2x-6=(x+1)2-7,结合图象可知:函数 f(x)在
关于原点对称
都有 f(-x)=f(x)
函数 f(x)为偶函数
关于 y 轴对称
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理
7.二次函数零点个数与对应二次方程实根个数关系是怎样?请完
成下表:
Δ>0
方程 ax2+bx+c=0
(a≠0)的根
两个不相等的实根
Δ=0
两个相等的实根(重根)
Δ<0
无实根
判别式
函数 y=ax2+bx+c
f(x0)=M
M 为最大值
M 为最小值
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6.什么是奇函数,什么是偶函数?它们图象各有什么特征?请完成
下表:
奇函数
定义域
x
定
f(x)与 f(-x)
义
的关系
结论
图象特征
偶函数
函数 f(x)的定义域关于原点对称
对于定义域内的任意一个 x
都有 f(-x)=-f(x)
函数 f(x)为奇函数
解得 a≤-2.
答案:a≤-2
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【例 4】 如果 y=
解析:设 g(x)=y=
2-3, > 0,
是奇函数,则 f(x)=
(), < 0
.
2-3, > 0,
当 x<0 时,-x>0,
(), < 0,
则g(-x)=2(-x)-3=-(2x+3).
∵g(x)是奇函数,∴g(-x)=-g(x),
义
那么就说函数 f(x)在区间 D
么就说函数 f(x)在区间 D 上是
上是增函数
减函数
图
象
描
述
自左向右看图象是上升的
自左向右看图象是下降的
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函数 y=f(x)在区间 D 上是增函数或减函数,那么就说函数 y=f(x)
在区间 D 上具有(严格的)单调性,区间 D 叫做函数 y=f(x)的
换元法:求函数解析式、函数值域常用的一种方法
二分法:求函数的零点或方程的近似根的常用方法
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理
1.什么是函数,什么是映射?它们之间有何关系?请完成下表.
函
数
设 A,B 是两个非空数集,如果
按照某种确定的对应关系 f,
概念 使对于集合 A 中的任意一个
数 x,在集合 B 中都有唯一确

函数的性质 奇偶性:先判断定义域是否关于原点对称,再比较 (- )与 ( )的关系来判断奇偶性
函数的零点:若函数 = ()在实数处有() = 0,则为此函数的零点
一次函数的图象和性质:其图象是一条直线,其各种性质可结合图象研究
一次函数与二次函数 二次函数的图象和性质:其图象是一条抛物线,其各种性质可结合图象研究
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专题二 函数最值或值域求法
1.配方法
【例5】 已知函数f(x)=x2+ax+3在区间[-1,1]上最小值为-3,求实
数a值.

2
分析:所给二次函数图象的对称轴 x=- 是变化的,而区间[-1,1]
是固定的,因而只需确定二次函数对称轴与区间[-1,1]的关系,即可求
得实数 a 的值.
解:f(x)=
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反思感悟相关二次函数值域或最值问题可用配方方法.若函数定
义域为R,则自变量取对称轴时函数值最大或最小.若函数定义域为
某个区间[a,b],当对称轴x=t在这个区间内时,则f(a),f(b),f(t)中最大
者为最大值,最小者为最小值;当对称轴x=t不在这个区间内时,则只
需比较f(a)与f(b),它们中较大者为最大值,较小者为最小值.

2
2
2
+
+3- ,其图象开口向上,区间[-1,1]确定,对称轴
2
4
x=- 随 a 变化.

2
(1)当- <-1,即 a>2 时,作 f(x)图象的草图如图①所示.f(x)在[-1,1]
上是增加的,所以 f(-1)=-3,
即 1-a+3=-3,所以 a=7.
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2
(2)当- >1,即 a<-2 时,作 f(x)图象的草图如图②所示.
到集合 B 的一个映射
对应 f:A→B 是一个映射
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2.什么是函数定义域、值域?
提醒:在函数y=f(x),x∈A中,x叫做自变量,x取值范围A叫做函数定
义域;与x值相对应y值叫做函数值,函数值集合{f(x)|x∈A}叫做函数
值域.
3.函数有哪些表示法?
提醒:表示函数惯用方法有:解析法、图象法、列表法.
变式训练 4 已知函数 f(x)=
是 R 上的增函数,则
+ ( < 0)
a,b 的取值范围分别是
.
2 + 1( ≥ 0),
解析:∵f(x)=
在 R 上是增函数,
+ ( < 0)
∴a>0,且 0+1≥a×0+b,即 b≤1.
答案:(0,+∞),(-∞,1]
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解得a=2.
答案:2
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【例 2】已知函数 f(x)=
范围是
1-, ≤ 0,
若 f(x)>f(2),则实数 x 的取值
3, > 0,
.
解析:方法一:f(2)=3×2=6,则原不等式等价于f(x)>6,
≤ 0,
> 0,
则有
或
解得 x>2 或 x<-5.
3 > 6
1
2
[-3,0]上的最大值和最小值分别是 f(-3)=-3,f(-1)=-7;函数 f(x)在 - ,5
上的最大值和最小值分别是 f(5)=29,f -
1
2
27
4
=- .
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2.图象法
【例6】 函数y=|x+1|-|x-1|最大值是
.
2, > 1,
解析:y= 2,-1 < ≤ 1,画出该函数的图象,如图所示.
)
(3)函数
减区间为(-∞,0)∪(0,+∞). (
)

f(x)= (k>0)
(4)在闭区间单调函数,其最值一定在区间端点处取到.
(
)

(5)若f(x)是奇函数,则一定有f(0)=0成立. (
)
(6)若f(x)是一个连续函数,在区间(a,b)内是单调函数,且满足
f(a)f(b)<0,则该函数在(a,b)内有唯一零点. (
函数的应用:一般体现在对一次函数、二次函数及分段函数的实际应用,关键就是建模与解:模
分类讨论思想:对相关参数按一定标准分别说明
数形结合思想:数与形的相辅相成,数借助于形更直观,形赋之于数更严谨、更精确
化归思想:将未知的问题转化成已知的问题来解决
思想方法
函数与方程思想:函数的图象、方程的根、函数的零点及不等式的解的交互融合
若f(a)·f(b)>0,则不能确定该函数是否有零点;
若f(a)·f(b)=0,则说明a,b最少有一个是该函数零点.
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思索辨析
判断以下说法是否正确,正确在后面括号里打“√”,错误打“×”.
(1)函数y=f(x)图象与直线x=t最多有2个交点. (
)
(2)函数f(x)=x2-37x与函数g(t)=t2-37t是同一函数. (
f(x)在[-1,1]上是减少的,f(1)=1+a+3=-3,
所以 a=-7.

(3)当-1≤- ≤1,即-2≤a≤2 时,作 f(x)图象的草图如图③所示.
2
此时,对称轴在区间[-1,1]内,
所以 f

2
2
=3- =-3,解得
4
a=±2√6,这与-2≤a≤2 矛盾,舍去.因
此所求的实数 a 的值为-7 或 7.
上有一定弹性,成为历年高考必考知识点之一.
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+ 1, ≤ 1,
5
变式训练 1 已知函数 f(x)=
则 f 等于(
2
- + 3, > 1,
A.
5
2
7
2
B.
5
2
解析:因为 >1,所以 f
1
2
C.
5
2
5
2
)
1
2
D.1
2
=- +3= .
答案:C
(
+ 2, ≤ -1,
-2, ≤ -1,
由图可知,函数图象最高点的纵坐标为 2,
则该函数的最大值为 2.
答案:2
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反思感悟处理本类问题关键是正确作出函数图象.最高点纵坐标
是函数最大值,最低点纵坐标是函数最小值.
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变式训练6求函数y=x2-2x+3,x∈[0,3)值域.
单调区间
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5.什么是函数最大值?什么是函数最小值?请完成下表:
前提
条件
结论
设函数 y=f(x)的定义域为 I,如果存在实数 M 满足
(1)对于任意 x∈I,都有
(3)对于任意 x∈I,都有
f(x)≤M;
f(x)≥M;
(2)存在 x0∈I,使得
(4)存在 x0∈I,使得 f(x0)=M
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4.什么是增函数?什么是减函数?什么是函数单调性与单调区间?
请完成下表:
增函数
减函数
一般地,设函数 f(x)的定义域为 I;如果对于定义域 I 子区间 D
上的任意两个自变量的值 x1,x2,规定 x1<x2
定
当 x1<x2 时,都有 f(x1)<f(x2),
当 x1<x2 时,都有 f(x1)>f(x2),那
(a≠0)的零点
两个零点
一个二重零点
(二阶零点)
无零点
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8.你是怎样判断一个连续函数在区间[a,b]上零点情况?
提醒:若函数y=f(x)在闭区间[a,b]上图象是连续曲线,而且在区间
端点函数值符号相反,即f(a)f(b)<0,则在区间(a,b)内,函数y=f(x)最少
有一个零点.
定的数 f(x)和它对应
称 f:A→B 为从集合 A 到集合
名称
B 的一个函数
记法 y=f(x)(x∈A)
关系 函数是映射,但映射未必是函数
映
射
设 A,B 是两个非空集合,如
果按某一个确定的对应关
系 f,使对于集合 A 中的
任意一个元素 x,在集合 B
中都有唯一确定的元素 y
与之对应
称对应 f:A→B 为从集合 A
第2课时
函
数
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定义域:自变量取值的集合
函数的概念 值域:所有函数值构成的集合
对应法则:是联系自变量与函数值的桥梁和纽带
列表法:通过表格来体现函数自变量与对应函数值的关系
函数的表示法 图象法:用“图形”来表示函数关系
解析法:用代数式来表达函数
单调性:设任意的两个数1 ,2 ∈,在 Δ = 2 -1 > 0 时,判断 Δ = (2 )-(1 )的正负