线性代数讲义(第三章)

成行阶梯形矩阵, 可同时看出矩阵（ 1， 2， 3） 及（ 1， 2）的秩，利用定理2即可得出结论.
1 0 2 ( 1 , 2 , 3 ) 1 2 4 1 5 7
r2 r1
r3 r1
~
1 1 0 0 1 0
2 2 2 2 5 7 5 5 0 0 2 2
第三章 n维向量空间
• • • • • • n维向量的定义 n维向量的线性运算 向量组的线性相关性 向量组的极大线性无关组 向量空间 习题课
第一节 n维向量的定义
一、 n维向量的概念 二、 n维向量的表示方法 三、 向量空间
一、n 维向量的概念
定义1 n 个有次序的数 a1 , a2 , , an 所组成的数 组称为n维向量，这n个数称为该向量的n个分量，
（2）设
a1 j a1 j a2 j a2 j j , b j , ( j 1,2, , m ), arj a rj a r 1, j
即 j 添上一个分量后得向量b j .若向量组 A： 1 , 2 , , m 线性无关, 则向量组B：1 , b2 , , bm 也线性无 b 关 .反言之，若向量组B线性相关, 则向量组A也线 性相关 .
a T ( a 1 , a 2 , , a n )
n 维向量写成一列，称为列向量，也就是列 矩阵，通常用 a ,b, , 等表示，如： a1 a2 a a n
注意
１．行向量和列向量总被看作是两个不同的 向量；
２．行向量和列向量都按照矩阵的运算法则 进行运算； ３．当没有明确说明是行向量还是列向量时， 都当作列向量；
b2 2 3 , b3 3 1 , 试证b1 , b2 , b3线性无关 .
证 设有x1 , x2 , x3使
x1b1 x2b2 x3b3 0 即 x1 1 2） x 2 ( 2 3 ) x 3 ( 3 1 ) 0, （
注：任何一个 维向量都是n维基本向量的线性组合 n .
定义２ 设有两个向量组 A : 1 , 2 , , m 及B : 1 , 2 , , s .
若B组中的每个向量都能由向量组A线性表示，则 称 向量组B能由向量组A线性表示 . 若向量组A与向 量组B能相互线性表示，则称这两个向量组等价．
4.包含零向量的任何向量组是线性相关的.
5.对于含有两个向量的向 , 它线性相关的 量组 充要条件是两向量的分 量对应成比例 .
三、线性相关性的判定
定理 向量组 1 , 2 ,,（当 m 2 时）线性相关 m 的充分必要条件是 1 , 2 , , m 中至少有一个向 量可由其余 m 1个向量线性表示．
证明
（略）
下面举例说明定理的应用.
例１ n 维向量组 T T T e1 1,0,,0 , e 2 0,1,,0 ,，e n 0,0,,1
称为n 维单位坐标向量组,讨论其线性相关性 .
解 n维单位坐标向量组构成的矩阵 E (e1 , e2 , , en )
是n阶单位矩阵. 由 E 1 0，知R( E ) n. 即R( E )等于向量组中向量个数，故由定理2知此
给定向量组A : 1 , 2 ,, m 和向量b, 如果存在 一组数1， 2， , m，使
b 1 1 2 2 m m
则向量b是向量组A的线性组合，这时称向量 b 能 由向量组 A 线性表示．
即线性方程组 x1 1 x 2 2 x m m b 有解.
则称向量组A是线性相关的，否则称它线性无关． 注意
1. 若 1 , 2 ,, n 线性无关, 则只有当
1 n 0时, 才有 1 1 2 2 n n 0 成立 .
2. 对于任一向量组, 不是线性无关就是 线性相关 .
3.向量组只包含一个向量 时, 若 0 则说 线性相关, 若 0, 则说 线性无关 .
k2 k3 km 1 2 3 m . k1 k1 k1
即 1 能由其余向量线性表示. 证毕.
线性相关性在线性方程组中的应用
若方程组中有某个方程是其余方程的线性组 合时，这个方程就是多余的，这时称方程组（各 个方程）是线性相关的；当方程组中没有多余方 程，就称该方程组（各个方程）线性无关（或线 性独立） .
（3） 个 n 维向量组成的向量组，当维数 n 小 m 于向量个数m时一定线性相关 . (4) 设向量组A : 1 , 2 , , m 线性无关, 而向量
故方程组只有零解 x1 x 2 x 3 0，所以向量组 b1 , b2 , b3线性无关.
注意： (1) 若 向量组 A： 1 , 2 , , m 线性相关, 则 向量组 B : 1 , , m , m 1 也线性相关.反言之, 若向
量组B 线性无关, 则 向量组A也线性无关 .
三、向量空间
n n 3时， 维向量没有直观的几何形象．
R x ( x1 , x 2 ,, x n ) x1 , x 2 ,, x n R
n

T

叫做 n 维向量空间．
第二节 向量组的线性相关性
一、向量、向量组与矩阵 二、线性相关性的概念 三、线性相关性的判定
一、向量、向量组与矩阵
第i个数ai 称为第i个分量 .
分量全为实数的向量称为实向量，
分量全为复数的向量称为复向量.
例如
(1,2,3,, n) (1 2i ,2 3i ,, n ( n 1)i )
n维实向量
n维复向量
第2个分量 第1个分量
第n个分量
二、n 维向量的表示方法
n 维向量写成一行，称为行向量，也就是行 矩阵，通常用 aT , bT , T , T 等表示，如：
T T T
构成一个m n矩阵
1T T 2 B T m
n维单位矩阵En的n个列向量分别记为：
1 0 0 0 1 0 e1 0 , e2 0 , en 0 . 0 0 1
向量组 a1, a 2 ,, a n 称为矩阵A的列向量组.
类似地, 矩阵A (aij )mn 又有m个n维行向量
a11 a12 a 21 a 22 A ai1 ai 2 a m1 a m 2
T 1 T 2
a1 n a2n a in a mn
结论 向量组A线性相关就是齐次线性方程组
x1 1 x 2 2 x m m 0,即 Ax 0 有非零解. 其中A ( 1 , 2 , m ).
定理2
向量组 1 , 2 , , m 线性相关的充分必要
条件是它所构成的矩阵 A ( 1 , 2 , , m )的秩小 于向量个数 m ;向量组线性无关的充分必要条件是 R( A) m .
若干个同维数的列向量（或同维数的行向量） 所组成的集合叫做向量组． 例如 矩阵A (a ij ) 有n个m维列向量 mn aj a1 a 2 an a11 a12 a1 j a1n a 21 a 22 a 2 j a 2 n A a a mj a mn m1 a m 2
亦即（ x1 x 3 ) 1 ( x1 x 2 ) 2 ( x 2 x 3 ) 3 0, 因 1， 2， 3线性无关，故有 x 1 x 3 0, x 1 x 2 0, x x 0. 2 3
由于此方程组的系数行列式 1 0 1 1 1 0 20 0 1 1
注：等价的向量组具有性质：
（1）反身性：一个向量组与其自身等价；
T （2）对称性： 若T1与T2等价，则 2与T1等价；
（3）传递性： 若T1与T2等价，T2与T3等价，则 1与T3等价； T
定义３ 给定向量组A : 1 , 2 , , m , 如果存在不
全为零的数k1 , k 2 , , k m 使 k1 1 k 2 2 k m m 0
其中e1 , e2 ,, en 称为n维基本向量.
线性方程组的向量表示
a11 x1 a12 x 2 a1n x n b1 , a 21 x1 a 22 x 2 a 2 n x n b2 , a m 1 x1 a m 2 x 2 a mn x n bm .
a1 x1 a 2 x 2 a n x n b
方程组与增广矩阵的列向量组之间一一对应．
二、线性相关性的概念
定义１ 给定向量组A : 1 , 2 , , m，对于任何一
向量 组实数k1，k 2， , km， k1 1 k 2 2 k m m
k 称为向量组的一个 线性组合， 1，k2， , km 称为这 个线性组合的系数.
故 1 , 2 , , m 线性相关. 必要性 设 1 , 2 , , m 线性相关， 则有不全为0的数 k1 , k 2 ,, k m , 使
k1 1 k 2 2 k m m 0.
因 k1 , k 2 , , k m 中至少有一个不为0， 不妨设 k1 0,则有
1 0 2 5 r3 r2 2 0 2 2 ， ~ 0 0 0
可见R( 1 , 2 , 3 ) 2，向量组 1 , 2 , 3线性相关； R( 1 , 2 ) 2,向量组 1 , 2线性无关.
例3
已知向量组 1 , 2 , 3 线性无关 , b1 1 ２ 已知
1 0 2 1 1 ， 2 2 ， 3 4 ， 1 5 7 试讨论向量组 1， 2， 3 及 1， 2的线性相关性.
解 分析 对矩阵（ 1， 2， 3），施行初等行变换变
证明 充分性 设 a1 , a 2 , , a m 中有一个向量（比如 能由其余向量线性表示. 即有
a m）
a m 1 1 2 2 m 1 m 1
故
1 1 2 2 m 1 m 1 1a m 0
因 1 , 2 , , m 1 , 1 这 m 个数不全为0，
T m
T 2
T 1


T i
T m
向量组 , , …， 称为矩阵A的行向量组．
反之，由有限个向量所组成的向量组可以构 成一个矩阵.
m个n维列向量所组成的向量组 1 , 2 ,, m , 构成一个m n矩阵
A ( 1 , 2 ,, m )
m个n维行向量所组成 的向量组 1 , 2 , m ,